華東師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下期變量與函數(shù)

17.1.1

常量與變量大千世界處在不停的運(yùn)動(dòng)變化之中,如何來(lái)研究這些運(yùn)動(dòng)變化并尋找規(guī)律呢?數(shù)學(xué)上常用變量與函數(shù)來(lái)刻畫(huà)各種運(yùn)動(dòng)變化.汽車(chē)行駛的路程會(huì)隨著行駛時(shí)間的變化而變化。

先看什么叫變量？一輛以60千米/小時(shí)行駛的汽車(chē)所走的路程S和時(shí)間t之間有S=60t像這樣在某一變化過(guò)程中,可以取不同數(shù)值的量,叫做變量.刻畫(huà)汽車(chē)運(yùn)動(dòng)變化的量是路程S和時(shí)間t,路程S隨著時(shí)間t的變化而變化,它們都會(huì)取不同的數(shù)值．在以上問(wèn)題中出現(xiàn)了可以取不同數(shù)值的量.①這天的2時(shí)30分、9時(shí)和14時(shí)的氣溫分別為少？任意給出這天中的某一時(shí)刻，說(shuō)出這一時(shí)刻的氣溫．②這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？③這一天中，什么時(shí)段的氣溫在逐漸升高？什么時(shí)段的氣溫在逐漸降低？時(shí)間t(時(shí))810246121416182022240溫度T(C)2468-2-40問(wèn)題1

下圖是某地一天的氣溫變化圖,看圖回答：什么叫函數(shù)呢?在以上變化過(guò)程中存在著兩個(gè)變量t和T,對(duì)于時(shí)間t每取一個(gè)值,溫度T都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).我們就說(shuō)t是自變量,T是因變量.也稱(chēng)T是t的函數(shù).

這張圖是怎樣來(lái)展示這天各時(shí)刻的溫度和刻畫(huà)這天的氣溫變化規(guī)律的?這張圖告訴我們哪些信息?問(wèn)題2小蕾在過(guò)14歲生日時(shí)，看到了爸爸為她記錄的體重，如下表：

觀察上表,說(shuō)說(shuō)隨著周歲x的增長(zhǎng),小蕾的體重y是如何變化的？在以上變化過(guò)程中存在著兩個(gè)變量x和y,對(duì)于x每取一個(gè)值,y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).我們就說(shuō)x是自變量,y是因變量.也稱(chēng)y是x的函數(shù).周歲x123456體重（kg）7.912.215.618.420.723.0問(wèn)題3收音機(jī)上的刻度盤(pán)的波長(zhǎng)和頻率分別是用米(m)和千赫茲(kHz)為單位標(biāo)刻的．下面是一些對(duì)應(yīng)的數(shù)：細(xì)心的同學(xué)可能會(huì)發(fā)現(xiàn)：與

f

的乘積是一個(gè)定值，即

f＝300000，或者說(shuō) f＝在以上變化過(guò)程中存在著兩個(gè)變量和f,對(duì)于每取一個(gè)值,f都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).我們就說(shuō)是自變量,f是因變量.也稱(chēng)f是的函數(shù).300000波長(zhǎng)(m)30050060010001500頻率f(kHz)1000600500300200

問(wèn)題4

圓的面積隨著半徑的增大而增大．如果用r表示圓的半徑，S表示圓的面積則S與r之間滿(mǎn)足下列關(guān)系：

S＝____________．利用這個(gè)關(guān)系式,試求出半徑為1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm時(shí)圓的面積,并將結(jié)果填入下表:(≈3.14)r2在以上變化過(guò)程中存在著兩個(gè)變量r和S,對(duì)于r每取一個(gè)值,S都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).我們就說(shuō)r是自變量,S是因變量.也稱(chēng)S是r的函數(shù).半徑l(cm)11.522.63.2…圓面積S(cm2)3.147.0712.5721.2432.17…在某一變化過(guò)程中,可以取不同數(shù)值的量,叫做變量.

上面各個(gè)問(wèn)題中,都出現(xiàn)了兩個(gè)變量,它們互相依賴(lài),密切相關(guān).

一般地,如果在一個(gè)變化過(guò)程中,有兩個(gè)變量,例如x和y,對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng),我們就說(shuō)x是自變量,y是因變量,此時(shí)也稱(chēng)y是x的函數(shù).概括的函數(shù)的本質(zhì)就是唯一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.研究事物的運(yùn)動(dòng)變化,實(shí)際是從研究因變量與自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手的.因變量與自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系又叫函數(shù)關(guān)系.試一試：看誰(shuí)的眼光準(zhǔn)例1、判斷下列變量關(guān)系是不是函數(shù)？(1)等腰三角形的底邊長(zhǎng)與面積判斷是不是函數(shù)，我們可以看它的數(shù)學(xué)式子中的變量之間是否滿(mǎn)足函數(shù)的定義函數(shù)的關(guān)系式是等式那么函數(shù)解析式的書(shū)寫(xiě)有沒(méi)有要求呢？通常等式的右邊是含有自變量的代數(shù)式，

左邊的一個(gè)字母表示函數(shù)如何去書(shū)寫(xiě)呢？3.寫(xiě)出下列各問(wèn)題中的關(guān)系式,并指出其中的常量與變量:(1)圓的周長(zhǎng)C與半徑r的關(guān)系式;(2)火車(chē)以90千米/時(shí)的速度行駛,它駛過(guò)的路程s(千米)和所用時(shí)間t(時(shí))的關(guān)系式;(3)n邊形的內(nèi)角和S與邊數(shù)n的關(guān)系式.3.解:(2)s=90t,S=(n－2)×180,(1)C=2r,2、是常量，r和C是變量.90是常量，t和s是變量.2和180是常量，n和S是變量.教你一招：1、先認(rèn)真審題，根據(jù)題意找出相等關(guān)系2、按相等關(guān)系，寫(xiě)出含有兩個(gè)變量的等式3、將等式變形為用含有自變量的代數(shù)式表示函數(shù)的式子

1、y比x的少22、y是x的倒數(shù)的4倍根據(jù)所給的條件，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式：

3、矩形的周長(zhǎng)是18cm,它的長(zhǎng)是y，寬是xcm；表示函數(shù)關(guān)系的方法通常有三種：(1)

解析法，如問(wèn)題3中的f＝,問(wèn)題4中的S＝πr2,這些表達(dá)式稱(chēng)為函數(shù)的關(guān)系式．(2)

列表法,如問(wèn)題2中的利率表,問(wèn)題3中的波長(zhǎng)與頻率關(guān)系表．(3)

圖象法,如問(wèn)題1中的氣溫曲線.在問(wèn)題的研究過(guò)程中,還有一種量,它的取值始終保持不變,我們稱(chēng)之為常量.如問(wèn)題3中的300000,問(wèn)題4中的π等.300000小結(jié)：函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)1.解析法兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做解析法。解析法簡(jiǎn)單明了，能準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)的相依關(guān)系，但求對(duì)應(yīng)值時(shí)，往往要經(jīng)過(guò)比較復(fù)雜的計(jì)算，而且在實(shí)際問(wèn)題中，有的函數(shù)關(guān)系，不一定能用解析式表達(dá)出來(lái)。2.列表法把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系,這種表示法叫做列表法。如平方根表、正弦函數(shù)表等。列表法一目了然，表格中已有的自變量的每一個(gè)值，不需要計(jì)算就可以直接查出與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，使用起來(lái)很方便，但列表法有局限性，因?yàn)榱谐龅膶?duì)應(yīng)值是有限的，而且在表格中也不容易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。3.圖象法用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。圖象法形象直觀，通過(guò)函數(shù)的圖象，可以直接、形象地把函數(shù)關(guān)系表示出來(lái)，能夠直觀地研究函數(shù)的一些性質(zhì)，例如函數(shù)有沒(méi)有最大值（或最小值）？最大（?。┲凳嵌嗌?？函數(shù)值是隨自變量增大而增大，還是隨自變量的增大而減小等等，函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具。但是，由函數(shù)圖象觀察只能得到近似的數(shù)量關(guān)系。在解決問(wèn)題時(shí)，我們常常綜合地運(yùn)用這三種表示法，來(lái)深入地研究函數(shù)的性質(zhì)。交流小結(jié):

1.函數(shù)概念包含：(1)兩個(gè)變量；(2)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．2.在某個(gè)變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量，叫做變量；數(shù)值始終保持不變的量，叫做常量．例如x和y，對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有惟一的值與之對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō)x是自變量，y是因變量．3.函數(shù)關(guān)系三種表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)圖象法

練習(xí)(1)從表中你能看出該市14歲的男學(xué)生的平均身高是多少嗎?(2)該市男學(xué)生的平均身高從哪一歲開(kāi)始迅速增加?(3)上表反映了哪些變量之間的關(guān)系?其中哪個(gè)是自變量?哪個(gè)是因變量?2.解:2.下表是某市2000年統(tǒng)計(jì)的該市男學(xué)生各年齡組的平均身高.1.舉3個(gè)日常生活中遇到的函數(shù)關(guān)系的例子.(1)14歲的男學(xué)生的平均身高是146.1cm．(2)約從11歲開(kāi)始身高迅速增加.(3)反映了該市男學(xué)生的平均身高和年齡這兩個(gè)變量之間的關(guān)系,其中年齡是自變量,平均身高是因變量.年齡組(歲)7891011121314151617男生平均身高(cm)115.4118.3122.2126.5129.6135.5140.4146.1154.8162.9168.2(1)購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為每本10元的書(shū)籍,付款總金額y(元),購(gòu)買(mǎi)本數(shù)x(本).問(wèn):變量是______,常