名師課件：高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第一冊(cè) 一元二次不等式的解法

人教B版必修第一冊(cè)第二章等式與不等式2.2.3

一元二次不等式的解法

情境與問(wèn)題汽車(chē)在行駛中，由于慣性，剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱(chēng)這段距離為“剎車(chē)距離”。剎車(chē)距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù)。在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，但還是相碰了。事后現(xiàn)場(chǎng)勘查，測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)6m，乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)10m.已知甲、乙兩種車(chē)型的剎車(chē)距離sm與車(chē)速vkm/h之間的關(guān)系分別為s甲=s乙=試判斷甲、乙兩車(chē)有無(wú)超速現(xiàn)象。

不難看出，要判斷甲、乙兩車(chē)是否超速，就是要得到它們車(chē)速的取值范圍，也就是要解不等式

一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式稱(chēng)為一元二次不等式，其中a，b，c是常數(shù)，而且a≠0.一元二次不等式中的不等號(hào)也可以是“<”“≥”“≤”等如何求一個(gè)一元二次不等式的解集呢？讓我們從簡(jiǎn)單的一元二次不等式開(kāi)始探討.首先來(lái)看一元二次不等式x（x一1）>0.①

嘗試與發(fā)現(xiàn)任意選定一些教，看它們是否是不等式①的解，由此給出解這個(gè)不等式的方法.

注意到只有兩個(gè)同號(hào)的數(shù)相乘，結(jié)果才能是正數(shù)，也就是說(shuō)，ab>0當(dāng)且僅當(dāng)解得x>1或x<0，因此，不等式①的解集為

（一∞，0）∪（1，+∞）.

a>0，或a<0，b>0b<0.x>0，或x<0，

x-1>0x-1<0.因此，不等式①可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組

用類(lèi)似的方法可以求得不等式（x+1）（x-1）<0②的解，但此時(shí)的依據(jù)是：ab<0當(dāng)且僅當(dāng)不難解得x∈?或-1＜x＜1，因此不等式②的解集為

（-1，1）

a<0，或a>0，b>0b<0.因此，不等式②可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組x+1<0，或x+1>0，

x-1>0x-1<0.一般地，如果x1<x2，則不等式（x-x1）（x-x2）<0的解集是

（x1，x2）不等式（x-x1）(x-x2)>0的解集是（一∞，x1）∪（x2，+∞）典型例題例1求不等式x2-x-2>0的解集

因?yàn)閤2-x-2=（x+1）（x-2），所以原不等式等價(jià)于（x+1）（x-2）>0，因此所求解集為（一∞，一1）U（2，+∞）.回到情境與問(wèn)題中的不等式，v2-10v-600>0可以化為（v+20）（v-30）>0，因此甲車(chē)的車(chē)速v>30；而v2-10v-2000>0可以化為（v+40）（v-50）>0因此乙車(chē)的車(chē)速v＞50.由此可見(jiàn)，乙車(chē)肯定超速了.

上述我們介紹的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.當(dāng)然，這種方法只有在一元二次不等式是特殊類(lèi)型時(shí)才比較方便，那么一般情況該怎么辦呢？

嘗試與發(fā)現(xiàn)

通過(guò)代入數(shù)值驗(yàn)證的方法，猜測(cè)以下一元二次不等式的解集，由此總結(jié)求一元二次不等式解集的一般方法：（1）x2<-1；（2）x2>-2；（3）x2<9.因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的平方一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，因此上述嘗試與發(fā)現(xiàn)中（1）的解集為?，（2）的解集為R對(duì)于x2<9.來(lái)說(shuō)，兩邊同時(shí)開(kāi)根號(hào)可得，即|x|<3，因此-3<x<3，從而得到（3）的解集為（-3，3）.這就是說(shuō)，一般的一元二次不等式可以通過(guò)配方法來(lái)求得解集.典型例題例2求下列不等式的解集：（1）x2+4x+1≥0；（2）x2-6x-1≤0；（3）-x2+2x-1<0；（4）2x2+4x+5>0.（1）x2+4x+1≥0因?yàn)閤2+4x+1=x2+4x+4-4+1=（x+2)2-3，所以原不等式可化為（x+2)2-3≥0，即（x+2)2≥3，兩邊開(kāi)平方得|x+2|≥，從而可知x+2≤-或x+2≥，因此x≤-2-或x≥-2+，所以原不等式的解集為（一∞，-2-]∪[-2+，+∞）.（2）x2-6x-1≤0因?yàn)閤2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，所以原不等式可化為(x-3)2-10≤0，即(x-3)2≤10，兩邊開(kāi)平方得|x-3|≤，從而可知

-≤x-3≤因此3-≤x≤3+，所以原不等式的解集為

[3-，3+].（3）-x2+2x-1<0原不等式可化為x2-2x+1>0，又因?yàn)閤2-2x+1=（x-1)2，所以上述不等式可化為

（x-1)2>0.注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集為（一∞，1）U（1，+∞）（4）2x2+4x+5>0原不等式可化為

所以原不等式可以化為即因?yàn)椴浑y看出，這個(gè)不等式恒成立，即原不等式的解集為R.因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的平方一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，因此上述嘗試與發(fā)現(xiàn)中（1）的解集為?，（2）的解集為R對(duì)于x2<9.來(lái)說(shuō)，兩邊同時(shí)開(kāi)根號(hào)可得，即|x|<3，因此-3<x<3，從而得到（3）的解集為（-3，3）.這就是說(shuō)，一般的一元二次不等式可以通過(guò)配方法來(lái)求得解集.因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的平方一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，因此上述嘗試與發(fā)現(xiàn)中（1）的解集為?，（2）的解集為R對(duì)于x2<9.來(lái)說(shuō)，兩邊同時(shí)開(kāi)根號(hào)可得，即|x|<3，因此-3<x<3，從而得到（3）的解集為（-3，3）.這就是說(shuō)，一般的一元二次不等式可以通過(guò)配方法來(lái)求得解集.由上可知，一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）通過(guò)配方總是可以變?yōu)?/p>

(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式，然后根據(jù)k的正負(fù)等知識(shí)，就可以得到原不等式的解集。典型例題例3求不等式的解集.由題意知x-2≠0，因此（x-2)2>0，原不等式兩邊同時(shí)乘以(x-2)2可得