初中數(shù)學數(shù)與代數(shù)

初中數(shù)學數(shù)與代數(shù)兩個方面的內(nèi)容：第一部分：數(shù)與代數(shù)內(nèi)容分析第二部分：教學時需處理好的幾個問題第一部分——數(shù)與代數(shù)內(nèi)容分析數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容在義務(wù)教育階段的數(shù)學課程中占有重要地位，有著重要的教育價值。理解九年義務(wù)教育數(shù)學課程中“數(shù)與代數(shù)”部分的教育價值、內(nèi)容安排以及教學方法的特點等，對于有效地實施和貫徹《標準》是非常重要的。“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容主要包括數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，它們都是研究數(shù)量關(guān)系和運動、變化規(guī)律的數(shù)學模型，數(shù)與代數(shù)可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更準確清晰地認識、描述和把握現(xiàn)實世界和解決現(xiàn)實世界的問題，是未來公民必備的數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)與代數(shù)的教育價值主要體現(xiàn)在以下幾個方面：1．能使學生體會到數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，認識到數(shù)、符號是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要語言，方程、不等式與函數(shù)是現(xiàn)實世界的數(shù)學模型，從而認識到數(shù)學是解決實際問題和進行交流的重要工具，從中感受到數(shù)學的價值，初步學會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活和其他學科學習中的問題，增強應(yīng)用意識，培養(yǎng)初步的應(yīng)用意識和實踐能力。2．在“數(shù)與代數(shù)”的學習過程中，通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的探索，數(shù)的概念的建立、擴充以及數(shù)的運算，公式的建立和推導，方程的建立和求解，函數(shù)關(guān)系的探究等活動，促進學生對數(shù)學學習的興趣，提高解決問題的能力和自信心，培養(yǎng)學生初步的創(chuàng)新意識和發(fā)現(xiàn)能力。3．在“數(shù)與代數(shù)”中，不僅知識中存在著對立和統(tǒng)一(例如，正數(shù)與負數(shù)、加法與減法、乘方與開方、常量與變量、精確與近似等)，而且研究過程中也充滿了對立與統(tǒng)一(例如，已知與未知、特殊與一般、具體與抽象、實踐與理論等)。同時，在變量和函數(shù)的研究中還充滿著運動、變化的思想，而且在“數(shù)與代數(shù)”的其他部分的研究中，從運動和變化的觀點來考察，也能使認識更加深刻。因此，這部分的學習，有助于培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點，有利于學生用科學的觀點認識現(xiàn)實世界。

具體內(nèi)容：

數(shù)與代數(shù)這一部分內(nèi)容主要涉及到6個話題，前三個是和內(nèi)容有關(guān)系的：第一個話題是數(shù)與式；第二個話題方程與不等式；第三個話題是函數(shù)；另外三個話題，是基于知識之上側(cè)重培養(yǎng)學生的一些方面的能力：一是運算能力；一是符號意識；再一個是模型思想。

話題一數(shù)與式一、重點關(guān)于數(shù)與式的主要內(nèi)容，包括有理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式和二次根式，代數(shù)式主要是整式和分式。這一部分內(nèi)容的重點應(yīng)當是強調(diào)理解數(shù)的意義，建立數(shù)感，理解代數(shù)式的表述功能，建立符號感，同時理解運算的意義，強調(diào)運算的必要性。二、內(nèi)容的變化（一）降低了對于實數(shù)運算的要求。比如“會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根與算術(shù)平方根，用立方運算求某些數(shù)的立方根”轉(zhuǎn)化為“會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負整數(shù)）的立方根”。（二）取消了對“有效數(shù)字”的要求，但重視學生的估算能力，要求學生理解近似數(shù)。例如“能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍”,“了解近似數(shù)，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，并按問題的要求對結(jié)果取近似值”。（三）與實驗稿比較，加強了對二次根式的要求，比如對二次根式的化簡，分母有理化，但二次根式的運算僅僅限于根號下是數(shù)的情況。（四）在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義。例如要求“借助現(xiàn)實情境了解代數(shù)式，進一步理解用字母表示數(shù)的意義。”（五）注重代數(shù)式的實際應(yīng)用和實際意義。例如要求“能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示?！币约啊皶蟠鷶?shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算?！保τ诖鷶?shù)式的意義，除了關(guān)注數(shù)學意義外，還關(guān)注現(xiàn)實的意義。

（七）強調(diào)幾何直觀的作用。（八）知道｜a｜的含義（這里a表示有理數(shù)）。三、價值及作用數(shù)與式這部分內(nèi)容，在代數(shù)當中甚至在整個數(shù)學領(lǐng)域當中，都是非常重要的。具體的來講，有下面的幾點：第一點，通過數(shù)與式的學習，使學生體會到數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，感受到數(shù)學的價值，能夠培養(yǎng)學生對數(shù)學學習的興趣，增強學生的應(yīng)用意識。關(guān)于數(shù)學和生活的聯(lián)系，以及培養(yǎng)學生具有應(yīng)用意識，可以舉如下的例子：在我們學習數(shù)軸的時候，學生通過觀察溫度計、天平的標尺以及常見的兩個相反方向行走的例子，能夠從這些現(xiàn)象當中得到數(shù)軸、抽象出數(shù)軸這樣一個概念。接下來我們就可以利用數(shù)軸聯(lián)系數(shù)學內(nèi)部的一些知識，即應(yīng)用于數(shù)學內(nèi)部。同時數(shù)軸作為一種工具，它又能很好地幫助學生理解其他生活中的問題，比如時區(qū)問題，化學中的一些常見的問題等等。這就是我們說的核心的概念：幾何直觀。從溫度計抽象出數(shù)軸來，同時數(shù)軸又幫助學生理解有理數(shù)及實數(shù)的概念。學習有理數(shù)之后數(shù)軸還不能被充滿，但是學了實數(shù)之后這個數(shù)軸就被充滿了。這樣直觀的一個工具，對于學生來理解實數(shù)是非常有幫助的。

第二點，關(guān)于數(shù)的概念和運算、代數(shù)式的建立、以及推導與探究性的活動，有利于學生形成數(shù)感、符號感。

學習數(shù)的概念和數(shù)的運算，除了學生會運算之外，數(shù)感和符號感也都是在這個過程當中逐漸發(fā)展起來的，而且通過學習數(shù)的概念和數(shù)的運算，不僅能夠提高學生的運算能力，同時也能夠發(fā)展學生的推理能力，對于提高學生的思維水平都是非常重要的載體。例如：對于一般化的處理方法，因為字母表示數(shù)，實際上就是把數(shù)的概念和運算進行了一般化的處理，這樣就把學生的思維水平提高到抽象化的水平，同時也會逐漸通過式的建立以及對式的進一步學習，逐步形成模型的思想。

我們在學習冪的運算這一部分內(nèi)容時，教師們通常是讓學生在原有的一些知識基礎(chǔ)之上，觀察猜想出冪的運算規(guī)律，從數(shù)的計算開始，103×102=105=103+2，a4×a3=a7=a4+3，am·an＝am+n

逐步地提升到用字母來表示。再將這個公式應(yīng)用于數(shù)學問題，這樣的話，學生經(jīng)歷了從特殊到一般，再從一般到特殊這樣一個過程，體會了這樣一個數(shù)學思想。但這個過程其實充分體現(xiàn)了符號對數(shù)學學習的意義。

第三點價值，體現(xiàn)在數(shù)學里面，我們經(jīng)?？吹揭恍α⒔y(tǒng)一思想。例如在一些概念、一些量中我們會發(fā)現(xiàn)，正數(shù)與負數(shù)，精確與近似，還有已知與未知之間的轉(zhuǎn)換等等這些概念中都蘊含著統(tǒng)一思想。這些內(nèi)容的學習確實有助于學生提高他們用唯物主義的思想和科學的觀點來認識客觀事件的能力。而且也體現(xiàn)模型思想，比如正數(shù)與負數(shù)，在生活中我們表示東與西就用正數(shù)與負數(shù)，所以正數(shù)負數(shù)它不單純就是我們所學的計算等等，最后它已經(jīng)成為表示具有相反意義的量的一個數(shù)學模型。話題二方程與不等式

一、重點方程與不等式在初中階段主要涉及到這樣一些內(nèi)容，一個就是關(guān)于方程的，比方說一元一次方程，二元一次方程組，一元二次方程，可化為一元一次方程的分式方程。不等式主要是一元一次不等式，和一元一次不等式組。方程和不等式這個話題里面，這部分內(nèi)容一個我們強調(diào)方程和不等式的模型思想，也就是說如何從現(xiàn)實生活中去把問題進行抽象，用這種方程的形式和不等式的關(guān)系刻劃出來，然后進行講學，最后運用到現(xiàn)實問題。所以這一部分內(nèi)容的一個重點，還是突出它的模型思想，當然另外一個部分，也是我們在這部分內(nèi)容所突出的又一個重點，那就是如何解這個方程和不等式。二、內(nèi)容的變化在方程部分變化的內(nèi)容為：（一）與實驗稿相比，有些內(nèi)容適當增加：如一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，但不要求應(yīng)用這個關(guān)系解決其他問題，了解就可以了，不要深挖洞。（二）三元一次方程組作為選學內(nèi)容。（三）一些具體要求，如一元二次方程只要求解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；分式方程只要求解可化為一元一次方程的分式方程，并且方程中的分式不超過兩個。在不等式部分變化的內(nèi)容為：（一）強調(diào)結(jié)合具體問題，在具體情境中探索不等式的意義。而且強調(diào)了過程目標“探索”，強調(diào)對于不等式組解的幾何意義的理解。（二）刪除了一元一次不等式組的應(yīng)用。（三）解不等式中對相關(guān)的內(nèi)容作出了限定。如能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式。

三、價值及作用

首先，方程與不等式的學習，有助于學生形成模型思想。方程的模型思想主要是指根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)過必要的抽象，提煉出未知數(shù)與已知數(shù)之間具有的等量關(guān)系，列出方程（組）；在列出方程后，再運用方程（組）求解的各種方法，求出方程（組）的解，進而解決問題，從而體會方程（組）是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型，是貫穿方程與方程組的一條主線?！跋嗟取迸c“不等”是數(shù)學中兩種基本的數(shù)量關(guān)系，二者相輔相成，形成對數(shù)量關(guān)系的完整認識，是進一步學習數(shù)學不可缺少的基礎(chǔ)知識和有效工具，也是分析和解決一些實際問題的重要方法。

模型思想案例：

一位同學小明，如果給出了他的走路速度和跑步速度：走路平均速度為6km/h，跑步平均速度為10km/h，又給出了從家到學校的距離為2km，有了這樣的條件，可以提出什么樣的一些問題呢？在和同學們討論之后，學生反應(yīng)非常熱烈。

有的學生提出了這樣一個補充條件，說他走在路上，走著走著突然發(fā)現(xiàn)自己有東西落在家里了，于是就趕緊跑回去，跑回家去取東西，接下來又跑到學校，跑到學校發(fā)現(xiàn)所用的時間和走到學校的時間是一樣，也就是說到校的時間是沒有變化，那問小明是在什么地方或者走了多久發(fā)現(xiàn)自己落了東西？

學生在提出這樣一個問題之后，要想確定出這個問題的模型，首先就要考慮，小明走到學校到底要花多長時間？通過計算得出用20分鐘。接下來在這次上學的過程中，到底發(fā)生了一些什么樣的事情，先走了一段路，接下來往回折返跑回去，相當于從家又跑到了學校，這個過程當中學生們通過分析通過畫圖通過各種各樣的方法，發(fā)現(xiàn)他跑的這一段路程實際上比走路的路程多出來的就是家到學校的距離，即2公里。如果設(shè)未知數(shù)，我們就可以利用等量關(guān)系列出方程：設(shè)t分鐘之后返回，用2公里這個路程作為等量關(guān)系可以列出這樣的方程：10（20-t)/60-6t/60=2，進而解決問題。

當然學生還可以改變條件，或提出各種各樣的補充條件，在這樣一個問題的基礎(chǔ)上，尋找“等量”“不等”這樣不同的關(guān)系，建立各種各樣的模型，用方程或不等式等多種方法來表述問題、解決問題.學生在面對數(shù)學和生活聯(lián)系的時候，往往很難直接找到它們之間的聯(lián)系建立模型。實際上學生在生活當中，本身就應(yīng)用著數(shù)學，經(jīng)常面對數(shù)學，而教師們在設(shè)計問題或者說設(shè)計教學的時候，有的時候會忽略學生和實際數(shù)學之間的聯(lián)系。如果說利用剛才這樣的案例，給學生一個比較開放性的平臺，即給出的條件是不充足的，你再補充其他條件，這樣，問題也許會比較簡單，也許會比較復雜，也許有解也許沒有解，不同的階梯性補充，可能對水平存在差異的同學來說，確實是有很好的幫助。

第二方面，當學生學方程和不等式的時候，對形成化歸的思想非常有幫助，我們知道，化歸就是把你原來不會的問題轉(zhuǎn)化成你能夠解決的問題，把復雜的問題變成一個簡單的問題。我們在求解方程的過程當中，我們經(jīng)常用到合并同類項，移項去括號去分母等等，這樣一些方法來解決一元一次方程，以及可化為一元一次方程的分式方程，這是老師都比較熟悉的這樣一個解方程的步驟。再一個當學二元一次方程組求解的時候，就可以通過消元，即把兩元變成一元，轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的內(nèi)容。當我們再學到一元二次方程的時候，我們也是想辦法降次，降次我們可能用到配方法，因式分解法，其實這些都體現(xiàn)了我們所說的化歸思想。第三方面，方程不等式同樣也是后面學習高等數(shù)學一個非常重要的基石，例如我們談到根與系數(shù)的關(guān)系這部分內(nèi)容。當然在一元二次方程中，只要學生能夠體會這種關(guān)系，而不需要他去擴展解決其他問題。實際上根與系數(shù)的關(guān)系，作為一個普遍的規(guī)律在高次方程，一元n次方程的情況還是有適用性的。所以，學生通過這樣一個探索會發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律。一次方程，二次方程，高次方程等等這些方程，甚至是將來高等數(shù)學以及經(jīng)濟學當中，根與系數(shù)關(guān)系都體現(xiàn)了一個很好的應(yīng)用，都體現(xiàn)了方程的模型思想，不同的只是解法不同。初中階段學習的方程和不等式其實對后續(xù)的學習是有非常大的幫助。

話題三函數(shù)

一、重點

初中階段函數(shù)部分的內(nèi)容，主要包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，在這個階段學習函數(shù)，重點就是要借助現(xiàn)實背景，在現(xiàn)實情景中理解函數(shù)的概念。而且在研究函數(shù)的性質(zhì)過程當中，重點應(yīng)該是要利用圖象的方法直觀地發(fā)現(xiàn)函數(shù)。例如一次函數(shù)有什么特點？二次函數(shù)有什么特點？反比例函數(shù)呢？此外還有一個非常重要的方面，就是體會函數(shù)各種表示之間的聯(lián)系。例如函數(shù)的表示法，我們有表格表示，就是具體的看有一個x怎么和y對應(yīng)，另外就是有解析式表示，還有圖象表示。以前在傳統(tǒng)的教學當中，可能這個解析式的表示我們用的比較多，表格、圖象表示用的比較少，不管在標準的實驗稿當中還是修訂稿中，我們都要關(guān)注函數(shù)的圖象表示，借助函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，這是一種非常直觀的辦法。同時在這個修訂版的標準當中，也強調(diào)了對自變量取值范圍的討論，應(yīng)該結(jié)合具體的實際問題，在實際問題中討論自變量取值范圍，而不是說泛泛地、一般性地討論自變量的定義域、值域。二、內(nèi)容的變化（一）強調(diào)一次函數(shù)的現(xiàn)實意義。如要求“結(jié)合具體情境體會一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達式?！保ǘ娬{(diào)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，但不要求用圖象法求二元一次方程組的近似解。（三）強調(diào)對于一次函數(shù)圖象變化的探索。例如“根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達式y(tǒng)=kx+b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖象的變化情況?！保ㄋ模娬{(diào)用反比例函數(shù)解決實際問題。如要求在具體情境中理解反比例函數(shù)的意義。（五）突出反比例函數(shù)的圖象功能。能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達式(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖象的變化情況。

（六）強調(diào)用函數(shù)解決實際問題。如要求在實際問題中分析體會二次函數(shù)的意義，并運用于實際，在實際問題中考慮自變量的取值范圍。

三、價值及作用首先變量之間的關(guān)系在現(xiàn)實世界當中就是普遍存在的，如何研究變量之間的關(guān)系，從數(shù)學上解決這個問題，它的工具就是函數(shù)。所以對于學生來講，利用函數(shù)的方法解決現(xiàn)實問題，實際上是從常量的數(shù)學走到變量的數(shù)學，像在方程中，x表示未知數(shù)，它實際上不是變量，其實它是一個常量。在函數(shù)當中就不一樣，它可能是自變量，也可能是因變量，所以從這個角度來講，從學生的思維角度來講，它是一種飛躍.

通過變量之間關(guān)系的學習有助于培養(yǎng)學生的理性思維，因為學習函數(shù)，就要表示變量之間的關(guān)系，它有一個很重要的作用，就是利用函數(shù)的關(guān)系進行預測，或利用函數(shù)的關(guān)系進行計算，未知的點可以通過函數(shù)關(guān)系把它計算出來。我們預測人口，如中國二十年以后的人口數(shù)量問題，可以根據(jù)對以前人口的統(tǒng)計、對數(shù)量進行分析，根據(jù)它的變化規(guī)律來進行預測。進行計算也是函數(shù)非常重要的一個應(yīng)用，我們根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律，看其中某一些位置的點的函數(shù)值是多少等等。另外由于在函數(shù)學習的過程當中，我們非常重視函數(shù)的圖象表示，所以對培養(yǎng)學生的幾何直觀函數(shù)也是非常重要的載體。

函數(shù)還有一個作用，體現(xiàn)在解方程中。實際上在初中，方程、不等式還都可以看成函數(shù)的一種特殊情況。另外函數(shù)這一研究變量關(guān)系的方法，實際上對于其他的學科，如物理、化學、經(jīng)濟及一些文科都有非常重要的作用，都是非常有力的工具。話題四運算能力

一、意義及作用運算能力是一項基本的數(shù)學能力，初中數(shù)學中大多數(shù)問題的解決，都離不開運算。但是，教學中常常出現(xiàn)學生在計算時機械地搬用運算公式、盲目推算，缺乏合理選擇簡捷運算途徑的意識等。因此，《課程標準修改稿》將“運算能力”作為一項重要的內(nèi)容，同時提出運算能力培養(yǎng)的價值，即“有助于學生理解運算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\算途徑解決問題?！庇纱丝梢?，運算能力在學生的數(shù)學學習，尤其是數(shù)與代數(shù)的學習中具有重要的價值和意義。二、在標準中的含義《課程標準修訂稿》將“運算能力”界定為“能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力?！薄罢_”是對運算結(jié)果的要求，這是進行一切運算最終的也是最根本的要求?！案鶕?jù)法則和運算律”也就是運算的依據(jù)和運算的前提。這要求學生要理解運算時所用的法則和運算律，不僅如此，還要求會正確、恰當?shù)貞?yīng)用這些運算律、運算法則。此外，《課程標準修訂稿》還指出了“培養(yǎng)運算能力還有助于學生理解運算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\算途徑解決問題。”因此，運算能力不僅包含對運算意義、法則、公式、運算程序的正確理解，還包含對簡捷的運算途徑的合理選擇。這要求學生能夠根據(jù)問題的不同條件和不同目標，靈活地運用公式、法則和有關(guān)的運算律，能夠掌握同一個問題的多種運算方法，并善于通過觀察、分析、比較，作出合理的選擇。也就是說，運算能力中包含著對思維能力的要求。因而，在運算過程中，學生的思維能力會受到檢驗，并得到鍛煉。三、與內(nèi)容的聯(lián)系與運算能力相關(guān)的內(nèi)容，一個是有理數(shù)的運算。還有實數(shù)的運算，但由于解決實際問題取近似值，落腳點還是有理數(shù)運算，帶根號的無理數(shù)的運算實際上是恒等變形。關(guān)于式的運算，實際上就是恒等變形。運算在解決問題中是必須的，運算能力的培養(yǎng)是重要的。還有方程或不等式的求解，都有式的運算，都要求其結(jié)果具有正確性、采用簡便算法，及選擇最佳途徑。

四、如何培養(yǎng)關(guān)于運算能力的培養(yǎng)有四點，即關(guān)于態(tài)度、知識、能力，以及應(yīng)用。第一在學生的態(tài)度上，首先要讓學生重視數(shù)學運算，讓他們意識到數(shù)學運算是非常重要的，需要在態(tài)度上面有一個非常正確的認識，不要認為這個運算可有可無，或者把丟一個數(shù)或者錯一個數(shù)，看成一個非常不重要的事情。所以第一點就是強調(diào)態(tài)度，必須重視運算。第二個運算不是憑空建立起來，它是基于一定的知識背景的，這種知識是什么？首先必須要讓學生要掌握好運算過程中的一些概念，性質(zhì)，以及用到什么樣的公式，用到什么樣的法則。因此我們認為，在學習這些知識的時候，應(yīng)該給學生強化，讓他意識到這是一個最根本的東西。其實在學生運算過程中運算能力與推理能力有直接關(guān)系。為什么這么說呢？因為學生在運算的時候需要一步一步地去進行，前一步是后一步的前提，運算不是憑空建立起來，必須有充分的理由才能夠做后面的運算，才能夠?qū)崿F(xiàn)前后的這種連貫。因此在這個過程中一定要讓學生理解運算的性質(zhì)和公式，以提高他們進行推理的能力。比如我們在學習乘法公式的時候，學生經(jīng)常愛犯的錯誤中，比較典型的就是將這兩個公式混淆了，認為(a+b)2=a2+b2。這是一個常見的錯誤，不利于今后的學習和使用以上知識點。這個錯誤產(chǎn)生原因我們可以分析，可能是一些知識的負向遷移。我們到底如何避免這樣的錯誤？老師們不妨在教學中不斷的回到最初，不斷地追本溯源讓學生重新認識公式是如何得來的。公式得來其實有兩個方面：一個是代數(shù)推導，一個是幾何直觀推導。它的代數(shù)推導就是我們之前的所學的知識：多項式乘多項式。這個乘法的運算中，共得出四項，再合并同類項得到了三項。在這個方法之外，其實幾何也非常重要，而且是完全不同的一個途徑呢。

bbaa(a+b)2a2b2abab++完全平方公式：完全平方公式的圖形理解對于這個圖，我們還是很熟悉的，在幾何圖形中，(a+b)2可以理解為邊長為a+b的正方形的面積，而它是在兩個小正方形a2和b2的基礎(chǔ)之上，還要算上兩個矩形的面積，這樣我們就完全否定了剛才的錯誤。學生在有了數(shù)、形兩個方面對這個公式的認識之后，對這個公式的正確掌握會得以提高。在此給大家一個建議，此處很好地體現(xiàn)了幾何直觀的作用，利用幾何直觀糾正學生這個錯誤很有效。話題五符號意識和代數(shù)的思維特點

一、意義及作用學生一進入初中，首先學的代數(shù)內(nèi)容就是用字母表示數(shù)。用字母表示數(shù)一般被認為是學習代數(shù)的開始。用字母表示數(shù)把小學所學的關(guān)于數(shù)的內(nèi)容進行了一般化的表示。用符號是數(shù)學的一個特點，符號實際上是數(shù)學的語言，數(shù)學可以說是一個符號化的世界，在數(shù)學當中，人們用符號來進行表示，而且用符號來進行交流，所以學生具有符號意識是非常重要的。逐步形成符號或感受符號的作用是非常重要的，沒有符號在一定意義上來說就沒有近代和現(xiàn)代的數(shù)學，所以符號的產(chǎn)生，用符號來進行表示非常重要，標準指出，建立符號意識有助于學生的理解，符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要成就，從用字母表示數(shù)開始，學生就應(yīng)該用符號來進行表示，用符號來進行思考。

二、在標準中的含義

在課程標準的修訂稿中，將“符號意識”界定為：主要是指學生能夠理解，并且運用符號來表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。這里所提到的運用符號來表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，其實也像剛才所提，在小學字母表示數(shù)的基礎(chǔ)之上，進一步建立比較復雜一些的數(shù)量關(guān)系和盡可能地用符號刻畫事物發(fā)展的趨勢和變化規(guī)律。符號可以進行一般性的運算和推理，也就是涉及到我們用基礎(chǔ)的符號來不斷構(gòu)建數(shù)學、代數(shù)部分的運算大系統(tǒng)。其實符號可以表示，也可以運算，也可以去轉(zhuǎn)換。課程標準修訂稿中特別突出符號的作用，它可以進行數(shù)學表達和數(shù)學思考。這里面我們所理解的數(shù)學表達，其實對學生來說就是能夠建立初步的符號意識，用符號和其他的一些手段，用數(shù)學的方式表達現(xiàn)實生活，這其實是一種對學生來說比較基本的要求。在此基礎(chǔ)之上，他能夠用符號進行思考，其實更是對他理性思維和在數(shù)學能力上的一個要求的體現(xiàn)。三、與內(nèi)容的聯(lián)系與符號意識相關(guān)內(nèi)容，第一個要考慮的是符號的表示。第二點是對符號的解釋。還有一點，在符號意識中還有一個符號的運算，以及符號之間的轉(zhuǎn)換。

四、如何培養(yǎng)首先應(yīng)該讓學生在實際的問題情景中理解符號以及表達式、關(guān)系式的意義。也就是說我們培養(yǎng)符號意識和具體問題應(yīng)該是發(fā)生聯(lián)系的。

其次也是非常重要的，我們經(jīng)常說數(shù)學是一種語言，其實是強調(diào)數(shù)學的符號也是一種語言，因此我們要培養(yǎng)學生的自然語言和數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換能力。我們知道學生自然語言能力非常好，因為這是他的母語，我們在數(shù)學學習中培養(yǎng)學生符號意識的過程中，讓他實現(xiàn)這兩種語言之間的轉(zhuǎn)換也非常重要。有學者認為，在解決問題的過程中，他的符號感通常和數(shù)感、函數(shù)感、圖表感相互聯(lián)系。

方程就是把文字表達的一些條件，改用了數(shù)學符號，其實這是利用數(shù)學知識來解決實際問題所必須的一個程序。另外就是數(shù)學當中除了字母表示數(shù)之外，還有一些其他的符號，如∥、⊥、∵、∴、≌等等。我們在引入這些符號的時候可以聯(lián)系一些數(shù)學史，給學生增加一些數(shù)學文化方面的知識，使學生感到數(shù)學既有價值又非常有意思，愿意學，我們課程目標的一個目標是態(tài)度情感價值觀的，在這個方面應(yīng)該使學生產(chǎn)生對數(shù)學的熱愛，體會到數(shù)學本身也是有意思的，這方面老師在教學當中也可以嘗試做一下。

話題六模型思想一、意義及作用數(shù)學與現(xiàn)實生活緊密相連。隨著科學技術(shù)的發(fā)展，特別是信息技術(shù)的發(fā)展，通過構(gòu)造數(shù)學模型來解決實際問題的方法正廣泛應(yīng)用于科學、工程和社會學科等多個領(lǐng)域。因此，模型思想作為重要的數(shù)學思想方法之一，對7～9年級學生思維能力的發(fā)展和問題解決能力的培養(yǎng)都具有重要的作用。

二、在標準中的含義《課程標準修訂稿》將“模型思想”界定為“建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或者具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習興趣和應(yīng)用意識?！庇纱丝梢?，模型思想有這樣幾層含義：首先其來源于現(xiàn)實生活和問題情境；其次，用數(shù)學的方式進行表述，將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，并加以解決；最后，還原到現(xiàn)實問題，去解釋數(shù)學解的合理性。

三、與內(nèi)容的聯(lián)系1．方程模型2．不等式模型3．函數(shù)模型四、如何培養(yǎng)首先，數(shù)學教學應(yīng)貼近學生的生活。其次，注意引導學生建立模型。最后，結(jié)合綜合實踐活動的開展，進一步發(fā)展學生的數(shù)學建模能力。情境1、猜猜看：六年前我的年齡是你們年齡的6倍，三年后我的年齡是你們年齡的3倍，我現(xiàn)在是多少歲呢？解：設(shè)六年前你們X歲，則六年前我是6x歲，三年后你們是（x+9）歲，我是（6x+9）歲。6x+9=3（x+9）解得x=6∴6x+6=6×6+6=42答：我現(xiàn)在42歲。情境2、同學們，如果問你們：“糖水里加糖為什么會變甜？”你們也許會笑著說：“這么簡單的問題還用問嗎？連幼兒園的小朋友都知道?！钡绻埬阌脤W過的數(shù)學知識加以解釋呢？問題、（1）a克糖水中有b克糖（a>b>0），則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為___；若再添加c克糖（c>0），則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為______；生活常識告訴我們：添加的糖完全溶解后，糖水會更甜。請你根據(jù)所列式子及這個生活常識提煉出一個不等式：__________(2)證明你提煉出的不等式。問題：若風車轉(zhuǎn)動一周需要x秒，則2秒鐘風車轉(zhuǎn)動的次數(shù)y與x之間具有怎樣的關(guān)系？第二部分——教學時需處理好的幾個問題一、把握好核心概念

1、在數(shù)的認識、估算等內(nèi)容中體現(xiàn)數(shù)感

研究表明：數(shù)感的建立與學生對現(xiàn)實問題的感知和理解密切相關(guān)。◆

數(shù)感數(shù)感的意義不只是基本運算，還包括：第一層含義：對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等的感悟；第二層含義：建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。這是數(shù)感的功能。數(shù)感是對數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種良好的直覺，它不是靠學習一章或一個單元就可以發(fā)展起來的，它是一個潛移默化的過程，需要用較長的時間逐步培養(yǎng)。學生數(shù)感的發(fā)展應(yīng)貫穿于教學的全過程。一道題引出的一段對話====對數(shù)感的進一步認識（NumberSense）

對數(shù)感的一般認識（從含義上）●數(shù)感是人對數(shù)學與運算的一般感受或理解●建立數(shù)感即用數(shù)學的眼光看事物，進行“數(shù)學地思考”●數(shù)感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數(shù)學和運用數(shù)學的態(tài)度與意識，也是人的一種基本素養(yǎng)兒子問我：什么是數(shù)感？2、用字母代替數(shù)字進行運算和推理——從算數(shù)到代數(shù)在教學中，教師要始終將怎么代替數(shù)字這一基本思想貫穿到整個教學過程中。同時，數(shù)字運算到字母運算也是學生符號意識形成的過程。3、運算及數(shù)域的擴充—從自然數(shù)到實數(shù)我們經(jīng)歷了從整數(shù)到有理數(shù)再到實數(shù)，這一數(shù)系的擴充過程。為了能夠通過有理數(shù)的運算法則得到無理數(shù)的加減、乘除法則，人們運用了逼近的思想。教學時，可以根據(jù)學生的具體情況，滲透一些有理數(shù)逼近無理數(shù)的思想，為今后的學習做一定的鋪墊。

4、方程（模型思想、推理證明）為了研究自然界的一些演化規(guī)律，自然要建立相應(yīng)的數(shù)學模型，從而總結(jié)出一些演化規(guī)律。方程就是我們認識自然界的好的數(shù)學模型。例如，在一次方程的學習中，重點是代入消元法。在一元二次方程的學習中，重點要求學生掌握配方法。5、變量與函數(shù)（模型思想）由于函數(shù)概念的建立，使得數(shù)學由對常量的研究轉(zhuǎn)化為對變量的研究。為建立數(shù)學模型提供條件。二、整體把握內(nèi)容之間的聯(lián)系1、數(shù)與數(shù)系數(shù)的系統(tǒng)的完成，經(jīng)過了漫長和艱巨的歷程。如：正整數(shù)集添零自然數(shù)集添正分數(shù)非負有理數(shù)集添負整（分）數(shù)有理數(shù)集添無理數(shù)實數(shù)集2、數(shù)與式式的概念是通過字母表示數(shù)，說明數(shù)與式的聯(lián)系十分密切。例如，求代數(shù)式的值，合并同類項等，就是把式的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算。3、式與方程4、方程與不等式5、方程、不等式與函數(shù)

代數(shù)式整式分式二次根式單項式運算多項式系數(shù)次數(shù)數(shù)字因數(shù)字母指數(shù)和因式分解次數(shù)項最高項的次數(shù)每個單項式同類項合并同類項冪的乘法單項式與多項式乘法公式平方差、完全平方同底數(shù)冪相除單項式除以單項式多項式除以單項式提公因式法公式法十字相乘法分組分解法逆用公式互逆運算基本性質(zhì)運算分式方程分母中含字母、分母不為零通分約分乘除加減乘方最簡公分母公因式子積為子母積為母化除法為乘法同分母異分母分母不變分子相加減通分化成同分母注：分子、分母為多項式時先分解因式整式方程去分母解方程檢驗最簡公分母=00≠增根是解升降冪排列系數(shù)相加字母不變不改變分式的值解法應(yīng)用除法乘法加減定義性質(zhì)運算加減乘除意義必須內(nèi)容補充一次函數(shù)與反比例函數(shù)反比例函數(shù)一次函數(shù)解析式性質(zhì)圖象性質(zhì)k＞0k＜0b＜0,圖象在一三四象限b=0,圖象在一三象限b＞0,圖象在一二三象限b＜0,圖象在二三四象限b=0,圖象在二四象限b＞0,圖象在一二四象限k＞0k＜0Y隨x的增大而增大Y隨x的增大而減小形如y=kx+b(k.b為常數(shù)，k≠0)注意：過原點當b=0時，是正比例函數(shù)一條直線圖象解析式應(yīng)用應(yīng)用k＞0k＜0圖象在二四象限圖象在一三象限雙曲線Y隨x的增大而減小每一象限內(nèi)Y隨x的增大而增大每一象限內(nèi)k＞0k＜0柱形儲藏室輪船卸貨力學問題電學問題關(guān)系K同號時，有兩交點。K異號時，有兩個、一個或無交點實際問題，圖象在第一象限最優(yōu)方案一元一次方程和二元一次方程組二元一次方程組一元一次方程一般式與一次函數(shù)的關(guān)系圖象解法k＞0k＜0b＜0,圖象在一三四象限b=0,圖象在一三象限b＞0,圖象在一二三象限b＜0,圖象在二三四象限b=0,圖象在二四象限b＞0,圖象在一二四象限k＞0k＜0Y隨x的增大而增大Y隨x的增大而減小形如kx+b=0(k.b為常數(shù)，k≠0)注意：過原點y=kx+b,k≠