積化和差與和差化積

關(guān)于積化和差與和差化積第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日知識與技能目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會推導(dǎo)三角函數(shù)的和差化積與積化和差公式2.會簡單的三角函數(shù)的和差化積與積化和差的應(yīng)用第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日1．三角函數(shù)的積化和差與和差化積，這兩種互化，對于求三角函數(shù)的值、化商三角函數(shù)式及三角函數(shù)式的恒等變形，都有重要的作用，它們的作用和地位在三角函數(shù)值的變形中是十分重要的．2．積化和差與和差化積公式的推導(dǎo)過程本身也運(yùn)用了許多重要的教學(xué)思想和方法，在課堂教學(xué)中應(yīng)作為重要一環(huán)給予足夠的重視．過程與方法目標(biāo)第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，處處充滿辯證法，和差化積與積化和差看似是一對矛盾，但它們又處在對立統(tǒng)一體中，這些公式中，從左到右為積化和差，而從右到左則成為和差化積．在實(shí)際應(yīng)用，他們又是相輔相成的，通過這一內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生受到一次辯證法實(shí)例的教育，不失為一個(gè)好時(shí)機(jī)．情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日教學(xué)重點(diǎn)：

理順三角公式變換的相互關(guān)系，掌握積化和差與和差化積公式的推導(dǎo)過程，并能用它們解決一些實(shí)際問題，以及用好用活教學(xué)難點(diǎn)：(1)公式的推導(dǎo)．(2)公式的應(yīng)用．(3)三角式的恒等變換的一般規(guī)律．學(xué)習(xí)重難點(diǎn)第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日知識鏈接sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4)第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日問題1：把(1)式與(2)式相加可得？sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ．問題2：把(1)式與(2)式相減可得？sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ．問題3：(3)、(4)兩式作類似的加、減還可以得到？cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ，cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．課前預(yù)習(xí)第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日

以上這四個(gè)公式的特征是把三角函數(shù)的積的形式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的和、差的形式，我們把上述公式稱為三角函數(shù)的積化和差公式．第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日問題4由三角函數(shù)的積化和差公式的逆用，我們可得以下幾個(gè)公式：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ；sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ；cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ；cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．

為了突出這組公式是三角函數(shù)的和差化積公式并能方便地記憶，可作如下的換元：第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日

這樣我們就得到如下的三角函數(shù)的積化和差公式第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日例1求sin75°·cos15°的值．法1：考慮到75°±15°都是特殊角，所以想到使用積化和差公式解決之．法2：由于75°與15°互為余角，所以可以采用以下的解法．第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日法3：由于75°與15°可以由45°與30°組合而成，所以只要用到和差角的三角函數(shù)公式就可以解決了．第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°2．cos37.5°·cos22.5°練習(xí)1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值2．求cos37.5°·cos22.5°的值第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日而sin20°·sin40°·sin80°第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日法2：第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日例3求sin42°-cos12°+sin54°的值．解：原式=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=cos54°-sin18°=2sin36°sin18°．第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日3．求cos20°+cos100°+cos140°．

=cos40°+cos140°=0．4．△ABC中，求證cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC．證明：∵A、B、C為△ABC的三內(nèi)角．∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)．∴原式左邊=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1=4cos(A+B)cosAcosC-1=-1-4cosAcosBcosC．達(dá)標(biāo)練習(xí)第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日

1本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的積化和差公式，雖然這些公式是新出現(xiàn)的，但它和過去學(xué)習(xí)的一些三角公式有密切的關(guān)系，所以首先應(yīng)理清他們的內(nèi)在聯(lián)系，這組公式的功能可以把三角函數(shù)的積的形式轉(zhuǎn)化為和差的形式，通過例解及課堂練習(xí)，同學(xué)們也開始發(fā)現(xiàn)這組公式的作用，希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中記好、用好這一組公式。

2遇