機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)cha

第二章運(yùn)動(dòng)學(xué)中的向量法

向量法是描述剛體運(yùn)動(dòng)的一種基本方法，可用直角坐標(biāo)，也可用極坐標(biāo)表示。§2-1復(fù)數(shù)矢量法(復(fù)極向量法)一、復(fù)數(shù)用兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y表示一個(gè)復(fù)數(shù)x、y分別稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，實(shí)部單位為“1”，略去不寫，虛部單位“i”有求法規(guī)則：對(duì)實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)也對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)：

則稱是z的共軛復(fù)數(shù)，定義為復(fù)數(shù)z的模記為：模等于1的復(fù)數(shù)稱為單位復(fù)數(shù)：θ稱為幅角，由Euler公式：二、復(fù)數(shù)矢量的表示如圖的自由矢量的表示為：，則該矢量可表示為：設(shè)在復(fù)平面上有一個(gè)單位矢量（2-1）于是矢量的分量分別為：相當(dāng)于矢量轉(zhuǎn)過900。1）向量與單位矢量相乘：（2-2）表示向量逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一個(gè)角。與虛數(shù)單位i的乘積：2）向量（2-3）同理：轉(zhuǎn)過1800。相當(dāng)于矢量（2-4）是單位矢量的共軛矢量3）4）兩個(gè)有用公式（2-5）（2-6）（2-7）（2-8）5）復(fù)數(shù)矢量的微分等式右邊可看作二個(gè)復(fù)數(shù)矢量其中分別為它們的矢量大?。＃瑸閱挝环较蚴?。，表示某一點(diǎn)相對(duì)于固定參考系坐標(biāo)設(shè)矢量原點(diǎn)的位置，則一階導(dǎo)數(shù)：（2-9）二階導(dǎo)數(shù)：繼續(xù)求導(dǎo)可求出高階導(dǎo)數(shù)。（2-10）JIRO可寫成：則矢量為式中θ為矢量在復(fù)平面（O—RI平面）上的投影與J軸的夾角。與實(shí)軸R間夾角，三、空間矢量的復(fù)數(shù)表示R為實(shí)軸，I、J為虛軸，取坐標(biāo)系O—RIJ，矢量如圖，（2-11）可看成長度a與單位向量矢量由式2—11的乘積。則單位向量：（2-12）實(shí)虛虛，其一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)為:

式中：（2-13）（2-14）（2-15）§2-2利用復(fù)數(shù)向量進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析是在已知機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)和幾何尺寸的條件下，在原動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律給定時(shí)，確定從動(dòng)件任一運(yùn)動(dòng)變量的變化規(guī)律。運(yùn)動(dòng)分析包括：位置分析，速度和加速度分析。其中位置分析方程通常是非線性的，只有簡單的二級(jí)機(jī)構(gòu)才能列出輸出變量和輸入變量的顯函數(shù)表達(dá)式，而其他情況下，方程的求解就需要利用各種數(shù)值解法。

1、鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)建立封閉矢量方程，可有兩種形式：a、連續(xù)頭尾相接的封閉鏈；b、到達(dá)同一研究點(diǎn)的兩個(gè)不同途徑的兩個(gè)分支。雷文（Raven）稱為“獨(dú)立位置方程”法，這一方法對(duì)解決輸入和輸出構(gòu)件都繞各自固定點(diǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)的問題特別有效。一、平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析如圖鉸鏈四四桿機(jī)構(gòu)，，假設(shè)各桿桿長度為r1、r2、r3、r4輸入角θ2已知，可列列出獨(dú)立位位置方程：：位置分析的的目的是求求出θ3和θ4的值。（2-16）（1）位置置分析？？解題思路：：1）利用已已知r1、r2和θ2，求出對(duì)角角線矢量d。2）利用矢矢量d和r4求出矢量r3，解出θ3和θ4。。首先確定對(duì)對(duì)角線d的長度：將式（2——17）移移項(xiàng)后，分分別求上它它們各自的的共軛復(fù)數(shù)數(shù)：（2-17）或：（2-18）將式（2——17）分分解為實(shí)部部和虛部，，得：由此解得：：所以：（2-19）由式（2——17）計(jì)計(jì)算θd，很容易判判別θd的象限，當(dāng)矢量可可確定后，，由于：?。?—21）實(shí)部部得：（2-20）（2-21）移項(xiàng)，兩邊邊分別乘以以各自的共共軛復(fù)數(shù)：：消去θ4有兩個(gè)可能能解，根據(jù)據(jù)連續(xù)條件件確定一個(gè)個(gè)。同樣，θ4有可能有2個(gè)解，根根據(jù)連續(xù)條條件加以確確定。取（2—20）的虛虛部得：（2-22）（2）速度度分析由位置方程程進(jìn)進(jìn)行求導(dǎo)導(dǎo)：由于鉸鏈四四桿機(jī)構(gòu)中中均為剛體體，因此利利用上式））矢量微分分，將不包包含徑向分分量項(xiàng)，由由此得：（2-23）該式由相對(duì)對(duì)運(yùn)動(dòng)速度度多邊形圖圖示說明為為：分別表示的方向，它它們是的方向轉(zhuǎn)過過所得，是已知的。。將上述矢量量方程分解解為實(shí)部分分量和虛部部分量：未知量左移：（2-24）最后，用Cramer（克萊萊姆）法則則解（2——24）于是可得：：類似似可可求求得得：：（2-25））（2-26））（3））加加速速度度分分析析同樣樣方方法法對(duì)對(duì)（（2——16））進(jìn)進(jìn)行行二二次次微微分分得得：：（2-27））將（2-27）分解為實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量，便可得含有未知數(shù)和的兩個(gè)方程：由此此得得：：2、、偏偏置置曲曲柄柄滑滑塊塊機(jī)機(jī)構(gòu)構(gòu)列出出B點(diǎn)點(diǎn)的的獨(dú)獨(dú)立立位位置置方方程程，，再再由由位位置置方方程程一一次次、、二二次次微微分分得得速速度度。。加加速速度度方方程程。。通通過過分分離離實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)分分量量和和虛虛數(shù)數(shù)分分量量的的方方法法最最終終求求出出未未知知量量：：？？3、、擺擺動(dòng)動(dòng)導(dǎo)導(dǎo)桿桿機(jī)機(jī)構(gòu)構(gòu)，求求不不同同位位置置的的已知知：：構(gòu)構(gòu)件件1和和構(gòu)構(gòu)件件2長長度度為為r1、r2，，構(gòu)件件2（（曲曲柄柄））的角角速速度度和和角角加加速速度度為為（1））位位置置分分析析獨(dú)立立位位置置方方程程為為：：（2-27））？？分成實(shí)數(shù)分量量和虛數(shù)分量量：兩式相除得：：代入（2—28）：（2-28））（2-29））（2-30））（2）速度分分析兩邊乘以則：對(duì)（2—27）求導(dǎo)桿的的速度方程：：（2-31））將上式分成實(shí)實(shí)數(shù)分量和虛虛數(shù)分量得：：（3）對(duì)位置置方程二次微微分得加速度度方程：兩邊同乘得：取虛數(shù)分量：：（2-32））（2-33））（2-34））因此：取（2—23）實(shí)數(shù)分量量：因此得：（2-35））（2-36））如圖所示RSSR機(jī)構(gòu)，，桿2在I——J平面旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，桿4在平平衡R—J平平面旋轉(zhuǎn)，已已知：時(shí)桿3的位置置角二、空間機(jī)構(gòu)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析析求當(dāng)：？？？由于桿2在I—J平面內(nèi)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以以矢量與R軸夾角θ2=900，又由于桿4在平行于R—J平面內(nèi)內(nèi)旋轉(zhuǎn)，因此向量r4在I—R平面面內(nèi)的投影與與R軸夾角θ4=0。在I—R平面面內(nèi)的投影對(duì)B點(diǎn)可列兩兩個(gè)獨(dú)立位置置方程：(1)位置置分析（2-37））矢量A0B0可表達(dá)為：A0B0＝a+ib+jc展開：分別取R、I、J分量得：由（2）移項(xiàng)項(xiàng)：（1）（2）（3）（4）代入得：由（3）式移移項(xiàng)得：（5）可對(duì)（2—37）式一次微分后，分別取R、I、J分量，也可直接（1）、（2）、（3）一次微分得速度分量。求導(dǎo)時(shí)各長度尺寸為常數(shù)，角不變的。由此得：（2）速度分分析由（6）式移移項(xiàng)得：（6）（7）（8）由（7）式移移項(xiàng)得：（9）（10）（11）（11）代入入（8）得：：由此得：（3）加速度度分析（（略）三、復(fù)數(shù)矢量量法進(jìn)行機(jī)構(gòu)構(gòu)的綜合復(fù)數(shù)矢量法能能夠方便的應(yīng)應(yīng)用于桿機(jī)構(gòu)構(gòu)的綜合，特特別是平面機(jī)機(jī)構(gòu)的綜合。。如要綜合一一平面鉸鏈四四桿機(jī)構(gòu)，而而該機(jī)構(gòu)在某某一位置時(shí)各各構(gòu)件必須滿滿足規(guī)定的角角速度、角加加速度，可用用復(fù)數(shù)矢量法法。§2-3利利用直直角坐標(biāo)向量量的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)動(dòng)分析一、直角坐標(biāo)標(biāo)向量標(biāo)記法法、空間任意一點(diǎn)A的位置在直角坐標(biāo)系中可用向量來表示，直角坐標(biāo)系，若x、y、z方向上的單位向量為：，則我們可以將向量表示為：分別是向量在三個(gè)個(gè)方向向上的的分量量。二、桿桿組分分類法法（阿阿蘇爾爾運(yùn)動(dòng)動(dòng)鏈））1、桿桿組的的定義義機(jī)構(gòu)可可以認(rèn)認(rèn)為是是由機(jī)機(jī)架、、主動(dòng)動(dòng)件和和從動(dòng)動(dòng)件系系統(tǒng)三三部分分組成成。從從動(dòng)件件系統(tǒng)統(tǒng)的自自由度度為零零。因因此，，從動(dòng)動(dòng)件系系統(tǒng)一一定可可以分分解成成一個(gè)個(gè)或若若干個(gè)個(gè)不可可再分分解的的自由由度為為零的的運(yùn)動(dòng)動(dòng)鏈，，這種種運(yùn)動(dòng)動(dòng)鏈稱稱為桿桿組。。機(jī)構(gòu)是是由一一個(gè)或或若干干個(gè)自自由度度為零零的運(yùn)運(yùn)動(dòng)鏈鏈依次次聯(lián)接接到機(jī)機(jī)架和和主動(dòng)動(dòng)件上上而形形成的的。2、桿桿組的的分類類桿組的的構(gòu)件件數(shù)n與低副副數(shù)p滿足：：3n-2p=0運(yùn)動(dòng)副A、C為桿組的外副，B為內(nèi)副，外副若為轉(zhuǎn)動(dòng)副畫為實(shí)心圓，三個(gè)運(yùn)動(dòng)副為移動(dòng)副則失去桿組性質(zhì)。n=4，p=6n=6，p=9桿組按按其包包含的的封閉閉形是是幾邊邊形進(jìn)進(jìn)行分分級(jí)。。桿組運(yùn)運(yùn)動(dòng)確確定性性：外外副若若與運(yùn)運(yùn)動(dòng)已已知的的構(gòu)件件相聯(lián)聯(lián)，則則桿組組中每每一構(gòu)構(gòu)件的的運(yùn)動(dòng)動(dòng)都是是確定定的。。桿組靜靜力確確定性性：如如桿組組上作作用的的外力力系已已知，，則桿桿組的的各運(yùn)運(yùn)動(dòng)副副中的的約束束反力力未知知數(shù)可可由桿桿組本本身各各構(gòu)件件的平平衡方方程式式解出出。三、Ⅱ級(jí)機(jī)機(jī)構(gòu)的的運(yùn)動(dòng)動(dòng)分析析平面連連桿機(jī)機(jī)構(gòu)利利用拆拆組分分析的的方法法，可可以分分為ⅡⅡ級(jí)機(jī)機(jī)構(gòu)、、Ⅲ級(jí)級(jí)機(jī)構(gòu)構(gòu)、ⅣⅣ級(jí)機(jī)機(jī)構(gòu)等等。其其中ⅡⅡ級(jí)機(jī)機(jī)構(gòu)有有五種種基本本桿組組：RRR、RRP、RPR、PRP、RPP。1．RRRⅡ級(jí)級(jí)組的的分析析平面鉸鉸鏈四四桿機(jī)機(jī)構(gòu)可可以拆拆出如如圖所所示的的RRRⅡⅡ級(jí)組組，它它是由由三個(gè)個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)副A、B、C和兩兩個(gè)構(gòu)構(gòu)件1、2組合合而成成。在在研究究機(jī)構(gòu)構(gòu)運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)，，往往往把運(yùn)運(yùn)動(dòng)副副看成成一個(gè)個(gè)點(diǎn)，，運(yùn)動(dòng)動(dòng)副A、C即為為外點(diǎn)點(diǎn)，外外點(diǎn)分分別與與其它它桿組組的構(gòu)構(gòu)件i和j相連連接，，或其其中之之一與與機(jī)架架相鉸鉸接。。？？2．內(nèi)內(nèi)副為為移動(dòng)動(dòng)副的的RPRⅡⅡ級(jí)組組的分分析P1、P2為運(yùn)動(dòng)動(dòng)已知知點(diǎn)，，其坐坐標(biāo)為為P1(P1x、P1y)、P2(P2x、P2y)。矢矢量位位置方方程：：向兩坐坐標(biāo)軸軸投影影得：：解得：：？？？速度和和加速速度分分析同同前，，得到到：3．外副之之一為移動(dòng)動(dòng)副的RRPⅡ級(jí)組組的分析P4為運(yùn)動(dòng)已知知點(diǎn)，待求求運(yùn)動(dòng)點(diǎn)為為P2。滑塊在其其上滑動(dòng)的的構(gòu)件上的的兩點(diǎn)P1和P3的運(yùn)動(dòng)為已已知。？例：以飛剪剪機(jī)構(gòu)為例例，構(gòu)件1、6為原原動(dòng)件，當(dāng)當(dāng)原動(dòng)件的的運(yùn)動(dòng)給定定后，構(gòu)件件3、5組組成的是三三轉(zhuǎn)動(dòng)副的的二級(jí)組，，故可以調(diào)調(diào)用RRR公式求解解，構(gòu)件2、4組成成的是一外外副為移動(dòng)動(dòng)副的二級(jí)級(jí)組，故可可調(diào)用RRP公式求求解。四、復(fù)雜平平面連桿機(jī)機(jī)構(gòu)的位置置分析構(gòu)成機(jī)構(gòu)的的最高級(jí)桿桿組為二級(jí)級(jí)以上桿組組的機(jī)構(gòu)稱稱為高級(jí)機(jī)機(jī)構(gòu)或復(fù)雜雜機(jī)構(gòu)。n桿的基本本組可以與與相關(guān)構(gòu)件件（圖中虛虛線，一般般由機(jī)架和和原動(dòng)件確確定）組成成n/2個(gè)個(gè)獨(dú)立封閉閉形（圖中Ⅰ、ⅡⅡ、Ⅲ表示封閉閉形的序號(hào)號(hào)）。每個(gè)封封閉形可建建立一個(gè)矢矢量環(huán)方程程或兩個(gè)標(biāo)標(biāo)量方程。。因而，n桿的基本本組在運(yùn)動(dòng)動(dòng)分析中引引入n個(gè)變變量，可以以建立n個(gè)個(gè)獨(dú)立方程程，在一般般情況下可可以得到確確定解。封閉環(huán)矢量量方程：標(biāo)量方程：：如圖一六桿桿機(jī)構(gòu)，原原動(dòng)件為l1，轉(zhuǎn)角φ1，該機(jī)構(gòu)可可以拆分為為一個(gè)四桿桿組，可以以列出兩個(gè)個(gè)獨(dú)立的位位置方程：：？？？？解位置方方程得到到關(guān)于φφ4的一維非非線性方方程，可可用數(shù)值值法迭代代求解。。速度和和加速度度求解需需把位置置方程對(duì)對(duì)時(shí)間求求一、二二階導(dǎo)數(shù)數(shù)。型轉(zhuǎn)換法法數(shù)值迭迭代求解解上述方法法對(duì)不同同的機(jī)構(gòu)構(gòu)都必須須首先進(jìn)進(jìn)行公式式推導(dǎo)，，因此不不具有通通用性。。型轉(zhuǎn)換換法是把把一個(gè)復(fù)復(fù)雜的桿桿組通過過轉(zhuǎn)化變變成多個(gè)個(gè)簡單的的構(gòu)件或或二桿組組，然后后直接調(diào)調(diào)用求解解二桿組組的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)程序求求解，適適用于計(jì)計(jì)算機(jī)求求解，具具有通用用性。在阿蘇爾爾組中把把部分外外約束解解除而在在內(nèi)部運(yùn)運(yùn)動(dòng)鏈中中輸入