第六章IIR濾波器的設計

第六章

IIR濾波器的設計主要內容理解數(shù)字濾波器的基本概念掌握沖激響應不變法、階躍響應不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點了解利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器的設計過程了解利用頻帶變換法設計各種類型數(shù)字濾波器的方法6.1引言數(shù)字濾波器：

是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。

高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能。優(yōu)點：1、濾波器的基本概念（1）濾波器的功能濾波器的功能是對輸入信號進行濾波以增強所需信號部分，抑制不要的部分。a）時域說明b）頻域說明（2）四種基本的濾波器

四種基本濾波器為低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻濾波器（BRF）：（3）四種基本濾波器的數(shù)字表示低通高通帶通帶阻2、LP到其他濾波器的變換由LP實現(xiàn)的HPLP實現(xiàn)的BPLP實現(xiàn)的BRF3、濾波器的性能指標帶寬：當幅度降低到0.707時的寬度稱為濾波器的帶寬（3dB帶寬）通帶、阻帶與過渡帶：信號允許通過的頻帶為通帶，完全不允許通過的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過渡帶。滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過渡帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率。阻帶衰減：輸入信號在阻帶的衰減量帶內平坦度：通帶和阻帶內的平坦程度4、數(shù)字濾波器的設計步驟

數(shù)字濾波器的設計三個步驟:(1)

按要求確定濾波器的性能參數(shù)；

(2)用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近去逼近這一性能要求；

(3)用有限精度的運算實現(xiàn)；實現(xiàn)可以采用通用計算機，也可以采用DSP。5、數(shù)字濾波器的技術要求選頻濾波器的頻率響應：

為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況

為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況

：通帶截止頻率

：阻帶截止頻率

：通帶容限

：阻帶容限阻帶：過渡帶：通帶：理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當時，稱為3dB通帶截止頻率6、表征濾波器頻率響應的特征參量幅度平方響應

的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的H(z)的極點：單位圓內的極點相位響應相位響應：群延遲響應相位對角頻率的導數(shù)的負值若濾波器通帶內=常數(shù)， 則為線性相位濾波器IIR數(shù)字濾波器的設計方法先設計模擬濾波器，再轉換為數(shù)字濾波器用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：即為求濾波器的各系數(shù)計算機輔助設計法

s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器6.2用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器設計思想： s平面z平面

模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)H(z)的頻率響應要能模仿Ha(s)的頻率響應， 即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的單位圓內|z|<1設計方法：-沖激響應不變法-階躍響應不變法-雙線性變換法6.2沖激響應不變法一、變換原理數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n)

模仿模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)T—抽樣周期)()(nTxnxa=)()(nTynya=)()(nThnha=)(txa)(tya)(tha設則：從頻率響應來看：數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為2p/T只有當模擬濾波器的頻率響應是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內時，即才能使數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以內重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產生混迭失真

實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在|W|>Ws/2處衰減越快，失真越小當濾波器的設計指標以數(shù)字域頻率wc給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象二、模擬濾波器的數(shù)字化系數(shù)相同：極點：s平面z平面穩(wěn)定性不變：s平面

z平面當T很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：試用沖激響應不變法，設計IIR數(shù)字濾波器例：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設T=1s，則模擬濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：優(yōu)點：缺點：保持線性關系：w=WT

線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應ha(t)時域逼近良好沖激響應不變法的優(yōu)缺點6.3階躍響應不變法變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應g(n)

模仿模擬濾波器的階躍響應ga(t)

T—抽樣周期階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應不變法要小。6.4雙線性變換法沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿逼近缺點是產生頻率響應的混疊失真。為了克服這一缺點，采用雙線性變換法。使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似。一、變換原理及特點脈沖響應不變法的映射是多值映射,導致頻率響應交疊。改進思路：先將s域平面壓縮到一個中介平面s1，然后再將s1映射到Z平面。為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關系，引入系數(shù)c2）某一特定頻率嚴格相對應：1）低頻處有較確切的對應關系：特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位置二、變換常數(shù)c的選擇三、逼近情況1） s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內 s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上四、優(yōu)缺點優(yōu)點：避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s平面與z平面為單值變換

缺點：除了零頻率附近，W與w之間嚴重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數(shù)型，不然會產生畸變1）線性相位模擬濾波器非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點產生畸變預畸變

給定數(shù)字濾波器的截止頻率w1，則按W1設計模擬濾波器，經雙線性變換后，即可得到w1為截止頻率的數(shù)字濾波器五、模擬濾波器數(shù)字化方法可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)6.5常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術指標轉變成模擬濾波器技術指標，設計模擬濾波器，再轉換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器切比雪夫Chebyshev濾波器橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器1、由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實函數(shù)將左半平面的的極點歸Ha(s)將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為Ha(s)的零點，虛軸上的零點一半歸Ha(s)Ha(s)Ha(-s)的零極點分布由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)對比和，確定增益常數(shù)由零極點及增益常數(shù)，得例：解：極點：零點：（二階）零點：的極點：設增益常數(shù)為K01）巴特沃爾斯濾波器（Butterworth）2、常見模擬濾波器設計幅度平方函數(shù)：當稱Wc為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)Wc為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)特點：

3dB不變性

通帶內有最大平坦的幅度特性，單調減小

過渡帶及阻帶內快速單調減小當W＝Wst（阻帶截止頻率）時，衰減的d1為阻帶最小衰減Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：2）幅度平方特性的極點分布：

極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點

極點間的角度間隔為

極點不落在虛軸上N為奇數(shù)，實軸上有極點，N為偶數(shù)，實軸上無極點Ha(s)Ha(-s)的零極點分布(a)N=3(三階）(b)N=4（四階）3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得4）濾波器的設計步驟：根據(jù)技術指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術指標：由得：同理：令則：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：

或者由N，直接查表得其中技術指標Wc給出或由下式求出：

其中極點：去歸一化阻帶指標有富?；蛲◣е笜擞懈辉＠涸O計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2prad的通帶內幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內，衰減大于15dB。分別用沖激響應不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應不變法設計1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）得模擬濾波器的技術指標：選T=1sa）確定參數(shù)

用通帶技術指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設計Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點（左半平面）c)構造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化4）將Ha(s)展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：用沖激響應不變法設計出的Butterworth濾波器2、用雙線性變換法設計1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：a）確定參數(shù)

用阻帶技術指標，使通帶特性較好，因無混迭問題3）設計Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點（左半平面）c)構造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化4）將Ha(s)變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2）切貝雪夫濾波器（Chebyshev

）N：濾波器的階數(shù)Wc

：截止頻率，不一定為3dB帶寬0<e<1，表示通帶波紋大小，e越大，波紋越大CN(x)：N階Chebyshev多項式TypeIChebyshevN為偶數(shù)N為奇數(shù)

通帶內：在1和間等波紋起伏

通帶外：迅速單調下降趨向0Chebyshev濾波器的三個參量：Wc

：通帶截止頻率，給定

e

：表征通帶內波紋大小N：濾波器階數(shù)，等于通帶內最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高Ws為阻帶截止頻率TypeIIChebyshevfilter通帶內：單調特性阻帶內：等波紋起伏例：用雙線性變換法設計Chebyshev數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2prad的通帶內幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內，衰減大于15dB。1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：a）確定參數(shù)3）設計Chebyshev模擬低通濾波器b)求左半平面極點c)構造系統(tǒng)函數(shù)c’)去歸一化b’)由N=4，直接查表得或者：4）將變換成Chebyshev數(shù)字濾波器：設計的四階Chebyshev濾波器橢圓濾波器(Ellipticfilter)

帶內均勻波動最快的滾降貝塞爾濾波器（Bessel）*最大相位平坦特性小結：利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器的步驟將數(shù)字濾波器的技術指標轉變成模擬濾波器的技術指標

通帶截止頻率、通帶衰減

阻帶截