鄭州大學-流體力學-第7章-理想流體多維流動基礎

第7章理想流體多維流動基礎1過程裝備與控制工程教研室在許多工程實際問題中，流動參數(shù)不僅在流動方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流動方向的橫截面上也要發(fā)生變化。要研究此類問題，就要用多維流動的分析方法。本章主要討論理想流體多維流動的基本規(guī)律，為解決工程實際中類似的問題提供理論依據(jù)，也為進一步研究粘性流體多維流動奠定必要的基礎。

2過程裝備與控制工程教研室本章內容7.1微分形式的連續(xù)方程

7.2流體微團運動分析

7.3理想流體運動微分方程

7.4起始條件邊界條件

7.5理想流體運動微分方程的積分

7.6渦線渦管渦束渦通量7.7速度環(huán)量斯托克斯定理7.8湯姆孫定理亥姆霍茲定理

7.9二維渦流

7.10速度勢流函數(shù)流網(wǎng)7.11簡單的平面勢流

7.12簡單平面勢流的疊加

7.13均勻等速流繞過圓柱體的平面流動7.14均勻等速流繞過圓柱體有環(huán)流的平面流動3過程裝備與控制工程教研室7.1微分形式的連續(xù)方程4過程裝備與控制工程教研室7.1微分形式的連續(xù)方程當把流體的流動看作是連續(xù)介質的流動，它必然遵守質量守恒定律。對于一定的控制體，必須滿足它表示在控制體內由于流體密度變化所引起的流體質量隨時間的變化率等于單位時間內通過控制體的流體質量的凈通量。

5過程裝備與控制工程教研室7.1微分形式的連續(xù)方程直角坐標系中微分形式的連續(xù)性方程在流場中取出微元六面體ABCDEFG微元六面體中心點上流體質點的速度為vx、vy、vz密度為ρ和x軸垂直的兩個平面上的速度和密度6過程裝備與控制工程教研室7.1微分形式的連續(xù)方程直角坐標系中微分形式的連續(xù)性方程在x方向上，dt時間內通過左面流入的流體質量為：dt時間通過右面流出的流體質量為：則dt時間內沿x軸通過微元體表面的質量凈通量為7過程裝備與控制工程教研室7.1微分形式的連續(xù)方程直角坐標系中微分形式的連續(xù)性方程在x方向上，dt時間內通過微元體表面的質量凈通量為：同理可得，在dt時間內沿y軸和z軸方向流體質量的凈通量分別為：在dt時間內經(jīng)過微元六面體的流體質量總變化為8過程裝備與控制工程教研室7.1微分形式的連續(xù)方程直角坐標系中微分形式的連續(xù)性方程在dt時間內經(jīng)過微元六面體的流體質量總變化為開始瞬時流體的密度為ρ，經(jīng)過dt時間后的密度為在dt時間內，六面體內因密度的變化而引起的質量變化為9過程裝備與控制工程教研室7.1微分形式的連續(xù)方程直角坐標系中微分形式的連續(xù)性方程連續(xù)性方程表示了單位時間控制體內流體質量的增量等于流體在控制體表面上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動和非定常流動。

——可壓縮流體非定常三維流動的連續(xù)性方程10過程裝備與控制工程教研室7.1微分形式的連續(xù)方程直角坐標系中微分形式的連續(xù)性方程定常不可壓縮定常物理意義：在同一時間內通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時間內流入的體積流量與流出的體積流量相等。11過程裝備與控制工程教研室7.1微分形式的連續(xù)方程柱坐標系中微分形式的連續(xù)性方程定常不可壓縮定常12過程裝備與控制工程教研室7.1微分形式的連續(xù)方程球坐標系中微分形式的連續(xù)性方程定常不可壓縮定常13過程裝備與控制工程教研室【例】已知不可壓縮流體運動速度v在x，y兩個軸方向的分量為vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在z=0處，有vz=0。試求z軸方向的速度分量vz。

14過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析

15過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析流體與剛體的主要不同在于它具有流動性，極易變形。流體微團在運動過程中不但象剛體那樣可以有移動和轉動，而且還會發(fā)生變形運動。一般情況下，流體微團的運動可以分解為移動，轉動和變形運動。

16過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析在流場中任取一微元平行六面體邊長分別為dx、dy、dz。t瞬時A點沿三個坐標軸的速度分量為vx、vy、vz。頂點M速度分量可按照泰勒級數(shù)展開，略去二階以上無窮小項求得。17過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析18過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析19過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析線速度線變形速率剪切變形速率旋轉角速度20過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析在一般情況下，流體微團的運動可分解為三部分：以流體微團中某點的速度作整體平移運動——線速度繞通過該點軸的旋轉運動——旋轉角速度微團本身的變形運動——線變形速率、剪切變形速率21過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析oxy坐標面內，t時刻矩形ABCD的運動22過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析平移運動矩形ABCD各角點具有相同的速度分量vx、vy。導致矩形ABCD平移vxδt,上移vyδt,ABCD的形狀不變。23過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析線變形運動x方向的速度差y方向的速度差AB、DC在δt時間內伸長AD、BC在δt時間內縮短24過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析線變形運動定義：單位時間內單位長度流體線段的伸長或縮短量為流體微團的線變形速率。沿x軸方向的線變形速率為沿y軸、z軸方向的線變形速率為25過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析線變形運動對于不可壓縮流體，上式等于零，是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，表明流體微團在運動中體積不變。三個方向的線變形速率之和所反映的實質是流體微團體積在單位時間的相對變化，稱為流體微團的體積膨脹速率。不可壓縮流體的連續(xù)性方程也是流體不可壓縮的條件。26過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析角變形運動27過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析角變形運動角變形速度：兩正交微元流體邊的夾角在單位時間內的變化量剪切變形速率該夾角變化的平均值在單位時間內的變化角變形速度的平均值28過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析旋轉運動

流體微團只發(fā)生角變形流體微團只發(fā)生旋轉，不發(fā)生角變形流體微團在發(fā)生角變形的同時，還要發(fā)生旋轉運動29過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析旋轉運動旋轉角速度：單位時間角平分線的旋轉量角平分線的旋轉量旋轉角速度單位時間二直角邊旋轉角速度代數(shù)和的平均值30過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析旋轉運動旋轉角速度31過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析32過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析亥姆霍茲速度分解定理

在一般情況下微小流體質團的運動可以分解為三部分：（1）隨質團中某點（基點）一起前進的平移運動；（2）繞該點的旋轉運動；（3）含有線變形和角變形的變形運動。微小流體質團的維長趨于零的極限是流體微團流體微團的運動分解定理33過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析亥姆霍茲速度分解定理對于流體力學的發(fā)展有深遠的影響：由于把旋轉運動從一般運動中分離出來，才使我們有可能把運動分成無旋運動和有旋運動；正是由于把流體的變形運動從一般運動中分離出來，才使我們有可能將流體變形速度與流體應力聯(lián)系起來，這對于粘性流體運動規(guī)律的研究有重大的影響。34過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析根據(jù)流體微團是否旋轉可將流體的流動分為兩大類有旋流動流體在流動中，如果流場中有若干處流體微團具有繞通過其自身軸線的旋轉運動，則稱為有旋流動。流體微團的旋轉角速度不等于零（數(shù)學條件）無旋流動

如果在整個流場中各處的流體微團均不繞自身軸線的旋轉運動，則稱為無旋流動。流體微團的旋轉角速度等于零（數(shù)學條件）35過程裝備與控制工程教研室7.2流體微團運動分析無旋流動需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團本身是否發(fā)生旋轉來決定，而與流體微團本身的運動軌跡無關。

36過程裝備與控制工程教研室【例】給定直角坐標系中速度場vx=x2y+y2，vy=x2-xy2，vz=0。求各變形速度，并判斷流場是否為不可壓縮流場。37過程裝備與控制工程教研室【例】給定兩個流場：

（1）vx=-y，vy=x；vz=0；（2）vx=-y/(x2+y2)，vy=x/(x2+y2)，vz=0。求這兩個流場的跡線和旋轉角速度。38過程裝備與控制工程教研室7.3理想流體運動微分方程

39過程裝備與控制工程教研室7.3理想流體運動微分方程理想流體運動微分方程式是研究流體運動學的重要理論基礎?？梢杂门ｎD第二定律加以推導。在流場中取一平行六面體邊長分別為dx，dy，dz

中心點為A(x,y,z)中心點的壓強為p=p(x,y,z)密度為ρ=ρ(x,y,z)因研究的對象為理想流體，作用于六個面上的表面力只有壓力作用于微元體上的單位質量力沿三個坐標軸的分量分別為fx，fy，fz

40過程裝備與控制工程教研室7.3理想流體運動微分方程微元體在質量力和表面力的作用下產(chǎn)生的加速度，根據(jù)牛頓第二定律：41過程裝備與控制工程教研室7.3理想流體運動微分方程理想流體運動微分方程式（歐拉運動微分方程式）。表示了作用在單位質量流體上的質量力、表面力和慣性力相平衡：在流場的某點，單位質量流體的當?shù)丶铀俣扰c遷移加速度之和等于作用在它上面的重力與壓力之和。該式推導過程中對流體的壓縮性沒加限制，故可適用于理想的可壓流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動和無旋流動。

42過程裝備與控制工程教研室7.3理想流體運動微分方程柱坐標系中的歐拉運動微分方程式球坐標系中的歐拉運動微分方程式43過程裝備與控制工程教研室7.3理想流體運動微分方程蘭姆方程（可直接從微分方程中判定流動是否有旋）44過程裝備與控制工程教研室7.3理想流體運動微分方程蘭姆方程質量力有勢正壓流場——壓強函數(shù)45過程裝備與控制工程教研室7.3理想流體運動微分方程蘭姆方程理想正壓性流體在有勢的質量力作用下的運動微分關系46過程裝備與控制工程教研室7.4起始條件邊界條件

47過程裝備與控制工程教研室7.4起始條件邊界條件對于不可壓縮理想流體，未知量有vx、vy、vz、p四個，除三個運動微分方程外，還有連續(xù)方程，聯(lián)立可以求解；對于正壓的理想流體，密度隨壓強變化，多了未知量ρ，需補充物態(tài)方程，方可求解；對于非正壓的理想流體，密度隨壓強和溫度變化，又多了未知量T，還需補充能量方程，才能求解；滿足基本方程的解有無窮多，要得到給定流動的確定解，必須給出它的定解條件，包括起始條件和邊界條件。48過程裝備與控制工程教研室7.4.1起始條件方程組的解在起始瞬時（t=0）應滿足的條件，是起始瞬時流動參數(shù)在流場中的分布規(guī)律，即起始條件是研究非定常流動必不可少的定解條件，但在研究定常流動時，可以不必給出。49過程裝備與控制工程教研室7.4.2邊界條件方程組的解在流場邊界上應滿足的條件。邊界條件可以是固體的，也可以是流體的；可以是運動學的、動力學的，也可以是熱力學的。50過程裝備與控制工程教研室7.4.2邊界條件固體壁面理想流體沿固體壁面流動時，既不能穿過它，也不能脫離它形成空隙，壁面上流體質點的法向速度vln應等于對應點上壁面的法向速度vbn，即vln=vbn。如果壁面靜止不動，則vln=0。流體與固壁的相互作用力也必沿壁面的法線方向。51過程裝備與控制工程教研室7.4.2邊界條件流體交界面若在交界面上兩種流體互不滲透，它們在同一點上的法向速度應相等，通常兩側的溫度也是連續(xù)的，即v1n=v2n，T1=T2若交界面是曲面，曲面兩側的壓強應滿足p1-p2=σ(1/R1+1/R2)若交界面是平面，R1=R2→∞，則p1=p2若交界面是自由表面，則p=pamb若自由表面上是大氣，則p=pa52過程裝備與控制工程教研室7.4.2邊界條件無窮遠處一般給定該處流體的流速v∞、壓強p

∞和密度ρ∞

。流道進出口處此處的條件需視具體情況而定，一般給出該處截面上的速度分布。53過程裝備與控制工程教研室7.5理想流體運動微分方程的積分54過程裝備與控制工程教研室7.5.1歐拉積分正壓的理想流體在有勢的質量力作用下作定常無旋流動在流場中任取一有向微元線段55過程裝備與控制工程教研室7.5.1歐拉積分正壓的理想流體在有勢的質量力作用下作定常無旋流動時，單位質量流體的動能v2/2、質量力位勢能π、壓強勢能PF之和在流場中保持不變。56過程裝備與控制工程教研室7.5.2伯努利積分正壓的理想流體在有勢的質量力作用下作定常有旋流動。流線與跡線重合在流場中沿流線取一有向微元線段在三個坐標軸上的投影分別為57過程裝備與控制工程教研室7.5.2伯努利積分正壓的理想流體在有勢的質量力作用下作定常有旋流動。正壓的理想流體在有勢的質量力作用下作定常有旋流動時，單位質量流體的動能v2/2、質量力位勢能π、壓強勢能PF之和沿同一流線保持不變。一般情況下，沿不同流線，積分常數(shù)值不一樣。58過程裝備與控制工程教研室7.5.2伯努利積分正壓的理想流體在有勢的質量力作用下作定常有旋流動。

v2/2+π+PF=C不可壓縮重力流體，若取坐標軸z方向向上：

π=gzPF=p/ρv2/2+gz+p/ρ=C如果流動無旋，單位質量流體的動能、位勢能、壓強勢能之和在流場中保持不變；如果流動有旋，這三項之和沿同一流線保持不變。59過程裝備與控制工程教研室7.5.2伯努利積分正壓的理想流體在有勢的質量力作用下作定常有旋流動。

v2/2+π+PF=C對于完全氣體的絕熱流動，質量力的作用可忽略不計：非粘性完全氣體一維定常絕熱流動的能量方程。如果流動無旋，單位質量氣體的動能、壓強勢能之和在流場中保持不變；如果流動有旋，這二項之和沿同一流線保持不變。60過程裝備與控制工程教研室7.5.3非定常流動沿流線的積分沿流線取一有向微元線段61過程裝備與控制工程教研室7.5.3非定常流動沿流線的積分不可壓縮重力流體非粘性不可壓縮重力流體非定常流動的能量方程。即沿流線流體在1點處的總機械能等于在2點處的總機械能加上流動的非定常所需要的能量。62過程裝備與控制工程教研室【例7-1】如圖所示為水平放置、間隙為δ、半徑為r2的二圓盤，水由上圓盤中央半徑為r1的小管以速度v1定常地流入，若不計水流入的動量，試求圓盤間水的壓強沿徑向的分布規(guī)律。63過程裝備與控制工程教研室【例7-2】如圖所示為盛有液體的等截面U型管，兩端通大氣，管內液柱總長為l。如果起始時刻液體兩端自由面的高差為h，之后液柱將在管中振蕩，其振蕩規(guī)律如何？64過程裝備與控制工程教研室7.6渦線渦管渦束渦通量

65過程裝備與控制工程教研室7.6渦線渦管渦束渦通量

自然界中流體的流動絕大多數(shù)是有旋的大氣中的旋風、龍卷風，橋墩后的渦旋區(qū)；行進中的船舶后的尾渦區(qū)；充滿微小渦旋的紊流流動；物體表面充滿微小渦旋的邊界層流動；葉輪機械內流體的渦旋運動。66過程裝備與控制工程教研室7.6渦線渦管渦束渦通量

流體微團旋轉角速度的矢量表示更普遍地用渦量來描述流體微團的旋轉運動渦量的定義充滿渦量的流場稱為渦量場67過程裝備與控制工程教研室7.6.1渦線在給定瞬時處處與渦量矢量相切的曲線。沿該線各流體微團的瞬時轉動軸線。渦線方程

非定常流動，渦線的形狀和位置是隨時間變化的，積分渦線微分方程時，t作為參變量；定常流動，渦線的形狀和位置保持不變，渦線微分方程中沒有時間變量t。68過程裝備與控制工程教研室7.6.2渦管渦束給定瞬時在渦量場中取一不是渦線的封閉曲線，通過封閉曲線的每一點作渦線，這些渦線形成的管狀表面稱為渦管；截面無限小的渦管稱為微元渦管；渦管中充滿著的作旋轉運動的流體稱為渦束；微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。69過程裝備與控制工程教研室7.6.3渦通量

在渦量場中取一微元面積dA，其上流體微團的渦量為Ω，則經(jīng)過微元面積的渦通量為經(jīng)過面A的渦通量渦通量又稱渦旋強度，若面A是渦管的截面，則稱J為渦管強度。70過程裝備與控制工程教研室7.7速度環(huán)量斯托克斯定理

71過程裝備與控制工程教研室7.7.1速度環(huán)量在流場的某封閉周線上，流體的速度矢量與該線微元有向線段的標積沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號Γ表示速度環(huán)量是代數(shù)量，它的正負不僅與速度的方向有關，還與線積分的繞行方向有關；規(guī)定：繞行的正方向為逆時針方向，即封閉周線所包圍的面積總在繞行前進方向的左側；封閉周線所圍曲面的法線正方向與繞行的正方向形成右手螺旋系統(tǒng)。72過程裝備與控制工程教研室7.7.2斯托克斯定理在渦量場中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所張曲面的渦通量斯托克斯定理的應用區(qū)域限制條件區(qū)域內任意封閉周線都能連續(xù)地收縮成一點而不越出流體的邊界這種區(qū)域稱為單連通域否則稱為多連通域73過程裝備與控制工程教研室【例7-3】已知二維流場的速度分布為vx=-6y，vy=8x，試求繞圓x2+y2=R2的速度環(huán)量。74過程裝備與控制工程教研室【例7-4】在二元渦量場中，已知圓心在坐標原點、半徑r=0.2m的圓區(qū)域內流體的渦通量J=0.8πm2/s。若流體微團在半徑r處的速度分量vθ為常數(shù)，它的值是多少？75過程裝備與控制工程教研室【例7-5】已知理想流體的速度分布為，試求渦線方程以及沿封閉周線的速度環(huán)量，其中a、b為常數(shù)。76過程裝備與控制工程教研室7.8湯姆孫定理亥姆霍茲定理

77過程裝備與控制工程教研室7.8.1湯姆孫定理正壓的理想流體在有勢的質量力作用下沿任何由流體質點組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時間變化；正壓的理想流體在有勢的質量力作用下，速度環(huán)量和渦旋不能自行產(chǎn)生，也不能自行消失。78過程裝備與控制工程教研室7.8.1湯姆孫定理理想流體無粘性，不存在切應力，不能傳遞旋轉運動；既不能使不旋轉的流體微團旋轉，也不能使旋轉的流體微團停止旋轉；流場中原來有渦旋和速度環(huán)量的，將保持有渦旋和速度環(huán)量；原來沒有渦旋和速度環(huán)量的，就永遠沒有渦旋和速度環(huán)量；流場中也會出現(xiàn)沒有速度環(huán)量但有渦旋的情況，此時渦旋是成對出現(xiàn)的，每對渦旋的強度相等而旋轉方向相反。79過程裝備與控制工程教研室7.8.2亥姆霍茲定理亥姆霍茲第一定理在同一瞬時渦管各截面上的渦通量相同。渦管在流體中既不能開始，也不能終止，只能是自成封閉的管圈，或在邊界上開始、終止。80過程裝備與控制工程教研室7.8.2亥姆霍茲定理亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理）在有勢的質量力作用下的正壓理想流體中，渦管始終由相同的流體質點組成。亥姆霍茲第三定理（渦管強度守恒定理）在有勢的質量力作用下的正壓理想流體中，渦管強度不隨時間變化。81過程裝備與控制工程教研室7.9二維渦流

82過程裝備與控制工程教研室7.9二維渦流設在重力作用下的不可壓縮理想流體中，有一無限長的渦通量為J的垂直渦束，像剛體一樣以等角速度ω繞自身軸旋轉；渦束周圍的流體受渦束的誘導將繞渦束軸作對應的等速圓周運動，根據(jù)斯托克斯定理Γ=J；由于直線渦束無限長，與渦束軸垂直的所有平面上的流動情況都一樣，可只研究其中一個平面的流動。83過程裝備與控制工程教研室7.9二維渦流渦束內的流動區(qū)域，稱為渦核區(qū)。有旋流動，其半徑為rb。渦束外的流動區(qū)域稱為環(huán)流區(qū)。由于沿區(qū)內任意封閉曲線的速度環(huán)量都為零，故為無旋流動。84過程裝備與控制工程教研室7.9二維渦流環(huán)流區(qū)

環(huán)流區(qū)的速度分布vr=0vθ=v=Γ/(2πr)(r≥rb)環(huán)流區(qū)內隨半徑的減小，流速升高。環(huán)流區(qū)的壓強分布p+ρv2/2=p∞p=p∞-ρv2/2=p∞-ρΓ2/(8π2r2)環(huán)流區(qū)內隨半徑的減小，壓強降低。85過程裝備與控制工程教研室7.9二維渦流環(huán)流區(qū)在與渦核交界處，流速達到該區(qū)的最高值，而壓強則是該區(qū)的最低值。86過程裝備與控制工程教研室7.9二維渦流渦核區(qū)

渦核區(qū)的速度分布vr=0vθ=v=rω(r≤rb)渦核區(qū)為有旋流動，伯努利方程的積分常數(shù)隨流線而變，其壓強分布由歐拉運動微分方程推出：87過程裝備與控制工程教研室7.9二維渦流渦核區(qū)渦核中心的流速為零，壓強最低渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強降渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強降相等，都等于以它們交界處的速度計算的動壓頭；由于渦核區(qū)的壓強比環(huán)流區(qū)的低，而渦核區(qū)又很小，徑向壓強梯度很大，故有向渦核中心的抽吸作用，渦旋越強，這種作用越大，如龍卷風，具有極強的渦旋，有很大的破壞力；在工程實際中，也有許多與渦流有關的裝置。88過程裝備與控制工程教研室7.10速度勢流函數(shù)流網(wǎng)

89過程裝備與控制工程教研室7.10速度勢流函數(shù)流網(wǎng)自然界中無旋流動是很少的有許多有旋流動可以近似地視為無旋流動可以使繁瑣的數(shù)學計算得到簡化，解決工程實際問題；此類分析、計算方法已經(jīng)很成熟。90過程裝備與控制工程教研室7.10.1速度勢函數(shù)

無旋流動是vxdx+vydy+vzdz成為某函數(shù)φ(x,y,z)的全微分的充要條件

dφ=vxdx+vydy+vzdz流場的速度等于勢函數(shù)φ的梯度，φ為速度勢函數(shù)，簡稱速度勢；稱無旋流動為有勢流動，簡稱勢流。91過程裝備與控制工程教研室7.10.1速度勢函數(shù)

速度勢對任一方向l的偏導數(shù)

速度勢函數(shù)對任意方向l的偏導數(shù)等于速度矢量在該方向上的投影速度在柱坐標系中的投影92過程裝備與控制工程教研室7.10.1速度勢函數(shù)

在勢流中任取一曲線AB，沿AB切向速度的線積分為沿任意曲線切向速度的線積分等于曲線兩端的速度勢之差；若曲線為封閉周線，速度勢又是單值連續(xù)函數(shù)，則沿該周線的速度環(huán)量等于零。93過程裝備與控制工程教研室7.10.1速度勢函數(shù)

不可壓縮流體滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調和函數(shù)，速度勢是調和函數(shù)。柱坐標系中

——拉普拉斯方程——拉普拉斯算子94過程裝備與控制工程教研室7.10.2流函數(shù)不可壓縮流體的平面流動連續(xù)方程流線方程是-vydx+vxdy成為某函數(shù)ψ(x,y)全微分的充要條件

95過程裝備與控制工程教研室7.10.2流函數(shù)不可壓縮流體的平面流動流線上dψ=-vydx+vxdy=0ψ=const每條流線都有各自的常數(shù)值，故稱ψ(x,y)為流函數(shù)。流函數(shù)總滿足連續(xù)方程。不可壓縮流體的二維流動，必然存在流函數(shù)，不管它是理想流體還是粘性流體，是有旋流動還是無旋流動。極坐標系中96過程裝備與控制工程教研室7.10.2流函數(shù)流函數(shù)的性質等流函數(shù)線為流線97過程裝備與控制工程教研室7.10.2流函數(shù)流函數(shù)的性質流體通過兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差

98過程裝備與控制工程教研室7.10.2流函數(shù)流函數(shù)的性質不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調和函數(shù)。99過程裝備與控制工程教研室7.10.3流網(wǎng)在不可壓縮流體的平面無旋流動中，同時存在速度勢和流函數(shù)。流函數(shù)和勢函數(shù)的關系：等勢線族和流線族互相正交。在平面上等勢線和流線構成處處正交的網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)。100過程裝備與控制工程教研室【例7-6】已知不可壓縮流體平面勢流的速度勢φ=xy，試求速度投影和流函數(shù)。101過程裝備與控制工程教研室【例】已知平面流動的流函數(shù)Ψ=3x2y-y3。求勢函數(shù)；若在流場中A(1m,1m)處的絕對壓強為1.5×105Pa，流體的密度為1.2kg/m3，則B(3m,5m)處的壓強是多少？102過程裝備與控制工程教研室7.11簡單的平面勢流

103過程裝備與控制工程教研室7.11.1均勻等速流流速的大小和方向沿流線不變的流動為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱為均勻等速流。勢函數(shù)φ=vx0x+vy0y等勢線vx0x+vy0y=C流函數(shù)ψ=-vy0x+vx0y流線-vy0x+vx0y=C流線與等勢線垂直104過程裝備與控制工程教研室7.11.1均勻等速流流場中各點的流速相同，流動無旋，所以流場中流體的總勢能不變水平面上的均勻等速流壓強在流場中處處相等105過程裝備與控制工程教研室7.11.2源流和匯流在無限平面上，若流體從一點沿徑向直線均勻地向各方流出，稱為源流，這個點稱為源點；若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點，稱為匯流，這個點稱為匯點。流動只有徑向速度vr通過任一單位高度圓柱面的體積流量qV106過程裝備與控制工程教研室7.11.2源流和匯流勢函數(shù)源點和匯點是奇點等勢線r=const不同半徑的同心圓流函數(shù)流線θ=const不同極角的徑線流線與等勢線正交107過程裝備與控制工程教研室7.11.2源流和匯流水平面內流動的壓強分布對半徑r處和無窮遠列伯努利方程壓強隨半徑的減小而降低零壓強處108過程裝備與控制工程教研室7.11.3勢渦若二維渦流的渦束半徑rb→0，則渦束變?yōu)橐粭l渦線，平面上的渦核區(qū)縮為一點，稱為渦點，這樣的流動稱為勢渦或自由渦流。渦點以外勢流區(qū)的速度分布r→0v→∞渦點為奇點109過程裝備與控制工程教研室7.11.3勢渦勢函數(shù)源點和匯點是奇點等勢線θ=const不同極角的徑線流函數(shù)流線r=const不同半徑的同心圓流線與等勢線正交110過程裝備與控制工程教研室7.11.3勢渦渦點以外勢流區(qū)的壓強分布

零壓強處

111過程裝備與控制工程教研室7.11簡單的平面勢流對于以上幾種簡單的平面勢流，重要的不是它們能代表怎樣的實際流動，而在它們是勢流的基本單元；把幾種基本單元組合在一起，可以形成許多有重要意義的復雜流動。112過程裝備與控制工程教研室7.12簡單平面勢流的疊加

113過程裝備與控制工程教研室7.12簡單平面勢流的疊加若φ1,φ2,φ3,……,φn是調和函數(shù)，將它們相加組成的新函數(shù)也必是滿足拉普拉斯方程的調和函數(shù)：調和函數(shù)可以疊加，疊加成的新函數(shù)仍是調和函數(shù)；它們的速度矢量可以疊加。114過程裝備與控制工程教研室7.12.1匯流和勢渦疊加螺旋流匯流勢渦螺旋流等勢線流線115過程裝備與控制工程教研室7.12.1匯流和勢渦疊加螺旋流等勢線流線流線和等勢線是兩組相互正交的螺旋線匯流和勢流疊加的流動為螺旋流速度分布

壓強分布上述各式的實際的適用范圍應為116過程裝備與控制工程教研室7.12.1匯流和勢渦疊加螺旋流旋風燃燒室、離心式除塵器、離心式噴油嘴流體沿圓周切向流入，從中心流出——匯流和勢渦的疊加。離心泵、風機外殼中的流體由葉輪螺旋流入，沿外殼切向流出——源流和勢渦的疊加。117過程裝備與控制工程教研室7.12.2源流和匯流疊加偶極子流兩個流量相等的位于A(-a,0)的源流和位于B(a,0)的匯流疊加118過程裝備與控制工程教研室7.12.2源流和匯流疊加偶極子流流線流線是經(jīng)過源點和匯點的圓線族當源點和匯點無限接近，a→0時，流量必須同時無限增大，使趨于有限值，這樣流動才能形成——偶極子流。M為偶極子矩，也稱偶極子流強度，方向由源點指向匯點。119過程裝備與控制工程教研室7.12.2源流和匯流疊加偶極子流偶極子流勢函數(shù)等勢線120過程裝備與控制工程教研室7.12.2源流和匯流疊加偶極子流偶極子流流函數(shù)流線速度分布121過程裝備與控制工程教研室7.13均勻等速流繞過圓柱體的平面流動

122過程裝備與控制工程教研室7.13均勻等速流繞過圓柱體的平面流動速度為v∞沿x軸正向的均勻等速流與強度為M沿x軸正向的偶極子流疊加勢函數(shù)流函數(shù)流線零流線123過程裝備與控制工程教研室7.13均勻等速流繞過圓柱體的平面流動零流線以坐標原點為圓心、半徑為r0的圓點B、A以外的x軸由于流體不能穿過流線，零流線的圓可以代之以圓柱面124過程裝備與控制工程教研室7.13均勻等速流繞過圓柱體的平面流動——均勻等速流——符合流體既不穿入又不脫離圓柱面的繞流條件，且按正弦規(guī)律分布。125過程裝備與控制工程教研室7.13均勻等速流繞過圓柱體的平面流動圓柱面A點B點C、D點圓柱面速度的最大值沿包圍圓柱面的圓形周線的速度環(huán)量前駐點后駐點126過程裝備與控制工程教研室7.13均勻等速流繞過圓柱體的平面流動速度為v∞沿x軸正向的均勻等速流與強度為M沿x軸正向的偶極子流疊加的組合流動(r≥r0)就是均