走進數(shù)學建模,領悟數(shù)學魅力2014

數(shù)學的應用與數(shù)學建模廣東工業(yè)大學應用數(shù)學學院金朝永2014年4月22日數(shù)學建模例子（一）椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設通常~三只腳著放穩(wěn)~四只腳著

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形。

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面。

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意,f(),g()至少一個為0數(shù)學問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);

對任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.xBADCOxBADCO將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質與非本質考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定數(shù)學建模例子（一）椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎一、數(shù)學思維的應用二、數(shù)學知識的應用數(shù)學的應用一、數(shù)學思維的應用數(shù)學研究的是各種抽象的“數(shù)”和“形”的模式結構，是一種源于實際，又指導實際的一種思維創(chuàng)造，這種理性的創(chuàng)造性思維的訓練，其作用是其他學科難以替代的數(shù)學的應用一、數(shù)學思維的應用1.歸納思維歸納是在通過多種手段對許多個別事物的經(jīng)驗認識基礎上，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，總結出原理或定理。是一種從眾多的事物和現(xiàn)象中找出共性和本質東西的抽象化思維。是人類賴以發(fā)現(xiàn)真理的基本的、重要的思維方法。數(shù)學的應用一、看一下你手機的最后一位二、把這個數(shù)乘上2關于年齡的秘密三、然后加上5四、再乘以50五、把所得數(shù)加上1764六、用所得數(shù)減去你出生的那一年一、看一下你手機的最四位二、把這個數(shù)乘上10關于年齡的秘密三、然后加上50四、再乘以10五、把所得數(shù)加上1514六、用所得數(shù)減去你出生的那一年朋友回信：還是數(shù)學家更牛，怎么做到的？哈哈：最后的運算式為：100x+2014-y一、數(shù)學思維的應用2.類比思維類比是根據(jù)兩個（或多個）對象內部屬性、關系的某些方面相似，而推出它們在其他方面也可能相似的推理。是一種在科學研究中非常有創(chuàng)造性的思維形式數(shù)學的應用一、數(shù)學思維的應用3.發(fā)散思維發(fā)散思維是一種開放式的立體思維方式，即圍繞某一問題，沿著不同方向去思考探索，重組已知信息，產生新的信息，并獲得解決問題的多種方案。數(shù)學的應用典型：“一題多解”和“一題多變”數(shù)學建模例子（二）問題描述：假設一個旅館有N個房間，來了N個客人，一人住一間。又來了一位新客人，要求單獨住一間，旅館經(jīng)理自然無法安排，現(xiàn)假設這個旅館有無窮多個房間（和自然數(shù)一樣多），來了無窮多個客人（也和自然數(shù)一樣多），旅館經(jīng)理安排一人一間住下了，此時又來了一位新客人，要求單獨住一間，旅館經(jīng)理還能安排嗎？若能，請同學們給出一個具體方案？旅館住宿方案的安排問題數(shù)學建模例子（二）問題解答：旅館住宿方案的安排問題12N3213NN+1數(shù)學建模例子（二）旅館住宿方案的安排問題問題發(fā)散：若新來了M個客人或無窮多個客人（和自然數(shù)一樣多），你能給出問題的解決方案嗎？評注和思考這個問題反映出的就是數(shù)學中的一一映射原理，我們在數(shù)學課上學習映射內容時，會覺得它多么抽象和乏味，當它們直面實際生活時，它又是多么形象和有趣。一、數(shù)學思維的應用4.逆向思維數(shù)學的應用逆向思維是相對于習慣性思維的另一種思維形式，基本特點是：從已有思路的反方向去思考問題，順推不行，考慮逆推，直接解決不行，想法間接解決，逆向思維對開闊思路，解決某些難題，能發(fā)揮重要作用。一、數(shù)學思維的應用4.逆向思維數(shù)學的應用關于五次以上代數(shù)方程根式求解問題

。一般五次代數(shù)方程不存在根式求解法

。二、數(shù)學知識的應用如何運用我們所學的數(shù)學知識開展科技創(chuàng)新問題

數(shù)學的應用挑戰(zhàn)杯：大挑、小挑大挑：課外科技創(chuàng)新作品制作四類作品之一：自然科學類學術論文二、數(shù)學知識的應用1.棒球“甜點”的尋找（最佳擊球點）2010年美國大學生數(shù)學建模競賽題數(shù)學的應用2.關于feigenbaum型泛函方程的C1解廣東省第十一屆特等獎3.儲油灌的變位識別與灌容表標定問題的探索2010年全國大學生數(shù)學建模競賽題（二等獎論文）

4.輸油管道鋪設的最優(yōu)方案2010年全國大學生數(shù)學建模競賽題（一等獎論文）什么是數(shù)學模型什么是數(shù)學建模什么是數(shù)學建模競賽美國和中國大學生數(shù)學建模競賽簡介怎樣準備和參賽數(shù)學建模一、什么是數(shù)學模型1.什么是模型模型所模仿的都只是真實事物的某一方面的屬性。是對實際原型主要特征的抽象、簡化和一個低代價近似。2.什么是數(shù)學模型就是用數(shù)學語言（可能包括數(shù)學公式）去描述和模仿實際問題中的數(shù)量關系、空間形式等。這種模仿當然是近似的，但又要盡可能逼真。通過抽象和簡化，使用數(shù)學語言對實際對象的一個刻畫，以便于人們更簡明更深刻地認識所研究的對象。

二、什么是數(shù)學建模

當我們面對一個實際問題時,不是直接就現(xiàn)實問題本身尋找解決問題的辦法,而是經(jīng)過一番必要而且合理的假設和簡化,恰當?shù)剡\用數(shù)學語言和數(shù)學方法去近似地刻劃實際問題,得到一個數(shù)學結構(數(shù)學模型),通過數(shù)學上的結構揭示其實際問題中的含義,合理地返回到實際中去,這個過程就稱為數(shù)學建模。二、什么是數(shù)學建模三個環(huán)節(jié)：建立模型；數(shù)學解答；模型檢驗1.建立模型：實際問題→數(shù)學問題2.數(shù)學解答：數(shù)學問題→數(shù)學解3.模型檢驗：數(shù)學解→實際問題的解決三、什么是數(shù)學建模競賽1.比賽形式：是一種真正的開放式、通訊團體賽2.競賽題目：來自實際的問題或有強烈實際背景的問題，沒有固定的范圍，可能涉及各個非常不同的學科、領域。歷年來的MCM題1985年A題：動物群體管理

B題：戰(zhàn)略物資儲備的管理1986年A題：水道測量數(shù)據(jù)

B題：應急設施的位置1987年A題：鹽的存貯

B題：停車場1988年A題：確定毒品走私船的位置

B題：兩輛鐵路平板車的裝貨問題1989年A題：蠓的分類

B題：飛機排隊歷年來的MCM題1990年A題：藥物在大腦中的分布

B題：掃雪問題1991年A題：估計水塔的水流量

B題：通訊網(wǎng)絡的極小生成樹1992年A題：航空控制雷達的功率

B題：應急電力修復系統(tǒng)1993年A題：加速餐廳剩菜堆肥的生成

B題：倒煤臺的操作方案1994年A題：建筑住宅保溫

B題：計算機通訊網(wǎng)絡安排歷年來的MCM題1995年A題：單螺旋線

B題：教職員工薪金問題1996年A題：背景噪音測量移動目標

B題：評卷問題1997年A題：恐龍追逐問題

B題：討論會怎樣搭配與會成員1998年A題：核磁共振掃描儀

B題：學生成績等級1999年A題：行星撞地球

B題：公共設施的人員容量歷年來的MCM和ICM題2000年A題：空間交通管制

B題：無線電信道分配2000年ICM：大象群落的興衰2001年A題：賽車車輪選擇

B題：逃避颶風2001年ICM：我們的水系—不確定的前景2002年A題：風中的噴泉

B題：機票超售2002年ICM：佛羅里達灌木蜥蜴歷年來的MCM和ICM題2003年A題:特技演員

B題:Gamma刀治療方案2003年ICM：航空行李的掃描對策2004年A題:指紋識別

B題:快通系統(tǒng)2004年ICM：計算機網(wǎng)絡安全三、什么是數(shù)學建模競賽1.比賽形式：是一種真正的開放式、通訊團體賽2.競賽題目：來自實際的問題或有強烈實際背景的問題，沒有固定的范圍，可能涉及各個非常不同的學科、領域。三、什么是數(shù)學建模競賽3.比賽結果：沒有事先設定的標準答案，正確和錯誤是相對的，優(yōu)秀和不優(yōu)秀也是相對的。強調解決問題的過程，認為過程比結果更重要。具體評判過程：多名專家從以下幾個方面來綜合評定（1）問題分析及假設的合理性；（2）模型的正確性和創(chuàng)造性；（3）運算結果的正確性；（4）結論和討論的科學性；（5）論文表達的清晰性等。

數(shù)學建模競賽的意義培養(yǎng)選手進行科學研究的能力培養(yǎng)選手通過研究學習新知識的能力培養(yǎng)選手勇于創(chuàng)新、理論聯(lián)系實際的學風培養(yǎng)選手相互協(xié)調、團結合作的精神極富挑戰(zhàn)性的問題，給予選手高強度腦力勞動中挑戰(zhàn)極限的體驗素質教育的體現(xiàn)直接推動了數(shù)學的教學內容、課程體系的改革數(shù)學建模競賽的意義一次參賽，終生受益！四、美國大學生數(shù)學建模競賽簡介美國大學生數(shù)學建模競賽（MCM/ICM），是一項國際級的競賽項目，為現(xiàn)今各類數(shù)學建模競賽之鼻祖。MCM/ICM是MathematicalContestinModeling和InterdisciplinaryContestinModeling的縮寫，即“數(shù)學建模競賽”和“交叉學科建模競賽”。MCM始于1985年，ICM始于2000年，由COMAP（theConsortiumforMathematicsandItsApplication，美國數(shù)學及其應用聯(lián)合會）主辦，得到了SIAM，NSA，INFORMS等多個組織的贊助。MCM/ICM著重強調研究問題、解決方案的原創(chuàng)性、團隊合作、交流以及結果的合理性。四、美國大學生數(shù)學建模競賽簡介競賽以三人（本科生）為一組，在四天時間內，就指定的問題完成從建立模型、求解、驗證到論文撰寫的全部工作。競賽每年都吸引大量著名高校參賽。遍及五大洲。MCM/ICM已經(jīng)成為最著名的國際大學生競賽之一。1989年我國大學生開始參加MCM.四、美國大學生數(shù)學建模競賽簡介2013年MCM競賽設A、B兩題。A題為《The

Ultimate

Brownie

Pan》，要求參賽者設計一個既能彌補現(xiàn)有圈形烤盤浪費空間的缺點、又能保證烤盤均勻受熱的解決方案；B題為《Water,

Water,

Everywhere》，參賽者需運用數(shù)學模型解決2025年的水資源戰(zhàn)略問題。ICM競賽題目為C題：《Network

Modeling

of

Earth’s

Health》，該題背景材料選自世界著名學術期刊《Nature》，要求學生通過建模，綜合運用生物科學、環(huán)境科學、計算機科學等背景知識，制定地球環(huán)境保護的綜合策略。四、美國大學生數(shù)學建模競賽簡介UnsuccessfulParticipant不成功參與獎（如被發(fā)現(xiàn)抄襲、違反規(guī)則、未能在指定時間內提交論文等）SuccessfulParticipant成功參賽獎(占大約60%隊伍)HonorableMention中文一般譯為“二等獎”(大約20%的隊伍)MeritoriousWinner中文譯為“一等獎”(大約15%)Finalist中文譯為“特等獎提名”（2010年新增，在最后一輪選拔被淘汰的隊伍獲此獎項）OutstandingWinner中文譯為“特等獎”(大約10支隊伍五、全國大學生數(shù)學建模競賽簡介五、全國大學生數(shù)學建模競賽簡介全國大學生數(shù)學建模競賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎性學科競賽和課外科技活動之一，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學建模競賽。2013年，來自全國33個省/市/自治區(qū)(包括香港和澳門特區(qū))及新加坡、印度和馬來西亞的1326所院校、23339個隊（其中本科組19892隊、?？平M3447隊）、70000多名大學生報名參加本項競賽。五、全國大學生數(shù)學建模競賽簡介本競賽每年9月(一般在中旬某個周末的星期五至下周星期一共3天，72小時）舉行，競賽面向全國大專院校的學生，不分專業(yè)（但競賽分本科、?？苾山M，本科組競賽所有大學生均可參加，專科組競賽只有?？粕òǜ呗?、高專生）可以參加）。競賽主辦單位及合作機構

主辦:教育部高等教育司中國工業(yè)與應用數(shù)學學會

五、全國大學生數(shù)學建模競賽簡介競賽以三人為一組，在三天時間內，就指定的問題完成從建立模型、求解、驗證到論文撰寫的全部工作。競賽設全國一等獎、二等獎，?。ㄊ校┮坏泉劇⒍泉?、三等獎和成功參賽獎，近年來主要由高等教育出版社贊助，并設立了“高教社杯”，由全國組委會評選，在全國一等獎中產生捧杯的隊伍

五、全國大學生數(shù)學建模競賽簡介“2014高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽”賽題將于競賽開始時（2014年9月12日上午8：00）發(fā)布在本站、中國大學生在線網(wǎng)站、高等教育出版社網(wǎng)站、中國數(shù)模網(wǎng)等網(wǎng)站。五、全國大學生數(shù)學建模競賽簡介“2014“深圳社杯全國大學生數(shù)學建模夏令營”三人一隊，從現(xiàn)在開始，2014年6月11日前提交夏令營研究論文研究論文的題目是組委會指定的，發(fā)布在：

http//六、怎樣準備與參賽1.成功參賽的要素要有充分的自信心：我們行，我們能做到濃厚的興趣敏銳的洞察力和活躍的思維；獲取新知識的能力扎實的數(shù)學基礎熟練的計算機編程清晰的論文表達六、怎樣準備與參賽2.怎樣準備養(yǎng)成勤于研究的習慣；選修“數(shù)學建?！闭n程;學習相關數(shù)學知識：微積分、微分方程、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計，運籌學、數(shù)學實驗、數(shù)學建模；熟練運用一門以上運算軟件：Matlab,Mathematica,Lindo,Sas,Spss,C語言等學會撰寫科學論文3.數(shù)學模型分類優(yōu)化模型微分方程模型統(tǒng)計模型概率模型圖論模型決策模型4.關注一些常用的數(shù)學建模方法類比法量綱分析法差分法變分法圖論法層次分析法數(shù)據(jù)擬合法回歸分析法數(shù)學規(guī)劃（線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動態(tài)規(guī)劃，目標規(guī)劃）機理分析法排隊方法對策方法決策方法模糊評判方法時間序列方法灰色理論方法現(xiàn)代優(yōu)化算法（禁忌搜索算法，模擬退火算法，遺傳算法，神經(jīng)網(wǎng)絡）4.關注一些常用的數(shù)學建模方法推薦參考書葉其孝主編,大學生數(shù)學建模競賽輔導