《直接證明與間接證明》設(shè)計(jì) 省賽一等獎(jiǎng)

《直接證明與間接證明》教學(xué)設(shè)計(jì)綜合法和分析法(1)【學(xué)情分析】：前一階段剛剛學(xué)習(xí)了人們?cè)谌粘；顒?dòng)和科學(xué)研究中經(jīng)常使用的兩種推理——合情推理和演繹推理。數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過(guò)邏輯推理的方式加以證明。這是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的顯著特點(diǎn)。本節(jié)學(xué)習(xí)兩類(lèi)基本的證明方法：直接證明與間接證明。在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)用綜合法、分析法和反證法證明數(shù)學(xué)命題，但他們對(duì)這些證明方法的內(nèi)涵和特點(diǎn)不一定非常清楚，邏輯規(guī)則也會(huì)應(yīng)用不當(dāng)。本部分結(jié)合學(xué)生已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生分析這些基本證明方法的電教過(guò)程與特點(diǎn)，并歸納出操作流程框圖，使他們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)和生活中，能自覺(jué)地、有意識(shí)地運(yùn)用這些方法進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識(shí)與技能：結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法——綜合法和分析法；了解綜合法、分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)（2）過(guò)程與方法：能夠運(yùn)用綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理，論證有據(jù)的習(xí)慣【教學(xué)重點(diǎn)】：了解綜合法、分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；運(yùn)用綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題?！窘虒W(xué)課時(shí)】：1課時(shí)【教學(xué)難點(diǎn)】：根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題。【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：一、提出問(wèn)題1.比較生：。2.生：討論、交流完成，對(duì)比解答通過(guò)復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課通過(guò)典型數(shù)學(xué)實(shí)例，概括綜合法的特點(diǎn)二、綜合法定義綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。（也形象地稱為“順推證法”或“由因?qū)Чā保╅喿x課本P85倒數(shù)第3行：流程框圖 更直觀了解綜合法的證明過(guò)程三、應(yīng)用1.例1．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，且A，B，C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列，求證：為等邊三角形。[幾何畫(huà)板]證明：由A，B，C成等差數(shù)列，有2B=A+C①∵A，B，C為的內(nèi)角∴A+B+C=π②由①②得③由a,b,c成等比數(shù)列，有④∵由④，得即因此a=c從而有A=C⑤由②③⑤，得所以為等邊三角形。強(qiáng)調(diào)分析過(guò)程和思考過(guò)程，尤其是本題的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換（2B=A+C），隱含條件的顯性化（A+B+C=π），通過(guò)尋找條件和結(jié)論間的聯(lián)系，就可直接從已知條件和余弦定理出發(fā)，證明問(wèn)題。例題起到運(yùn)用綜合法證題的示范作用，注意規(guī)范化表達(dá)。四、練習(xí)鞏固1.2.補(bǔ)充：已知:xy>0,求證：[幾何畫(huà)板]證明：（學(xué)生板演練習(xí)）及時(shí)講評(píng)學(xué)生板演過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題五、提出問(wèn)題師：要證明成立，需要什么條件？生：需要：師：要證明成立，只需證什么條件？生：需要：師：要證明成立，需要什么條件？生：需要：師：是否成立？生：是的師：上面的分析過(guò)程，即給出分析法的實(shí)例。詳細(xì)的板書(shū)推導(dǎo)利于學(xué)生總結(jié)歸納出分析法的思考過(guò)程和特點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生概括出分析法的特點(diǎn)六、分析法定義分析法：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。這種證明的方法叫做分析法。（也形象地稱為“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”）閱讀課本P97.流程框圖更直觀了解分析法的證明過(guò)程七、應(yīng)用1.例2．求證：證明：∵和4都是正數(shù)∴為了證明只需證明展開(kāi)得：只需證15<16∵15<16顯然成立，∴原式成立2.師：綜合法與分析法有什么樣的思維關(guān)系？生：討論交流，總結(jié)歸納“綜合法”與“分析法”的思維是互逆的關(guān)系，綜合法是從條件出發(fā)，產(chǎn)生與目標(biāo)相關(guān)的聯(lián)想，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決；而分析法是從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立須滿足的條件在具體處理問(wèn)題時(shí)，兩種思維一般同時(shí)進(jìn)行，即綜合法離不開(kāi)目標(biāo)的指引，分析法離不開(kāi)條件的環(huán)境。綜合法和分析法各有優(yōu)缺點(diǎn)。分析法思考自然，容易找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考。實(shí)際證明時(shí)先用分析法探求證明途徑，然后用綜合法敘述。3.上面的例2可以用綜合法完成證明（要在草稿紙上先分析好）例題證明∵15<16∴∴則∵和4都是正數(shù)∴成立例題示范分析法的思路、證明步驟，加深對(duì)分析法的認(rèn)識(shí)通過(guò)討論交流，比較2種證明方法的差異，提升對(duì)綜合法與分析法的認(rèn)識(shí)。老師要提醒并強(qiáng)調(diào)分析法的證明過(guò)程易出現(xiàn)不完整情況正因?yàn)榉治龇ㄔ谧C明過(guò)程中易出現(xiàn)步驟的不完善，所以告訴學(xué)生可以將用分析法證明的問(wèn)題以綜合法的形式呈現(xiàn)，這樣也可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯性思維八、練習(xí)鞏固九、知識(shí)小結(jié)綜合法和分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；分析法證明問(wèn)題時(shí)需要注意的地方；綜合法與分析法的關(guān)系。[幾何畫(huà)板]通過(guò)小結(jié)總結(jié)所學(xué)，突出重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)難點(diǎn)十、課后作業(yè)1．P91.習(xí)題2.2A組22.P91.習(xí)題組22.閱讀課本十一、設(shè)計(jì)反思學(xué)生在用分析法證明問(wèn)題時(shí)，往往缺少必要的敘述環(huán)節(jié)，直接從還應(yīng)證式出發(fā)推證。教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)證明格式，對(duì)于普通班，可以要求學(xué)生將草稿紙上的分析過(guò)程倒過(guò)來(lái)寫(xiě)，只用綜合法的方式證題，這樣會(huì)清晰得多?！揪毩?xí)與測(cè)試】：1．命題“對(duì)任意角都成立”的證明過(guò)程如下：“”，該過(guò)程應(yīng)用了（）A.分析法 B.綜合法 C.綜合法與分析法結(jié)合使用 D.間接證法答案：B解：因?yàn)槭抢萌枪胶统朔ü街苯油瞥鼋Y(jié)論，故選B。2.已知，求證：。證明：而，故∴求證式成立。求證：證明：因?yàn)椋?/p>