數(shù)學(xué)奧賽試卷一及答案

-.z.數(shù)學(xué)奧賽試卷一一．選擇題〔每題5分，共50分〕1．假設(shè)為三個集合，，則一定有………〔〕A．B．C．D．2．定義運算，則函數(shù)的最大值為………〔〕A．B．C．D．3．橢圓的中心為原點,右焦點為，假設(shè)在直線上存在點，使線段的垂直平分線經(jīng)過點，則橢圓的離心率的取值范圍是……〔〕A．B．C．D．4．為單位向量,則"對任意的都有〞是"〞的…〔〕A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．是函數(shù)圖像上不同的兩點，假設(shè)的中點落在軸上，則的取值范圍為…………………〔〕A．B．C．D．6．在中，角所對的邊分別為．假設(shè)，，過作的垂線，垂足為，設(shè)，則……………………〔〕A．B．C．D．7．平面上三點，〔，〕．假設(shè)點滿足，且．則這樣的三角形的個數(shù)為…〔〕A．2B．6C．12D．168．如果從數(shù)中，按由小到大的順序取出，使同時滿足：，，則所有符合上述要求的不同取法有………………〔〕A．B．C．D．9．函數(shù)和()．假設(shè)方程的兩實根和滿足.則當(dāng)時，以下不等式成立的是……………〔〕A．B．C．D．10．是正數(shù)，且，則的最小值為…………〔〕A．B．C．D．二．填空題〔每題7分，共49分〕11．函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則點所在軌跡的長度為．12．實數(shù)滿足：，且的最大值為，則實數(shù)．13．在正方體中，過的直線與所成角都等于，則的取值范圍為．14．為數(shù)列前項和，假設(shè)且對所有的〔〕都有．則．15．中心在原點的正方形，四個頂點都在函數(shù)圖象上，且其中的一個頂點坐標(biāo)為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．16．在等差數(shù)列則最大值是．17．，且，則．三．解答題〔每題17分，共51分〕18．為數(shù)列的前項和，且滿足：．〔Ⅰ〕求證：數(shù)列為等差數(shù)列；〔Ⅱ〕假設(shè)存在不小于2的正整數(shù)滿足，求數(shù)列的首項所能取值的集合．19．橢圓：，為橢圓的左右頂點，為橢圓的上下頂點．〔Ⅰ〕設(shè)點，假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點在橢圓的頂點時，取得最大值與最小值，求的取值范圍；〔Ⅱ〕假設(shè)橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為，且與直線相交于，兩點〔不是橢圓的左右頂點〕，并滿足．試研究：直線是否過定點？假設(shè)過定點，請求出定點坐標(biāo)，假設(shè)不過定點，請說明理由．20．集合．其中為正常數(shù)．〔Ⅰ〕設(shè)，求的取值范圍．〔Ⅱ〕當(dāng)時不等式對任意是否恒成立？說明理由；〔Ⅲ〕求使不等式對任意恒成立的的范圍．?dāng)?shù)學(xué)奧賽試卷一答案一選擇題〔每題5分，共50分〕DCCBDABACD10解：由平均值不等式及題設(shè)條件知，即，……eq\o\ac(○,1)當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．這時由eq\o\ac(○,1)便得，…………eq\o\ac(○,2)又由條件和柯西不等式可得，……eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,3)當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，結(jié)合條件便知此時．由eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)便得．當(dāng)時，取最小值25．二填空題〔每題7分，共49分〕11．12．13．14．15．和16．17．三解答題〔每題17分，共51分〕18〔Ⅰ〕解答：當(dāng)時顯然成立；當(dāng)時，有與式相減得：，即，……4分故數(shù)列構(gòu)成首項為，公差為2的等差數(shù)列．………………8分〔Ⅱ〕把代入式得即，即………………12分又代入上式得：．……………14分因為為不小于2的正整數(shù)，所以的取值集合為或?qū)憺椋?7分19〔Ⅰ〕設(shè).…………3分對稱軸方程，由題意或或.………6分∴或或,∴.……8分〔Ⅱ〕由與〔Ⅰ〕得：，，，，．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…………………10分設(shè)，，聯(lián)立得，………………12分又，因為橢圓的右頂點為，，即，，，．………14分解得：，，且均滿足，當(dāng)時，的方程為，直線過定點，與矛盾；………15分當(dāng)時，的方程為，直線過定點．………………17分20〔Ⅰ〕，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的取值范圍為．………4分〔Ⅱ〕變形，得.……………6分由，又，，∴eq\a()在上是增函數(shù)，所以．即當(dāng)時不等式成立．………10分〔Ⅲ〕令，則，即求使對恒成立的的范圍．…………12分由〔II〕知