高一數(shù)學函數(shù)知識總結(jié)合集6篇范文

高一數(shù)學函數(shù)知識總結(jié)合集6篇范文總結(jié)就是把一個時段的學習、工作或其完成情況進行一次全面系統(tǒng)的總結(jié)，它能夠使頭腦更加清醒，目標更加明確，因此好好準備一份總結(jié)吧。則如何把總結(jié)寫出新把戲呢？下列是小編精心整理的高一數(shù)學函數(shù)知識總結(jié)，僅供參考，歡迎大家閱讀。

高一數(shù)學函數(shù)知識總結(jié)1一、函數(shù)的概念與表示

1、映射

(1)映射：設(shè)A、B是兩個匯合，如果按照某種映射法那么f，對于匯合A中的任一個元素，在匯合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括匯合A、B以及A到B的對應(yīng)法那么f)叫做匯合A到匯合B的映射，記作f：A→B。

注意點：(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應(yīng)是映射的辦法。一對多不是映射，多對一是映射

2、函數(shù)

構(gòu)成函數(shù)概念的三要素

①定義域②對應(yīng)法那么③值域

兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件：三要素有兩個相同

二、函數(shù)的解析式與定義域

1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：

(1)分式的分母不為零;

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義;

(3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

(4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

三、函數(shù)的值域

1求函數(shù)值域的辦法

①直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復(fù)合函數(shù);

②換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式;

③判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;

④別離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);

⑤單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域;

⑥圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域;

⑦利用對號函數(shù)

⑧幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)

四.函數(shù)的奇偶性

1.定義:設(shè)y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，那么稱y=f(x)為偶函數(shù)。

如果對于任意∈A，都有，那么稱y=f(x)為奇

函數(shù)。

2.性質(zhì)：

①y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對稱,y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,

②假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，那么f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1，D2，D1∩D2要關(guān)于原點對稱]

3.奇偶性的判斷

①看定義域是否關(guān)于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關(guān)系

五、函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)單調(diào)性的定義：

2、設(shè)是定義在M上的函數(shù)，假設(shè)f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，那么在M上是減函數(shù);假設(shè)f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，那么在M上是增函數(shù)。

高一數(shù)學函數(shù)知識總結(jié)2一：函數(shù)及其表示

知識點詳解文檔包含函數(shù)的概念、映射、函數(shù)關(guān)系的判斷原那么、函數(shù)區(qū)間、函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域、求具體或抽象數(shù)值的函數(shù)值、求函數(shù)值域、函數(shù)的表示辦法等

1.函數(shù)與映射的區(qū)別：

2.求函數(shù)定義域

常見的用解析式表示的函數(shù)f(x)的定義域可以歸納如下：

①當f(x)為整式時，函數(shù)的定義域為R.

②當f(x)為分式時，函數(shù)的定義域為使分式分母不為零的實數(shù)匯合。

③當f(x)為偶次根式時，函數(shù)的定義域是使被開方數(shù)不小于0的實數(shù)匯合。

④當f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是使真數(shù)為正、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)匯合。

⑤如果f(x)是由幾個局部的數(shù)學式子構(gòu)成的，則函數(shù)定義域是使各局部式子都有意義的實數(shù)匯合，即求各局部有意義的實數(shù)匯合的交集。

⑥復(fù)合函數(shù)的定義域是復(fù)合的各根本的函數(shù)定義域的交集。

⑦對于由實際問題的背景確定的函數(shù)，其定義域除上述外，還要受實際問題的制約。

3.求函數(shù)值域

(1)、察看法：通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的察看，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域;

(2)、配辦法;如果一個函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式，則將這個函數(shù)的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域;

(3)、判別式法：

(4)、數(shù)形結(jié)合法;通過察看函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的辦法得到函數(shù)的值域;

(5)、換元法;以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進而求出值域;

(6)、利用函數(shù)的單調(diào)性;如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴格單調(diào)的，則就可以利用端點的函數(shù)值來求出值域;

(7)、利用根本不等式：對于一些特殊的分式函數(shù)、高于二次的函數(shù)可以利用重要不等式求出函數(shù)的值域;

(8)、最值法：對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比擬,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域;

(9)、反函數(shù)法：如果函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù)，則求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)的定義域。

高一數(shù)學函數(shù)知識總結(jié)3【(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)】

1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應(yīng)，而函數(shù)又是一種特殊的映射.

2、對于函數(shù)的概念，應(yīng)注意如下幾點：

(1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特別是會求分段函數(shù)的解析式.

(3)如果y=f(u)，u=g(x)，則y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù).

3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟：

(1)確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)將x，y對換，得反函數(shù)的習慣敘述式y(tǒng)=f-1(x)，并注明定義域.

注意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起.

②熟悉的應(yīng)用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結(jié)論，可以防止求反函數(shù)的過程，從而簡化運算.

【(二)、函數(shù)的解析式與定義域】

1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應(yīng)法那么的同時，求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型：

(1)有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結(jié)合實際意義考慮;

(2)已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：

①分式的分母不得為零;

②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數(shù)y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

應(yīng)注意，一個函數(shù)的解析式由幾局部組成時，定義域為各局部有意義的自變量取值的公共局部(即交集).

(3)已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.

已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的'取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.

2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況

(1)根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必須引入適宜的變量，根據(jù)數(shù)學的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式.

(2)有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法.比方函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可.

(3)假設(shè)題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的敘述式時，可用換元法求函數(shù)f(x)的敘述式，這時必須求出g(x)的值域，這相當于求函數(shù)的定義域.

(4)假設(shè)已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的敘述式.

【(三)、函數(shù)的值域與最值】

1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法那么，不管采用何種辦法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用辦法如下：

(1)直接法：亦稱察看法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接察看得出函數(shù)的值域.

(2)換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，假設(shè)函數(shù)解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數(shù)換元，當根式里是二次式時，用三角換元.

(3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.

(4)配辦法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配辦法.

(5)不等式法求值域：利用根本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等〞有時需用到平方等技巧.

(6)判別式法：把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0〞求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.

(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何辦法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.

2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

求函數(shù)最值的常用辦法和求函數(shù)值域的辦法根本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.

如函數(shù)的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數(shù)無值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.

3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用

函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“項目造價最低〞，“利潤〞或“面積(體積)(最小)〞等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.

【(四)、函數(shù)的奇偶性】

1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f(x)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，則函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充沛條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)).

2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式：

注意如下結(jié)論的運用：

(1)不管f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)總是偶函數(shù);

(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，則在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)·g(x)是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇〞“奇×奇=偶〞，“偶±偶=偶〞“偶×偶=偶〞“奇×偶=奇〞;

(3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);

(4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

3、有關(guān)奇偶性的幾個性質(zhì)及結(jié)論

(1)一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱.

(2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零，則它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(3)假設(shè)奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，那么f(0)=0成立.

(4)假設(shè)f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，那么奇(偶)函數(shù)在正負對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。

(5)假設(shè)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，那么F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).

(6)奇偶性的推廣

函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，那么y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，那么y=f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數(shù)。

【(五)、函數(shù)的單調(diào)性】

1、單調(diào)函數(shù)

對于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>(或?qū)τ诤瘮?shù)單調(diào)性的定義的理解，要注意下列三點：

(1)單調(diào)性是與“區(qū)間〞緊密相關(guān)的概念.一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.

(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體〞性質(zhì)，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.

(3)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，討論單調(diào)性必須在定義域范圍內(nèi).

(4)注意定義的兩種等價形式：

設(shè)x1、x2∈[a，b]，則：

①在[a、b]上是增函數(shù);

在[a、b]上是減函數(shù).

②在[a、b]上是增函數(shù).

在[a、b]上是減函數(shù).

需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.

(5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且(或x1>x2)，這表明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推〞.

5、復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性

假設(shè)u=g(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調(diào)性相同，那么復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在[a，b]上單調(diào)遞增;否那么，單調(diào)遞減.簡稱“同增、異減〞.

在研究函數(shù)的單調(diào)性時，常需要先將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此，掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過程.

6、證明函數(shù)的單調(diào)性的辦法

(1)依定義進行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1(或(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).

如果f′(x)>0，那么f(x)為增函數(shù);如果f′(x)【(六)、函數(shù)的圖象】

函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn)，應(yīng)加強對作圖、識圖、用圖能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合的思想辦法解決問題的意識.

求作圖象的函數(shù)敘述式

與f(x)的關(guān)系

由f(x)的圖象需經(jīng)過的變換

y=f(x)±b(b>0)

沿y軸向平移b個單位

y=f(x±a)(a>0)

沿x軸向平移a個單位

y=-f(x)

作關(guān)于x軸的對稱圖形

y=f(|x|)

右不動、左右關(guān)于y軸對稱

y=|f(x)|

上不動、下沿x軸翻折

y=f-1(x)

作關(guān)于直線y=x的對稱圖形

y=f(ax)(a>0)

橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變

y=af(x)

縱坐標伸長到原來的|a|倍，橫坐標不變

y=f(-x)

作關(guān)于y軸對稱的圖形

【例】定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

①求證：f(0)=1;

②求證：y=f(x)是偶函數(shù);

③假設(shè)存在常數(shù)c，使求證對任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù)，如果是，找出它的一個周期;如果不是，請表明理由.

思路分析：我們把沒有給出解析式的函數(shù)稱之為抽象函數(shù)，解決這類問題一般采用賦值法.

解答：①令x=y=0，那么有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)=1.

②令x=0，那么有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這表明f(x)為偶函數(shù).

③分別用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=

所以，所以f(x+c)=-f(x).

兩邊應(yīng)用中的結(jié)論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函數(shù)，2c就是它的一個周期.

高一數(shù)學函數(shù)知識總結(jié)4一、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，假設(shè)AB，那么y關(guān)于x函數(shù)的y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.

二、復(fù)合函數(shù)定義域問題：〔一〕例題剖析：

(1)、已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域

思路：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，即xD，所以f的作用范圍為D，又f對g(x)作用，作用范圍不變，所以g(x)D，解得xE，E為fg(x)的定義域。

例1.設(shè)函數(shù)f(u)的定義域為〔0，1〕，那么函數(shù)f(lnx)的定義域為_____________。解析：函數(shù)f(u)的定義域為〔0，1〕即u(0，1)，所以f的作用范圍為〔0，1〕又f對lnx作用，作用范圍不變，所以0lnx1解得x(1，e)，故函數(shù)f(lnx)的定義域為〔1，e〕

1，那么函數(shù)ff(x)的定義域為______________。x11解析：先求f的作用范圍，由f(x)，知x1

x1例2.假設(shè)函數(shù)f(x)即f的作用范圍為xR|x1，又f對f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x應(yīng)滿足x1

f(x)1x1即1，解得x1且x2

1x1故函數(shù)ff(x)的定義域為xR|x1且x2〔2〕、已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域

思路：設(shè)fg(x)的定義域為D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范圍為E，又f對x作用，作用范圍不變，所以xE，E為f(x)的定義域。

例3.已知f(32x)的定義域為x1，2，那么函數(shù)f(x)的定義域為_________。解析：f(32x)的定義域為1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范圍為1，5，又f對x作用，作用范圍不變，所以x1，5

即函數(shù)f(x)的定義域為1，5

x2例4.已知f(x4)lg2，那么函數(shù)f(x)的定義域為______________。

x82x2x20解析：先求f的作用范圍，由f(x4)lg2，知2x8x82解得x44，f的作用范圍為(4，)，又f對x作用，作用范圍不變，所以

2x(4，)，即f(x)的定義域為(4，)

〔3〕、已知fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域

思路：設(shè)fg(x)的定義域為D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范圍為E，又f對h(x)作用，作用范圍不變，所以h(x)E，解得xF，F(xiàn)為fh(x)的定義域。

例5.假設(shè)函數(shù)f(2x)的定義域為1，1，那么f(log2x)的定義域為____________。

解析：f(2)的定義域為1，1，即x1，1，由此得2，2

2xx11f的作用范圍為，2

21又f對log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定義域為

2，4

2，4

評注：函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍〔用匯合或區(qū)間表示〕f對誰作用，那么誰的范圍是f的作用范圍，f的作用對象可以變，但f的作用范圍不會變。利用這種理念求此類定義域問題會有“得來全不費功夫〞的感覺，值得大家探討。

三、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題

〔1〕引理證明已知函數(shù)yf(g(x)).假設(shè)ug(x)在區(qū)間(a,b〕上是減函數(shù)，其值域為(c，d)，又函數(shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，則，原復(fù)合函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b〕上是增函數(shù).

證明：在區(qū)間(a,b〕內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2，使ax1x2b

因為ug(x)在區(qū)間(a,b〕上是減函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1g(x1),

u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)

因為函數(shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即

f(g(x1))f(g(x2))，

故函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b〕上是增函數(shù).〔2〕．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個圖表：

yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增減減增減減減增以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減〞或“同增異減〞.〔3〕、復(fù)合函數(shù)yf(g(x))的單調(diào)性判斷步驟：確定函數(shù)的定義域；

將復(fù)合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：yf(u)與ug(x)。分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性；

假設(shè)兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同〔即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)〕，那么復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為增函數(shù)；假設(shè)兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異〔即一個是增函數(shù)，而另一個是減函數(shù)〕，那么復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為減函數(shù)。

〔4〕例題演練

例1、求函數(shù)ylog1(x2x3)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明22解：定義域x2x30x3或x1

單調(diào)減區(qū)間是(3,)設(shè)x1,x2(3,)且x1x2那么

y1log1(x12x13)y2log1(x22x23)

2222(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)

∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底數(shù)0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是減函數(shù)2222112同理可證：y在(,1)上是增函數(shù)

高一數(shù)學函數(shù)知識總結(jié)5知識點總結(jié)

本節(jié)知識包括函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對稱性和函數(shù)的圖象等知識點。函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對稱性是學習函數(shù)的圖象的根底，函數(shù)的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點，函數(shù)的圖象就迎刃而解了。

一、函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)單調(diào)性的定義

2、函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明：(1)定義法(2)復(fù)合函數(shù)分析法(3)導(dǎo)數(shù)證明法(4)圖象法

二、函數(shù)的奇偶性和周期性

1、函數(shù)的奇偶性和周期性的定義

2、函數(shù)的奇偶性的判定和證明辦法

3、函數(shù)的周期性的判定辦法

三、函數(shù)的圖象

1、函數(shù)圖象的作法(1)描點法(2)圖象變換法

2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。

常見考法

本節(jié)是段考和高考必不可少的考查內(nèi)容，是段考和高考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有，并且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數(shù)學的每一章聯(lián)合考查，多屬于拔高題。多考查函數(shù)的單調(diào)性、最值和圖象等。

誤區(qū)提醒

1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域，即遵循“函數(shù)問題定義域優(yōu)先的原那么〞。

2、單調(diào)區(qū)間必須用區(qū)間來表示，不能用匯合或不等式，單調(diào)區(qū)間一般寫成開區(qū)間，不必考慮端點問題。

3、在多個單調(diào)區(qū)間之間不能用“或〞和“〞連接，只能用逗號隔開。

4、判斷函數(shù)的奇偶性，首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，那么函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。

5、作函數(shù)的圖象，一般是首先化簡解析式，然后確定用描點法或圖象變換法作函數(shù)的圖象。

高一數(shù)學函數(shù)知識總結(jié)6一、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，假設(shè)AB，那么y關(guān)于x函數(shù)的y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.

二、復(fù)合函數(shù)定義域問題：

〔一〕例題剖析：

(1)、已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域

思路：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，即xD，所以f的作用范圍為D，又f對g(x)作用，作用范圍不變，所以g(x)D，解得xE，E為fg(x)的定義域。

例1.設(shè)函數(shù)f(u)的定義域為〔0，1〕，那么函數(shù)f(lnx)的定義域為_____________。解析：函數(shù)f(u)的定義域為〔0，1〕即u(0，1)，所以f的作用范圍為〔0，1〕又f對lnx作用，作用范圍不變，所以0lnx1解得x(1，e)，故函數(shù)f(lnx)的定義域為〔1，e〕例2.假設(shè)函數(shù)f(x)1x1，那么函數(shù)ff(x)的定義域為______________。

1x1解析：先求f的作用范圍，由f(x)，知x1

即f的作用范圍為xR|x1，又f對f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x應(yīng)滿足x1即1，解得x1且x2

1x1x1f(x)1

故函數(shù)ff(x)的定義域為xR|x1且x2〔2〕、已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域

思路：設(shè)fg(x)的定義域為D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范圍為E，又f對x作用，作用范圍不變，所以xE，E為f(x)的定義域。

例3.已知f(32x)的定義域為x1，2，那么函數(shù)f(x)的定義域為_________。解析：f(32x)的定義域為1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范圍為1，5，又f對x作用，作用范圍不變，所以x1，5

即函數(shù)f(x)的定義域為1，5

2例4.已知f(x4)lg2x2x8，那么函數(shù)f(x)的定義域為______________。

解析：先求f的作用范圍，由f(x4)lg2x22x8，知

x22x80

解得x244，f的作用范圍為(4，)，又f對x作用，作用范圍不變，所以x(4，)，即f(x)的定義域為(4，)

〔3〕、已知fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域

思路：設(shè)fg(x)的定義域為D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范圍為E，又f對h(x)作用，作用范圍不變，所以h(x)E，解得xF，F(xiàn)為fh(x)的定義域。

例5.假設(shè)函數(shù)f(2x)的定義域為1，1，那么f(log2x)的定義域為____________。

1解析：f(2)的定義域為1，1，即x1，1，由此得2，2

2xxf的作用范圍為

1，22又f對log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定義域為

12，4

2，4

評注：函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍〔用匯合或區(qū)間表示〕f對誰作用，那么誰的范圍是f的作用范圍，f的作用對象可以變，但f的作用范圍不會變。利用這種理念求此類定義域問題會有“得來全不費功夫〞的感覺，值得大家探討。

〔二〕同步練習：

21、已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,1]，求函數(shù)f(x)的定義域。

答案：[1,1]

2、已知函數(shù)f(32x)的定義域為[3,3]，求f(x)的定義域。

答案：[3,9]

3、已知函數(shù)yf(x2)的定義域為(1,0)，求f(|2x1|)的定義域。

(12,0)(1,3)答案：

2

4、設(shè)fxlg2xx2，那么ff的定義域為〔〕

2x2xA.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4,22,4

x22,2x20得，f(x)的定義域為x|2x2。故解：選C.由，解得2x4,11,4。故ff的定義域為4,11,4

2x5、已知函數(shù)f(x)的定義域為x(［解析］由已知，有1ax3,13x,)，求g(x)f(ax)f()(a0)的定義域。22a221x3,2a212x32112aa2x3232aa.,

x〔1〕當a1時，定義域為{x|〔2〕當

32a32}；a2a，即0a1時，有a2x32a}；

12a2a，

定義域為{x|〔3〕當

32a32a，即a1時，有1x32a}.12aa2a2，

定義域為{x|2a故當a1時，定義域為{x|xx32a32}；

當0a1時，定義域為{x|a}.

［點評］對于含有參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，必須對字母進行討論，要注意思考討論字母的辦法。

三、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題

〔1〕引理證明已知函數(shù)yf(g(x)).假設(shè)ug(x)在區(qū)間(a,b〕上是減函數(shù)，其值域為(c，d)，又函數(shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，則，原復(fù)合函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b〕上是增函數(shù).

證明：在區(qū)間(a,b〕內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2，使ax1x2b

因為ug(x)在區(qū)間(a,b〕上是減函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1g(x1),

u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)

因為函數(shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2))，

故函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b〕上是增函數(shù).〔2〕．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個圖表：

yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增減減增減減減增以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減〞或“同增異減〞.〔3〕、復(fù)合函數(shù)yf(g(x))的單調(diào)性判斷步驟：確定函數(shù)的定義域；

將復(fù)合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：yf(u)與ug(x)。分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性；

假設(shè)兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同〔即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)〕，那么復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為增函數(shù)；假設(shè)兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異〔即一個是增函數(shù)，而另一個是減函數(shù)〕，那么復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為減函數(shù)。

〔4〕例題演練例1、求函數(shù)ylog212(x2x3)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明2解：定義域x2x30x3或x1

單調(diào)減區(qū)間是(3,)設(shè)x1,x2(3,)且x1x2那么

y1log2(x12x13)y2log122(x22x23)122(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)

2∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底數(shù)0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是減函數(shù)22121

同理可證：y在(,1)上是增函數(shù)［例］2、討論函數(shù)f(x)loga(3x22x1)的單調(diào)性.［解］由3x22x10得函數(shù)的定義域為

1{x|x1,或x}.

3那么當a1時，假設(shè)x1，∵u3x22x1為增函數(shù)，∴f(x)loga(3x22x1)為增函數(shù).

假設(shè)x13，∵u3x22x1為減函數(shù).

∴f(x)loga(3x22x1)為減函數(shù)。

當0a1時，假設(shè)x1，那么f(x)loga(3x22x1)為減函數(shù)，假設(shè)xf(x)loga(3x22x1)為增函數(shù).

13，那么

例3、.已知y=loga(2-a)在［0，1］上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍.解：∵a＞0且a≠1

當a＞1時，函數(shù)t=2-a>0是減函數(shù)

由y=loga(2-a)在［0，1］上x的減函數(shù)，知y=logat是增函數(shù)，∴a＞1

由x［0，1］時，2-a2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2

當0例4、已知函數(shù)f(x2)ax2(a3)xa2〔a為負整數(shù)〕的圖象經(jīng)過點

(m2,0),mR，設(shè)g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x).問是否存在實數(shù)p(p0)使得

F(x)在區(qū)間(,f(2)]上是減函數(shù)，且在區(qū)間(f(2),0)上是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。

［解析］由已知f(m2)0，得am2(a3)ma20，其中mR,a0.∴0即3a22a90，解得

1273a1273.

∵a為負整數(shù)，∴a1.

∴f(x2)x4x3(x2)21，

2242即f(x)x21.g(x)f[f(x)](x1)1x2x，

∴F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x21.

若存在實數(shù)p(p0)，使得F(x)滿足條件，設(shè)x1x2，

22)[p(x12x2)2p1].∴F(x1)F(x2)(x12x2∵f(2)3，當x1,x2(,3)時，F(xiàn)(x)為減函數(shù)，

220,p(x12x2)2p10.∴F(x1)F(x2)0，∴x12x2218,∵x13,x23,∴x12x22)2p116p1,∴p(x12x2∴16p10.①

當x1,x2(3,0)時,F(x)增函數(shù),∴F(x1)F(x2)0.

220,∴p(x12x2)2p116p1,∵x12x2∴16p10.由①、②可知p116②

，故存在p116.

〔5〕同步練習：

1．函數(shù)y＝logA．〔－∞，1〕C．〔－∞，

3212〔x2－3x＋2〕的單調(diào)遞減區(qū)間是〔〕

B．〔2，＋∞〕D．〔

32〕，＋∞〕

解析：先求函數(shù)定義域為〔－o，1〕∪〔2，＋∞〕，令t〔x〕＝x2＋3x＋2，函數(shù)t〔x〕

在〔－∞，1〕上單調(diào)遞減，在〔2，＋∞〕上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原那么，函數(shù)y＝log12〔x2－3x＋2〕在〔2，＋∞〕上單調(diào)遞減．

答案：B

2找出以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

〔1〕yax〔2〕y223x2(a1)；.

x22x3答案：(1)在(,]上是增函數(shù)，在[,)上是減函數(shù)。

2233〔2〕單調(diào)增區(qū)間是[1,1]，減區(qū)間是[1,3]。

3、討論yloga(a1),(a0,且a0)的單調(diào)性。

答案：a1,時(0,)為增函數(shù)，1a0時，(,0)為增函數(shù)。4．求函數(shù)y＝log13x〔x2－5x＋4〕的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

解：由〔x〕＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈〔－∞，1〕∪〔4，＋∞〕，當x∈〔－∞，1〕∪〔4，＋∞〕，｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函數(shù)的值域是R．因

＋＋

為函數(shù)y＝log13〔x2－5x＋4〕是由y＝log13〔x〕與〔x〕＝x2－5x＋4復(fù)合而成，函

52數(shù)y＝log13〔x〕在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)〔x〕＝x2－5x＋4在〔－∞，

〕

上為減函數(shù)，在［

52，＋∞］上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y＝log13〔x2－5x＋4〕的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log13〔x〕為減函數(shù)、〔x〕＝x2－5x＋4也

為減函數(shù)的區(qū)間，即〔－∞，1〕；y＝log1〔x2－5x＋4〕的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log313〔x〕為減函數(shù)、〔x〕＝x2－5x＋4為增函數(shù)的區(qū)間，即〔4，＋∞〕．

變式練習一、選擇題

1．函數(shù)f〔x〕＝log

A．〔1，＋∞〕C．〔－∞，2〕

12(x－1)的定義域是〔〕

B．〔2，＋∞〕

2]D．(1，解析：要保證真數(shù)大于0，還要保證偶次根式下的式子大于等于0，

x－1＞0所以log(x－1)120解得1＜x≤2．

答案：D2．函數(shù)y＝log

12〔x2－3x＋2〕的單調(diào)遞減區(qū)間是〔〕

B．〔2，＋∞〕D．〔

32A．〔－∞，1〕C．〔－∞，

32〕，＋∞〕

解析：先求函數(shù)定義域為〔－o，1〕∪〔2，＋∞〕，令t〔x〕＝x2＋3x＋2，函數(shù)t〔x〕在〔－∞，1〕上單調(diào)遞減，在〔2，＋∞〕上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原那么，函數(shù)y＝log12〔x2－3x＋2〕在〔2，＋∞〕上單調(diào)遞減．

答案：B

3．假設(shè)2lg〔x－2y〕＝lgx＋lgy，那么

A．4

yx的值為〔〕B．1或D．

1414

C．1或4

yx錯解：由2lg〔x－2y〕＝lgx＋lgy，得〔x－2y〕2＝xy，解得x＝4y或x＝y(tǒng)，那么有

14＝或

xy＝1．

答案：選B

正解：上述解法忽略了真數(shù)大于0這個條件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y(tǒng)舍掉．只有x＝4y．答案：D

4．假設(shè)定義在區(qū)間〔－1，0〕內(nèi)的函數(shù)f〔x〕＝log的取值范圍為〔〕

A．〔0，C．〔

12122a〔x＋1〕滿足f〔x〕＞0，那么a

〕

B．〔0，1〕D．〔0，＋∞〕

，＋∞〕

解析：因為x∈〔－1，0〕，所以x＋1∈〔0，1〕．當f〔x〕＞0時，根據(jù)圖象只有0＜

2a＜l，解得0＜a＜答案：A

12〔根據(jù)本節(jié)思維過程中第四條提到的性質(zhì)〕．

5．函數(shù)y＝lg〔

21－x－1〕的圖象關(guān)于〔〕

1＋x1－xA．y軸對稱C．原點對稱

21－x

B．x軸對稱D．直線y＝x對稱

1＋x1－x解析：y＝lg〔

－1〕＝lg，所以為奇函數(shù)．形如y＝lg或y＝lg1＋x1－x的函數(shù)都為奇函數(shù)．答案：C二、填空題

已知y＝loga〔2－ax〕在［0，1］上是x的減函數(shù)，那么a的取值范圍是__________．解析：a＞0且a≠1〔x〕＝2－ax是減函數(shù)，要使y＝loga〔2－ax〕是減函數(shù)，那么a＞1，又2－ax＞0a＜答案：a∈〔1，2〕

7．函數(shù)f〔x〕的圖象與g〔x〕＝〔的單調(diào)遞減區(qū)間為______．

解析：因為f〔x〕與g〔x〕互為反函數(shù)，所以f〔x〕＝log那么f〔2x－x2〕＝log132x〔0＜x＜1〕a＜2，所以a∈〔1，2〕．

13〕的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，那么f〔2x－x2〕

xx

13〔2x－x2〕，令〔x〕＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．

〔x〕＝2x－x2在〔0，1〕上單調(diào)遞增，那么f［〔x〕］在〔0，1〕上單調(diào)遞減；〔x〕＝2x－x2在〔1，2〕上單調(diào)遞減，那么f［〔x〕］在［1，2〕上單調(diào)遞增．所以f〔2x－x2〕的單調(diào)遞減區(qū)間為〔0，1〕．答案：〔0，1〕

8．已知定義域為R的偶函數(shù)f〔x〕在［0，＋∞］上是增函數(shù)，且f〔那么不等式f〔log4x〕＞0的解集是______．解析：因為f〔x〕是偶函數(shù)，所以f〔－

1212〕＝0，

〕＝f〔

12〕＝0．又f〔x〕在［0，＋∞］

12上是增函數(shù)，所以f〔x〕在〔－∞，0〕上是減函數(shù)．所以f〔log4x〕＞0log4x＞

9

或log4x＜－

12．

12解得x＞2或0＜x＜

．

12答案：x＞2或0＜x＜三、解答題9．求函數(shù)y＝log13

〔x2－5x＋4〕的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

解：由〔x〕＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈〔－∞，1〕∪〔4，＋∞〕，當x∈〔－∞，1〕∪〔4，＋∞〕，｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函數(shù)的值域是R

＋＋

．因為函數(shù)y＝log1〔x2－5x＋4〕是由y＝log313〔x〕與〔x〕＝x2－5x＋4復(fù)合而成，

52函數(shù)y＝log13〔x〕在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)〔x〕＝x2－5x＋4在〔－∞，

〕

上為減函數(shù)，在［

52，＋∞］上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y＝log13〔x2－5x＋4〕的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log13〔x〕為減函數(shù)、〔x〕＝x2－5x＋4也

為減函數(shù)的區(qū)間，即〔－∞，1〕；y＝log1〔x2－5x＋4〕的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log313〔x〕為減函數(shù)、〔x〕＝x2－5x＋4為增函數(shù)的區(qū)間，即〔4，＋∞〕．10．設(shè)函數(shù)f〔x〕＝

23x＋5＋lg3－2x3＋2x，

〔1〕求函數(shù)f〔x〕的定義域；

〔2〕判斷函數(shù)f〔x〕的單調(diào)性，并給出證明；

〔3〕已知函數(shù)f〔x〕的反函數(shù)f1〔x〕，問函數(shù)y＝f1〔x〕的圖象與x軸有交點嗎《

－－

假設(shè)有，求出交點坐標；假設(shè)無交點，表明理由．解：〔1〕由3x＋5≠0且＜

323－2x3＋2x＞0，解得x≠－

53且－

32＜x＜

32．取交集