第2章隨機(jī)變量及其分布

第二章

本章用定量的方法，從整體上來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象。

隨機(jī)變量及其分布1§1

隨機(jī)變量的概念與離散型隨機(jī)變量

在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)(本身就是一個(gè)數(shù)).例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；八月份杭州的最高溫度；每天從杭州下火車的人數(shù)；昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)；一、隨機(jī)變量的概念22、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各種結(jié)果.也就是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.

例1拋一枚硬幣，觀察正反面的出現(xiàn)情況.我們引入記號(hào)：顯然，該試驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果：于是我們就可以用表示出現(xiàn)的是正面，而用表示出現(xiàn)的是反面。X就是一個(gè)隨機(jī)變量。3

定義

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間是S，若對(duì)于每一個(gè)ω∈S,有一個(gè)實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),即X=X(ω)是定義在S上的單值實(shí)函數(shù)，稱它為隨機(jī)變量(randomvariable,簡(jiǎn)記為r.v.)。X(ω)R

這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？ω.4（1）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值.（2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.

隨機(jī)變量通常用大寫(xiě)字母X,Y,Z或希臘字母等表示.

隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn).5

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究，并可以用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛深入的研究和討論。分類：實(shí)際中遇到的隨機(jī)變量有兩大類型連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量6二、離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X只取有限或可列無(wú)窮多個(gè)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量.對(duì)于離散型隨機(jī)變量，關(guān)鍵是要確定：1）所有可能的取值是什么？2）取每個(gè)可能值的概率是多少？稱之為離散型隨機(jī)變量X的分布律或概率分布。7或?qū)懗扇缦碌谋砀裥问剑?袋中有2只藍(lán)球3只紅球，從中抽取3只，記X為抽得的藍(lán)球數(shù)，求X的分布律。X可能取的值是0,1,2，例1解所以X的分布律為或表示為9

設(shè)一汽車在開(kāi)往目的地的路上需經(jīng)過(guò)三組信號(hào)燈，每組信號(hào)燈以0.5的概率允許或禁止汽車通過(guò)。以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)(設(shè)各盞信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的)，求X的概率分布.依題意,X可取值0,1,2,3.設(shè)Ai={第i個(gè)路口遇紅燈},i=1,2,3路口3路口2路口1例2解10路口3路口2路口1路口3路口2路口111路口3路口2路口1不難看出所以X的分布列為12在下列情形下，求其中的未知常數(shù)a，已知隨機(jī)變量的概率分布為：

例3解(1)由規(guī)范性,(2)13練習(xí)：P28習(xí)題2-11.14§20-1分布和二項(xiàng)分布若試驗(yàn)

E

滿足條件：(1)各次試驗(yàn)獨(dú)立進(jìn)行；將試驗(yàn)

E

重復(fù)n次,則稱為n重貝努里試驗(yàn)。

例如，打靶命中或不命中；拋硬幣出現(xiàn)正面或反面；抽檢產(chǎn)品抽到正品或次品，等等，都可以視為貝努里試驗(yàn)。(2)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件A發(fā)生或不發(fā)生，

貝努里(Bernoulli)試驗(yàn)(獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))15背景：作一次貝努里試驗(yàn)的成功次數(shù)X所服從的分布.分布律為或用公式表示一、0-1分布(兩點(diǎn)分布)16例1某射手命中率為0.8，獨(dú)立射擊3次，求恰好命中2次的概率。解則恰好命中2次的概率為

背景：作n次貝努里試驗(yàn)的成功次數(shù)X所服從的分布.二、二項(xiàng)分布(BinomialDistribution)由可加性由獨(dú)立性17若隨機(jī)變量X的分布律為定義則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，

記為驗(yàn)證規(guī)范性：

18例2某人打靶,命中率為p=0.8,獨(dú)立重復(fù)射擊5次,求：

(1)恰好命中2次的概率；

(2)至少命中2次的概率；

(3)至多命中4次的概率。解設(shè)X為命中數(shù)，(1)(2)(3)19解例3某經(jīng)理有七個(gè)顧問(wèn)，對(duì)某決策征求意見(jiàn)，經(jīng)理聽(tīng)取多數(shù)人的意見(jiàn)。若每位顧問(wèn)提出正確意見(jiàn)的概率均為0.7，且相互獨(dú)立，求經(jīng)理作出正確決策的概率。提出正確意見(jiàn)的顧問(wèn)人數(shù)則經(jīng)理作出正確決策的概率為20解例4對(duì)某藥物的療效進(jìn)行研究，假定這種藥物對(duì)某種疾病的治愈率p=0.8?，F(xiàn)在10個(gè)患者同時(shí)服此藥，求至少有6個(gè)患者治愈的概率(假定患者之間相互獨(dú)立)。治愈人數(shù)則至少有6個(gè)患者治愈的概率為這個(gè)概率是很大的，也即，如果治愈率確為0.8，則在10人中治愈人數(shù)少于6人的情況是很少出現(xiàn)的。因此，如果在一次實(shí)際試驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)10個(gè)病人中治愈不到6人，那么假定治愈率為0.8就值得懷疑了。

21解例5假設(shè)有10臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的可靠性(無(wú)故障工作的概率)為0.90，每臺(tái)出現(xiàn)故障時(shí)需要由一人進(jìn)行調(diào)整．問(wèn)為保證在95%的情況下當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)故障時(shí)都能及時(shí)得到調(diào)整，至少需要安排幾個(gè)人值班？出故障機(jī)器臺(tái)數(shù)因此，至少需要安排3個(gè)人值班．22問(wèn)題：若有200臺(tái)設(shè)備呢？

需中心極限定理解決。解出故障機(jī)器臺(tái)數(shù)因此，至少需要安排3個(gè)人值班．23練習(xí)：P31習(xí)題2-21.24在歷史上泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似,于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的。近幾十年來(lái)，作為描繪“稀有事件”計(jì)數(shù)資料統(tǒng)計(jì)規(guī)律的概率分布，泊松分布日益顯示其重要性，成了概率論中最重要的幾個(gè)分布之一，在質(zhì)量控制、排隊(duì)論、可靠性理論等許多領(lǐng)域內(nèi)都有重要應(yīng)用．

實(shí)例：1）普魯士騎兵每年被馬踢死的人數(shù)服從參數(shù)為0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之間每年發(fā)生戰(zhàn)爭(zhēng)的次數(shù)（規(guī)模超過(guò)50000人）服從參數(shù)為0.69的泊松分布?！?泊松分布25定義若隨機(jī)變量X的概率分布為

驗(yàn)證規(guī)范性：

則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為麥克勞林公式26泊松分布的實(shí)際背景：最簡(jiǎn)流。

例如，到達(dá)商店的顧客，用戶對(duì)某種商品質(zhì)量的投訴，暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到達(dá)某港口等待進(jìn)港的貨輪、紡紗機(jī)上的斷頭所形成的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流．分布參數(shù)的概率意義：是單位時(shí)間出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的平均個(gè)數(shù)27例1某公交車終點(diǎn)站中每輛進(jìn)站車的載客書(shū)服從參數(shù)為10的泊松分布。求某輛車到達(dá)終點(diǎn)站時(shí)車內(nèi)有5個(gè)人的概率。解設(shè)車中的乘客數(shù)為X，28例2某商店出售某種大件商品，據(jù)歷史記錄分析，每月銷售量服從泊松分布，λ=

4，問(wèn)在月初進(jìn)貨時(shí)要庫(kù)存多少件此種商品，才能以0.95的概率充分滿足顧客的需要？解銷售量設(shè)至少庫(kù)存N件，則經(jīng)計(jì)算，必須取N=8。29證略.30解例3假如生三胞胎的概率為10-4，求在10萬(wàn)次生育中，恰有兩次生三胞胎的概率。10萬(wàn)次生育中生三胞胎的次數(shù)直接用貝努里公式計(jì)算得用泊松近似公式，可見(jiàn)（當(dāng)n非常大時(shí)）近似程度令人滿意。31練習(xí)：P33習(xí)題2-31.32§4隨機(jī)變量的分布函數(shù)為了對(duì)各類隨機(jī)變量作統(tǒng)一研究，下面給出既適合于離散型隨機(jī)變量又適合于連續(xù)型隨機(jī)變量的概念——隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

定義設(shè)X為隨機(jī)變量，稱實(shí)函數(shù)

為X的分布函數(shù)。

xaxb33分布函數(shù)的基本性質(zhì)：

設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，分布律為則34解例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：求X的分布函數(shù)F(x).35故下面我們從圖形上來(lái)看一下.36分布函數(shù)的圖形一般，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)呈階梯形.

37練習(xí)：P36習(xí)題2-41.38第五節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量39概率密度函數(shù)則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。

由定義，根據(jù)高等數(shù)學(xué)變限積分的知識(shí)知，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。40概率密度函數(shù)f(x)的基本性質(zhì)：

這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某隨機(jī)變量的概率密度的充要條件.41概率密度函數(shù)f(x)的其它性質(zhì)：

42(1)連續(xù)型隨機(jī)變量取任何一個(gè)指定值的概率為0.即,對(duì)于任意常數(shù)c,有(2)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,則說(shuō)明：而{X=c}并非不可能事件,稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見(jiàn)，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出43解例1已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為確定系數(shù)A，并求X的概率分布函數(shù)F(x).44145例2三個(gè)同一種電氣元件串聯(lián)在一個(gè)電路中，元件的壽命是隨機(jī)變量(小時(shí))，假設(shè)其概率密度為且三個(gè)元件的工作狀態(tài)相互獨(dú)立．試求，(1)該電路在使用了150小時(shí)后，三個(gè)元件仍都能正常工作的概率α；(2)該電路在使用了300小時(shí)后，至少有一個(gè)元件損壞的概率β．46解(1)該電路在使用了150小時(shí)后，三個(gè)元件仍都能正常工作的概率α；表示“在使用了150個(gè)小時(shí)后，第k個(gè)元件仍然能正常工作”：47解(2)該電路在使用了300小時(shí)后，至少有一個(gè)元件損壞的概率β．48練習(xí)：P41習(xí)題2-51.49§6均勻分布和指數(shù)分布定義如果隨機(jī)變量X的概率密度為

則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，記作一、均勻分布(UniformDistribution)50它的分布函數(shù)為51這表明，X取值于(a,b)內(nèi)的任一區(qū)間的概率與區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該區(qū)間的具體位置無(wú)關(guān),這就是均勻分布的概率意義。

52例1某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.解依題意，以7:00為起點(diǎn)0,以分為單位，

為使候車時(shí)間少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.53二、指數(shù)分布(ExponentialDistribution)定義如果隨機(jī)變量X的概率密度為

記為分布函數(shù)為54

指數(shù)分布在排隊(duì)論和可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用，常常用它來(lái)作為各種“壽命”的分布的近似.例如,電子元件的壽命,電話的通話時(shí)間,微生物的壽命,隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都可認(rèn)為是近似服從指數(shù)分布.

指數(shù)分布的一個(gè)重要性質(zhì)就是“無(wú)后效性”或“無(wú)記憶性”.具體敘述如下：證55

假如把服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量解釋為某元件工作的壽命,則上式表明,在該元件已工作了s小時(shí)的條件下,它還能繼續(xù)工作t小時(shí)的概率與已經(jīng)工作過(guò)的時(shí)間s無(wú)關(guān).換句話說(shuō),如果元件在時(shí)刻s還“活著”,則它的剩余壽命的分布還是原來(lái)壽命的分布,而與它已工作了多長(zhǎng)的時(shí)間無(wú)關(guān).所以有時(shí)又稱指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年輕”的.值得指出的是,我們可以證明,指數(shù)分布是唯一具有無(wú)記憶性的連續(xù)型分布.56例2假設(shè)電話一次通話時(shí)間是一隨機(jī)變量，服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布．假設(shè)某人到達(dá)電話亭時(shí)有一人正在通話，試求:

解(1)此人至少需要等10分鐘的概率α；(2)此人需要等10到20分鐘的概率β．57練習(xí)：P44習(xí)題2-61.58§7正態(tài)分布(NormalDistribution)

正態(tài)分布是概率分布中最重要的一種分布，這有實(shí)踐與理論兩方面的原因。實(shí)踐方面的原因是，正態(tài)分布是自然界最常見(jiàn)的一種分布，例如測(cè)量的誤差、炮彈的落點(diǎn)、人的身高與體重、農(nóng)作物的收獲量、波浪的高度等等都近似服從正態(tài)分布。一般來(lái)說(shuō)，如果影響某一隨機(jī)變量的因素很多，而每一個(gè)因素都不起決定性作用，且這些影響是可以疊加的，則這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，這點(diǎn)可用下一章的極限定理來(lái)加以證明。從理論方面來(lái)說(shuō)，正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，如正態(tài)分布可以導(dǎo)出一些其它分布，而某些分布（如二項(xiàng)分布、泊松分布等）在一定的條件下可用正態(tài)分布來(lái)近似。

59不知你們是否注意到街頭的一種賭博活動(dòng)?用一個(gè)釘板作賭具。

街頭請(qǐng)看60下面我們?cè)谟?jì)算機(jī)上模擬這個(gè)游戲：高爾頓（F.Galton）釘板試驗(yàn)61高爾頓釘板試驗(yàn)這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。62定義如果隨機(jī)變量X的概率密度為

63正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：(1)對(duì)稱軸：(2)漸近線：(3)單調(diào)性：64正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：(4)頂點(diǎn)(最大值)：(5)兩個(gè)拐點(diǎn)：65正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何性態(tài)：66正態(tài)變量的分布函數(shù)為67的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：0.5168書(shū)末P304附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表.表中給的是x

>0時(shí),Φ(x)的值.當(dāng)x

>

0時(shí)，69若X～N(0,1),例1解70

任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理其分布函數(shù)為則證71

這個(gè)公式把一般正態(tài)變量的概率計(jì)算轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)計(jì)算.72例2解73例3這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.7468.26%95.44%99.74%75例4設(shè)某批雞蛋每只的重量X(以克計(jì))服從正態(tài)分布

X~N(5025)

(1)求從該批雞蛋中任取一只其重量不足45克的概率

(2)從該批雞蛋中任取一只其重量介于40克到60克之間的概率

(3)若從該批雞蛋中任取五只試求恰有2只雞蛋不足45克的概率

(4)從該批雞蛋中任取一只其重量超過(guò)60克的概率

(5)求最小的n

使從中任選n只雞蛋其中至少有一只雞蛋的重量超過(guò)60克的概率大于099

解(1)76(3)設(shè)Y為5只雞蛋中重量不足45克的雞蛋數(shù)則Y~B(50.1587)

故所求概率為(2)20.97731

0.9546

；(2)從該批雞蛋中任取一只其重量介于40克到60克之間的概率(3)若從該批雞蛋中任取五只試求恰有2只雞蛋不足45克的概率

77設(shè)

Z表示n只雞蛋中重量大于60克的雞蛋數(shù)則Z~B(n

0.0228)

(4)(5)因?yàn)橛辜唇獾?4)從該批雞蛋中任取一只其重量超過(guò)60克的概率

(5)求最小的n

使從中任選n只雞蛋其中至少有一只雞蛋的重量超過(guò)60克的概率大于099

78解例5若入學(xué)考試中各個(gè)考生的總分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布N(400,1002),共有2000人參加考試，假定只錄取前300名，求分?jǐn)?shù)線a，使考生總分超過(guò)a的概率等于升學(xué)率。設(shè)X表示考試總分，則79例6若某人從甲地到乙地有兩條路線可走，第一條路線過(guò)市區(qū)，路程短但擁擠，所需時(shí)間(分)服從正態(tài)分布N(50,100)；第二條線路沿環(huán)城路走，路程長(zhǎng)但阻塞少，所需時(shí)間(分)服從正態(tài)分布N(60,16)。問(wèn):(1)假如有70分鐘可用，應(yīng)選哪條路？(2)若只有65分鐘，又應(yīng)走