用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(上課用)

〔一〕眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1/13/20231a一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)〔或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)〕叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．

平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即

1/13/20232a問題1：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)這三個數(shù)一般都會來自于同一個總體或樣本，它們能說明總體或樣本的什么性質(zhì)？平均數(shù):反映所有數(shù)據(jù)的平均水平

眾數(shù):反映的往往是局部較集中的數(shù)據(jù)信息

中位數(shù):反映處于中間部位的數(shù)據(jù)信息

1/13/20233a1、求以下各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)〔1〕、1，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9眾數(shù)是：3和8〔2〕、1，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9眾數(shù)是：32、求以下各組數(shù)據(jù)的中位數(shù)〔1〕、1，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9〔2〕1，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9中位數(shù)是：5中位數(shù)是：44a

二、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系1/13/20235a頻率組距O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)

眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標(biāo)。如何在頻率分布直方圖中估計眾數(shù)可將眾數(shù)看作直方圖中面積最大長方形的“中心〞1/13/20236a2143頻率組距前四個小矩形的面積和后四個小矩形的面積和如何在頻率分布直方圖中估計中位數(shù)所以可將中位數(shù)看作整個直方圖面積的“中心〞1/13/20237a如何在頻率分布直方圖中估計平均數(shù)8a=2.029a如何在頻率分布直方圖中估計平均數(shù)平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和(即頻率乘以組中值的和)?？蓪⑵骄鶖?shù)看作整個直方圖面積的“重心〞10a1.(2021年福建高考改編題〕某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取局部學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計，得到如下圖的頻率分布直方圖。據(jù)此估計，該校模塊測試的平均分約為。71中位數(shù)多少眾數(shù)是多少70651/13/202311a方差與標(biāo)準(zhǔn)差〔二〕1/13/202312a情境一;甲.乙兩名射擊隊員,在進(jìn)行的十次射擊中成績分別是:甲乙試問二人誰發(fā)揮的水平較穩(wěn)定?分析:甲的平均成績是9環(huán).乙的平均成績也是9環(huán).一.實例引入13a情境二:

某農(nóng)場種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取了10株，分別測得它們的株高如下：(單位cm)

甲：31323537333032313029

乙：53165413661613111662問：哪種玉米苗長得高？哪種玉米苗長得齊？1/13/202314a甲37〔最大值〕29〔最小值〕8乙66〔最大值〕11〔最小值〕55極差

甲：31323537333032313029

乙：53165413661613111662甲32372937321166乙1/13/202315a極差：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差極差越大，數(shù)據(jù)越分散，越不穩(wěn)定極差越小，數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定在一定程度上說明了樣本數(shù)據(jù)的分散程度,與平均數(shù)一起,可以給我們許多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息.顯然,極差對極端值非常敏感,注意到這一點,我們可以得到一種“去掉一個最高分,去掉一個最低分〞的統(tǒng)計策略.1/13/202316a

為了對兩人射擊水平的穩(wěn)定程度,玉米生長的高度差異等做個合理的評價,這里我們引入了一個新的概念,方差和標(biāo)準(zhǔn)差.17a設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，那么稱s2為這個樣本的方差，稱為這個樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別稱為樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差它的算術(shù)平方根x1，x2，…，xn1/13/202318a樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫做樣本方差。樣本方差的算術(shù)平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差。樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。

19a例1.計算數(shù)據(jù)89，93，88，91，94，90，88，87的方差和解：.

所以這組數(shù)據(jù)的方差為5.5.1/13/202320a練習(xí)：假設(shè)甲、乙兩隊比賽情況如下,以下說法哪些說法是不正確的：甲乙平均失球數(shù)平均失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差1.52.11.10.41、平均來說，甲的技術(shù)比乙的技術(shù)好；2、乙比甲技術(shù)更穩(wěn)定；3、甲隊有時表現(xiàn)差，有時表現(xiàn)好；4、乙隊很少不失球。全對21a如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為〔1〕新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差仍為．〔2〕新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．〔3〕新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為

．，那么方差的運算性質(zhì)：1/13/202322a例2：甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下〔單位：t/hm〕，試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．品種第一年第二年第三年第四年第五年甲9．89．910．11010．2乙9．410．310．89．79．8解：1/13/202323a1、在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：，，，，，，，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為_________________；

2、已知數(shù)據(jù)的方差為2，則求數(shù)據(jù)的方差，

81/13/202324a1.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分兩類：a.用樣本平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)估計總體平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)。b.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差、方差估計總體標(biāo)準(zhǔn)差、方差。樣本容量越大，估計就越精確。2.平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊〞的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平。3.標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度。

小結(jié)1/13/202325a再見26a甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績情況如下圖：(1)請?zhí)顚懕恚浩骄鶖?shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲71.271乙75.47.53(2)請從以下四個不同的角度對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析誰的成績更穩(wěn)定)；②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績好些)；③從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績好些)；④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看(分析誰更有潛力)．1/13/202327a(2)請從以下四個不同的角度對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析誰的成績更穩(wěn)定)；②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績好些)；解：(2)①∵平均數(shù)相同，∴甲的成績比乙穩(wěn)定．②∵平均數(shù)相同，甲的中位數(shù)<乙的中位數(shù)，∴乙的成績比甲好些．1/13/202328a