激光原理-第二章29-212

§2-9高斯光束的基本性質(zhì)及特征參數(shù)§2-10高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律§2-11高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直§2-12高斯光束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔§2-13光束衍射倍率因子§2-14非穩(wěn)腔的幾何自再現(xiàn)波型§2-15非穩(wěn)腔的幾何放大率及自再現(xiàn)波型的能量損耗第二章開放式光腔與高斯光束§2-9高斯光束的基本性質(zhì)及特征參數(shù)一、基模高斯光束沿z軸方向傳播的基模高斯光束的場，不管它是由何種結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定腔所產(chǎn)生的，均可表示為如下的一般形式其中，c為常數(shù)因子，其余各符號的意義為ω0為基模高斯光束的腰斑半徑；f為高斯光束的共焦參數(shù)；R(z)為與軸線相交于z點(diǎn)的高斯光束等相位面的曲率半徑；ω(z)是與傳播相交于z點(diǎn)的高斯光束等相位面上的光斑半徑。當(dāng),即f表示光斑半徑增加到腰斑的倍處的位置。關(guān)于共焦腔振蕩模的知識得知，焦距為f或曲率半徑為R=2f的對稱共焦腔所產(chǎn)生的高斯光束的腰斑半徑恰為ω0。鏡斑二、基模高斯光束在自由空間的傳輸規(guī)律高斯光束具有下述基本性質(zhì)：(1)基模高斯光束在橫截面內(nèi)的場振幅分布按高斯函數(shù)所描述的規(guī)律從中心(即傳輸軸線)向外平滑地降落。由振幅降到中心值的1/e的點(diǎn)所定義的光斑半徑為可見，光斑半徑隨坐標(biāo)z按雙曲線的規(guī)律而擴(kuò)展，在z=0處，ω(z)=ω0,達(dá)到極小值。鏡斑(2)高斯光束的相移特性由相位因子所決定。它描述高斯光束在點(diǎn)(x,y,z)處相對于原點(diǎn)(0,0,0)處的相位滯后。其中：kz描述幾何相移；arctan(z/f)描述高斯光束在空間行進(jìn)距離z時對幾何相移的附加相位超前；因子kr2/2R表示與橫坐標(biāo)(x,y)有關(guān)的相位移動，它表明高斯光束的等相位面是以R為半徑的球面，R由下式給出(3)定義在基模高斯光束強(qiáng)度的1/e2點(diǎn)的遠(yuǎn)場發(fā)散角為總之，高斯光束在其傳輸軸線附近可以近似看做是一種非均勻球面波，其曲率中心隨著傳輸過程而不斷改變，但其振幅和強(qiáng)度在橫截面內(nèi)始終保持高斯分布特性，且其等相位面始終保持為球面。三、基模高斯光束的特征參數(shù)1.用參數(shù)ω0(或f)及束腰位置表征高斯光束

一旦ω0的大小和位置給定了，整個高斯光束的結(jié)構(gòu)也就隨之確定下來。由此可以確定于束腰相距z處的光斑大小、等相位面的曲率半徑R(z)、該點(diǎn)相對于束腰處的相位滯后以及整個光束的發(fā)散角。

由于在ω0與f直接存在著確定的關(guān)系，因此可以用共焦參數(shù)f及束腰的位置來表征特定的高斯光束。2.用參數(shù)ω(z)和R(z)表征高斯光束

如果知道了某給定位置處的光斑半徑ω(z)和等相位面曲率半徑R(z)，則可決定高斯光束腰斑的大小和位置3.高斯光束的q參數(shù)

把上式中與橫坐標(biāo)r有關(guān)的因子放在一起引入一個新參數(shù)q(z)，定義為

上式所定義的q參數(shù)將描述高斯光束基本特征的兩個參數(shù)ω(z)和R(z)統(tǒng)一在一個表達(dá)式中，它是表征高斯光束的又一個重要參數(shù)。一旦知道了高斯光束在某位置處的q參數(shù)值，如果以q0=q(0)表示z=0處的q參數(shù)值，并注意到R(0),ω(0)=0，則四、高階高斯光束1.厄米特-高斯光束

在方形孔徑共焦腔或方形孔徑穩(wěn)定球面腔中，除了基模高斯光束以外，還可以存在各階高斯光束，其橫截面內(nèi)的場分布可由高斯光束與厄米特多項(xiàng)式的乘積描述。沿z方向傳輸?shù)亩蛎滋?高斯光束可以寫成如下的一般形式

厄米特-高斯光束與基模高斯光束的區(qū)別在于：厄米特-高斯光束的橫向場分布由高斯函數(shù)與厄米特多項(xiàng)式的乘積決定，厄米特-高斯光束沿x方向有m條節(jié)線，沿y方向有n條節(jié)線；沿傳輸軸線相對于幾何相移的附加相位超前為對階數(shù)m和n的增大而增大。另外，x方向和y方向的光腰尺寸為z處的光斑尺寸為在x方向和y方向的遠(yuǎn)場發(fā)散角2.拉蓋爾-高斯光束

在柱對稱(包括圓形孔徑共焦腔)中，高階橫模由締合拉蓋爾多項(xiàng)式與高斯函數(shù)的乘積來描述，沿z方向傳輸?shù)睦w爾-高斯光束可表為如下的一般形式與基模高斯光束相比，柱對稱系統(tǒng)中的高階高斯光束的橫向場分布由函數(shù)描述，它沿半徑r方向有n個節(jié)線圓，沿輻角方向有m根節(jié)線。拉蓋爾-高斯光束的附加相移為由上式可見ΔΦmn隨n的增加比隨m更快；可以證明，其光斑半徑

發(fā)散角

§2-9高斯光束的基本性質(zhì)及特征參數(shù)§2-10高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律§2-11高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直§2-12高斯光束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔§2-13光束衍射倍率因子§2-14非穩(wěn)腔的幾何自再現(xiàn)波型§2-15非穩(wěn)腔的幾何放大率及自再現(xiàn)波型的能量損耗第二章開放式光腔與高斯光束§2-10高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律一、普通球面波的傳播規(guī)律普通球面波波前曲率半徑R(z)隨傳播過程的變化為：R1(z)R2(z)z1z2zL本節(jié)用q參數(shù)來討論高斯光束的傳輸規(guī)律。普通球面波在自由空間的傳播規(guī)律00′R1R2zz’當(dāng)傍軸波面通過焦距為F的透鏡時，其波前曲率半徑滿足關(guān)系：傍軸球面波通過薄透鏡的變化規(guī)律在2.2節(jié)我們已經(jīng)引入過傍軸光線通過光學(xué)系統(tǒng)的變化矩陣當(dāng)光線在自由空間傳播中行進(jìn)距離為L時，其變換矩陣為而焦距為F的薄透鏡對傍軸光線的變換矩陣為依此，球面波的傳播規(guī)律可以統(tǒng)一的寫成反映了近軸球面波曲率半徑的傳輸與光學(xué)系統(tǒng)矩陣元之間的關(guān)系。二、高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律——ABCD公式

高斯球面波——非均勻、曲率中心不斷改變的球面波——也具有類似普通球面波的曲率半徑R這樣的參量，其傳播規(guī)律與普通球面波的R完全類似。這就是上一節(jié)已經(jīng)提到過的高斯光束的q參數(shù)：

式中為z=0處的q參數(shù)值。上式描述了高斯光束的q參數(shù)在自由空間中的傳輸規(guī)律。它在形式上比上式的傳輸規(guī)律要簡單一些。由可得其中，q1=q(z1)為z1處的q參數(shù)值；

q2=q(z2)為z2處的q參數(shù)值。

當(dāng)通過薄透鏡時，高斯光束q參數(shù)的變化規(guī)律很簡單。若以M1表示高斯光束入射到透鏡表明上的波面，由于高斯光束的等相位面為球面，經(jīng)透鏡后被轉(zhuǎn)化成另一球面波面M2而出射，M1與M2的曲率半徑R1及R2之間的關(guān)系滿足同時，由于透鏡很薄，所以緊挨透鏡的兩方的波面M1及M2上的光斑大小及光強(qiáng)分布都應(yīng)該完全一樣。以表示ω1入射在透鏡表面上的高斯光束光斑半徑，ω2表示出射高斯光束光斑半徑，則薄透鏡的這一性質(zhì)表示為即為q參數(shù)通過薄透鏡的變換公式。形式上與普通球面波所滿足的完全類似。其中，q1為入射高斯光束在透鏡表明上的q參數(shù)值；q2為出射高斯光束在透鏡表面上的q參數(shù)值。R1,ω1為入射高斯光束在透鏡表面上的波面曲率半徑和光斑半徑；R2,ω2為出射高斯光束在透鏡表明上的波面曲率半徑和光斑半徑。由上式可知無論是對在自由空間的傳播或?qū)νㄟ^光學(xué)系統(tǒng)的變換，高斯光束的q參數(shù)都起著和普通球面波的曲率半徑R一樣的作用，因此有時又將q參數(shù)稱為高斯光束的復(fù)曲率半徑。與上式類似，q參數(shù)的變化規(guī)律可用下式同一表示。這就是高斯光束經(jīng)任何光學(xué)系統(tǒng)變換時服從的所謂ABCD公式，式中為光學(xué)系統(tǒng)對傍軸光線的變換矩陣。當(dāng)λ0時，波動光學(xué)過渡到幾何光學(xué)，這時qR，表明高斯光束的傳輸規(guī)律過渡到幾何光學(xué)中傍軸光線的傳輸規(guī)律。三、用q參數(shù)分析高斯光束的傳輸問題若透鏡的焦距為F，入射高斯光束的光腰半徑為ω0，光腰與透鏡的距離為l，利用q參數(shù)經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)變換時的ABCD公式，可求出出射高斯光束的光腰半徑和光腰ω'0和透鏡的距離l'。設(shè)入射高斯光束光腰處的參數(shù)為q0，透鏡出射面處高斯光束的q參數(shù)為qF，出射高斯光束光腰處的q參數(shù)為q'0，則自入射高斯光束光腰至透鏡出射面的變換矩陣高斯光束束腰的變換關(guān)系式。它們完全確定了像方高斯光束的特征。當(dāng)滿足條件正是幾何光線中的成像公式和放大率公式?？梢娙绻麑⑽?、像高斯光束之束腰與幾何光學(xué)中之物和像相對應(yīng)，可使問題大大簡化。由于l-F為物高斯光束束腰與透鏡后焦面的距離，f為物高斯光束的共焦參數(shù)，所以也就是要求物高斯光束與透鏡后焦面的距離遠(yuǎn)大于物高斯光束的共焦參數(shù)。粗略地說，就是要求物高斯光束束腰與透鏡相距足夠遠(yuǎn)。xFFll’x’當(dāng)不滿足條件高斯光束的行為可能與通常幾何光學(xué)中傍軸光線的行為迥然不同。例如當(dāng)有即當(dāng)物高斯光束束腰處在透鏡物方焦面上時，像高斯光束束腰亦處在透鏡像方焦面上，這與幾何光學(xué)中處在焦點(diǎn)上的物經(jīng)過透鏡成像與無窮遠(yuǎn)處的概念完全不同。同樣，當(dāng)l<F時，l'>0,l=0,F>l'>0;這又與幾何光學(xué)中當(dāng)l<F時不能成實(shí)像的情況不同?？傊?，在不成立時，只有上式才能正確地描述高斯光束通過透鏡的傳輸規(guī)律xFFll’x’§2-9高斯光束的基本性質(zhì)及特征參數(shù)§2-10高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律§2-11高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直§2-12高斯光束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔§2-13光束衍射倍率因子§2-14非穩(wěn)腔的幾何自再現(xiàn)波型§2-15非穩(wěn)腔的幾何放大率及自再現(xiàn)波型的能量損耗第二章開放式光腔與高斯光束§2-11高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直一、高斯光束的聚焦實(shí)際問題中提出的一個重要問題是，如何用適當(dāng)?shù)墓鈱W(xué)系統(tǒng)將高斯光束聚焦。這里我們只討論單透鏡的聚焦作用。討論高斯光束的聚焦,實(shí)質(zhì)上就是分析像方高斯光束腰斑的大小ω'0隨物高斯光束參數(shù)ω0，l及透鏡的焦距F而變化的情形，從而判明，為了有效的將高斯光束聚焦應(yīng)如何合理地選擇上述參數(shù)。2?0

2?′0

ll′

1.F一定時，ω'0隨l變化的情況(1)當(dāng)l<F時，ω'0隨l的減小而減小，當(dāng)l=0時，ω'0達(dá)到最小值lF0不論透鏡的焦距F多大，都有一定的匯聚作用，像方腰斑處在前焦點(diǎn)以內(nèi)。20′20F如進(jìn)一步滿足條件在這種情況下，像方腰斑就處在透鏡的前焦面上，且透鏡的焦距F愈小，焦斑半徑ω'0也愈小，聚焦效果愈好。(2)當(dāng)l>F時，ω'0隨l的增大而減小，當(dāng)l時，ω'0達(dá)到最小值一般地，當(dāng)l>>F時，有l(wèi)F0

ω(l)為入射在透鏡表面上的高斯光束光斑半徑，若還同時滿足條件l>>ω20/λ，則有可見，在物高斯光束的腰斑離透鏡甚遠(yuǎn)的情況下，l愈大，F(xiàn)愈小，聚焦效果愈好。當(dāng)然，上述討論都是在透鏡孔徑足夠大的假設(shè)下進(jìn)行的，否則，還必須考慮衍射效應(yīng)。?0?′?0′l>>Fz′=F(3)當(dāng)l=F時，ω'0達(dá)到極大值僅當(dāng)F<ω20/λ時，透鏡才有聚焦作用。lF0F一定時，隨l而變化的情況以及透鏡對高斯光束的聚焦作用如圖所示，從圖中還可以看出，不論l的值有多大，只要滿足條件就能實(shí)現(xiàn)一定的聚焦作用。lF0

2.l一定時，ω'0隨F變化的情況

ω0和l一定時，ω'0隨F變化的情況如圖所示總之，為使高斯光束獲得良好聚焦，通常采用的方法是：用短透鏡聚焦；使高斯光束束腰遠(yuǎn)離透鏡焦點(diǎn)從而滿足，l>>ω20/λ,l>>F;取l=0,并設(shè)法滿足ω20/λ>>F0FR(l)表示高斯光束到達(dá)透鏡表面上的波面的曲率半徑二、高斯光束的準(zhǔn)直

激光器發(fā)出的光束發(fā)散角已很小,為了滿足某些需要,須進(jìn)一步壓縮發(fā)散角.壓縮發(fā)散角即為高斯光束的準(zhǔn)直.

發(fā)散角:由該式可見,要0

小,束腰0

要大.

1.單透鏡對高斯光束發(fā)散角的影響

腰斑大小為ω0的物高斯光束的發(fā)散角為通過焦距為F的透鏡后，像高斯光束的發(fā)散角為可以看出，對ω0為有限大小的的高斯光束，無論F，l取什么數(shù)值，都不可能是ω'0，從而也就不可能是θ'00。這就表明，要想用單個透鏡將高斯光束轉(zhuǎn)換成平面波，從原則上說是不可能的?，F(xiàn)在的問題是，在什么條件下可以借助于透鏡來改善高斯光束的方向性？當(dāng)ω'0>ω0時，將有θ'0<θ0，在一定的條件下，當(dāng)達(dá)到ω'0極大值時，θ'0將達(dá)到極小值。設(shè)腰斑為的高斯光束入射在焦距為F的透鏡上，由條件可以得出，當(dāng)l=F時，ω'0達(dá)到極大值此時

lF0可見，當(dāng)透鏡的焦距F一定時，若入射高斯光束的束腰處在透鏡的后焦面(l=F)上，則θ'0達(dá)到極小。此時，F(xiàn)愈大，即透鏡焦距愈長，θ'0愈小。當(dāng)有較好的準(zhǔn)直效果。Note：在l=F的條件下，像高斯光束的方向性不但與F的大小有關(guān)，而且也與ω0的大小有關(guān)。ω0愈小，則像高斯光束的方向性愈好。因此，如果預(yù)先用一個短焦距的透鏡將高斯光束聚焦，以便獲得極小的腰斑，然后再用一個長焦距的透鏡來改善其方向性，就可得很好的準(zhǔn)直效果。

2.利用望遠(yuǎn)鏡將高斯光束準(zhǔn)直L1為短焦距透鏡，焦距為F1，當(dāng)滿足條件物高斯光束將聚焦于前焦面上，得一極小光斑。由于ω'0恰好落在長焦距透鏡L2的后焦面上，所以腰斑為ω'0的高斯光束將被L2很好地準(zhǔn)直。以θ0可表示入射高斯光束的發(fā)散角，θ'0表示經(jīng)過透鏡L1后的高斯光束的發(fā)散角，θ''0表示經(jīng)過透鏡L2后出射的高斯光束的發(fā)散角，則該望遠(yuǎn)鏡對高斯光束的準(zhǔn)直倍率M'定義為M為焦距比，望遠(yuǎn)鏡的準(zhǔn)直倍率。由上式可以看出，一個給定的望遠(yuǎn)鏡對高斯光束的準(zhǔn)直倍率M'不僅與望遠(yuǎn)鏡的本身參數(shù)有關(guān)，而且還與高斯光束的結(jié)構(gòu)參數(shù)f=ω20/λ以及腰斑與透鏡L1的距離l有關(guān)。

雖然上面公式是在l>>F1的條件下導(dǎo)出的，但它對l=0(f=ω20/λ>>F1)的情況也適合。此時在一般情況下，由于ω(l)總是大于ω0

，因而望遠(yuǎn)鏡對高斯光束的準(zhǔn)直倍率M'總是比它對普通傍軸光線的準(zhǔn)直倍率M要高。M愈大，ω(l)/ω0愈大，M'也就愈大。在l為有限的情況下，出射高斯光束的腰并不準(zhǔn)確的落在透鏡L1的前焦面上，因而望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)應(yīng)允許作微小的調(diào)整。此外，這里的討論沒有考慮像差，而且假設(shè)透鏡孔面上的光斑遠(yuǎn)小于透鏡本身的孔徑，因而無須考慮由透鏡的有限孔徑引起的衍射效應(yīng)。當(dāng)光斑等于或大于透鏡的孔徑時，要想通過提高準(zhǔn)直倍率來無限制地壓縮高斯光束的發(fā)散角是不可能的。這ω'0的大小及出射光束的最小發(fā)散角應(yīng)由透鏡的孔徑所決定，這就是望遠(yuǎn)鏡運(yùn)用在衍射極限的情形。

實(shí)際的準(zhǔn)直望遠(yuǎn)鏡可以做成投射式，反射或折-反式，但其基本工作原理都是一樣的。§2-9高斯光束的基本性質(zhì)及特征參數(shù)§2-10高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律§2-11高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直§2-12高斯光束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔§2-13光束衍射倍率因子§2-14非穩(wěn)腔的幾何自再現(xiàn)波型§2-15非穩(wěn)腔的幾何放大率及自再現(xiàn)