數(shù)列專題(精品)

q?1;qq?1;q豐1.a+amn是公差為md的等a-amn數(shù)列專題一、數(shù)列知識(shí)的梳理1?等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式如果等差數(shù)列€a｝的首項(xiàng)為a，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是：n1a?a+(n，1)d?dn+(a，d)TOC\o"1-5"\h\zn1 1如果等差數(shù)列€a｝的首項(xiàng)為a，公差為d，那么它的前n項(xiàng)和公式是n1\o"CurrentDocument"c (a+a)n n(n-1)d d, d、S?in?na+ ?n2+(a一一:\o"CurrentDocument"n2 1 2 2 1 22.等差數(shù)列的性質(zhì)⑴通項(xiàng)公式的推廣：a?a+(n-m)d(n，m…N*).nm\o"CurrentDocument"⑵若€｝為等差數(shù)列，且k+1?m+n(k,l,m,n…N*)，則a+a:n kl(3)若匕｝是等差數(shù)列，公差為d，則匕｝也是等差數(shù)列，公差為2d.n 2n⑷若匕｝，€｝是等差數(shù)列，則€Pa+qb｝也是等差數(shù)列.nn nn(5)若€｝是等差數(shù)列，公差為d，則a,a,aA (k,m…N*),n kk+mk+2m差數(shù)列.⑹數(shù)列S,S2 ,s3 A構(gòu)成等差數(shù)列.2m一m3m一2m3?等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式如果等比數(shù)列€a｝的首項(xiàng)為a，公比為q，那么它的通項(xiàng)公式是：n1a?a-qn，i(q工0)n1如果等比數(shù)列^｝的首項(xiàng)為a,公比為q，那么它的前n項(xiàng)和公式是n1na1S?<a(1-qn) a-aqn ?—1 n—、1-q 1-q4.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：a?a-qn，m (n，m…N*).nm⑵若€｝為等比數(shù)列，且k+1?m+n (k,1,m,n…N*)，則a-an kl

⑶若｛a｝,€｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則da》0)‘｛丄｝,12!€?b｝｛+｝仍是nn n annnbn n等比數(shù)列.⑷公比不為-1的等比數(shù)列€a｝的前n項(xiàng)和為S，則S，S,S32，…仍成等比數(shù)列，其2n-n3n-2n公比為qn.⑸若€a｝是公比不為1的等比數(shù)列，OS=Aqn+B(A+B=0,且A豐0,q豐0,q豐1).nn二、數(shù)列通項(xiàng)的幾種求法1.累加法：數(shù)列的基本形式為：a,-aan n-1 n-an n-1 n-1n-2)+…+(a—a)+(a—a)=(a—a)3 2 2 1 n1等式左邊二(a—a)+(a等式左邊=f(n-1)+f(n-2)+A+f(2)+f(1)所以：a-f(n-1)+f(n—2)+…+f(2)+f(1)+a.n1例1已知｝例1已知｝的首項(xiàng)a=1,a=a+2n,n1n+1 n(neN*)，求€｝的通項(xiàng)公式.n2.累乘法：數(shù)列的基本形式為：分二f(n)(neN*).an等式左邊二a nan-1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a a a a等式左邊二a nan-1——n-1，…，―3+—2—―na a a an-2 2 1 1等式左邊—f(n-1)，f(n-2)?…，f(2)，f(1)所以：a—[f(n-1)，f(n-2)?…，f(2)，f(1)]，a.n1例2已知€a｝的首項(xiàng)a—2,a—二a,(neN*)，求t｝的通項(xiàng)公式.n 1 n+1 n+2n n

2.公式法：n，則n若S為數(shù)列€｝的前n項(xiàng)和，即：S—a,a,a+?+n，則nn—1;n>2.(n>2)，求(n>2)，求€｝的通項(xiàng)公式.n例3數(shù)列€｝中，S是前n項(xiàng)和，若a=2,a=—S,n n 1 n+13n4.待定系數(shù)法：數(shù)列匕｝有形如a1=ka+b(k豐1)的關(guān)系時(shí)，可用待定系數(shù)法求得匕+八為等比數(shù)列,TOC\o"1-5"\h\zn n+1 n n進(jìn)而求得a.n即：a,t—k(a,t)n,1 nb展開(kāi)可得：a1=ka+(k-1)t，其中t=廠一f.1 n k—1例4已知數(shù)列€a｝滿足關(guān)系，a,=3a+2且a—1，求｝的通項(xiàng)公式.n n,1 n 1 n5.倒數(shù)法：數(shù)列€a｝有形如a1(a+k)=a的關(guān)系時(shí)，可先用倒數(shù)法，再用待定系數(shù)法求a1即：a<a,ka—a11k—1兩邊同時(shí)除以a1?a，可得：1+—=—1 aa1將—看成一個(gè)整體運(yùn)用待定系數(shù)法，從而得出a.annTOC\o"1-5"\h\z例5已知數(shù)列€a｝滿足關(guān)系，a1二一務(wù)且a=2(n?N*)，求€a｝的通項(xiàng)公式.n n,1a,3 1 nn課堂練習(xí)：1?已知等差數(shù)列€a｝中,a=28,S二51，求數(shù)列｝的通項(xiàng)公式.n 10 6 n2?已知數(shù)列€a｝滿足，a二1,a二a+2n+1，求數(shù)列€a｝的通項(xiàng)公式.n 1 n,1 n n3?已知數(shù)列€a｝滿足，a1二人匚二2n，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.n 1 a nn4?已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S滿足，S=!(a+1)2且a…0，求數(shù)列｝的通項(xiàng)公式.n n n4n n n5?已知數(shù)列｝滿足，a=1,a廣2a+1，求數(shù)列｝的通項(xiàng)公式.n 1 n,1 n n6?已知數(shù)列€a｝滿足,na1=1，a,1=二6?已知數(shù)列€a｝滿足,nn I2n三、數(shù)列前n項(xiàng)和的求法：1.裂項(xiàng)相消法：—般地，若是公差為d的等差數(shù)列,則有：a?a?a12?a3—般地，若是公差為d的等差數(shù)列,則有：a?a?a12?a3(n…1)d?a123 n-1a?a?aa?a?a特殊的裂項(xiàng)公式：特殊的裂項(xiàng)公式：1)an n(n+1)an n(n+1)nn+1'2)廣(2n-1)(2n+1)=2(2n-1anJn,\：'n+1=+1-\：n例例6已知數(shù)列匕｝是遞增的等比數(shù)列，且a,a=9,a?a=8.n 1 4 2 3⑴求數(shù)列€a｝的通項(xiàng)公式；n⑵設(shè)S為數(shù)列€a｝的前n項(xiàng)和，b=純1求數(shù)列€｝的前前n項(xiàng)和T.n n nSS n nnn,1例7已知數(shù)列€例7已知數(shù)列€｝滿足an1=1,a-an,1 n(neN*)，求數(shù)列｛■—｝的前10項(xiàng)和.Ct-2.錯(cuò)位相減法：—般地，若數(shù)列€a｝是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列€｝是公比為q的等比數(shù)列，若n nC=a?b，則數(shù)列€c｝的前n項(xiàng)和s:nnn n ns=ab+ab+ab+ab+…+ab…n11223344 nnqs=ab+ab+ab+ab+…+abn12233445 nn+1①—②得：4了b-b

?d， n?—(1-q)2(1—q)S=ab?4了b-b

?d， n?—(1-q)211 234 n nn?1若q豐1時(shí)，Sab—若q豐1時(shí)，S=—1~1 n~n+—1—q若q若q=1時(shí)，s了 (a+a)，n=b， —n———2例8已知數(shù)列例8已知數(shù)列€a｝滿足a=2,n12a=n?1—)2，ann⑴求數(shù)列€a｝的通項(xiàng)公式;n⑵令b=a—1a,求數(shù)列€｝的前n項(xiàng)和s.n n+12n n n課堂練習(xí)：1.已知等比數(shù)列｝中，a=2,a=16.n 1 4⑴求數(shù)列€a｝的通項(xiàng)公式；n1⑵令bn=loga?logan'"*，求數(shù)列€bn的前n項(xiàng)和S2n2n+12.已知等比數(shù)列a中，a?1,na?(n+1)a+n(n+1),n,N*.TOC\o"1-5"\h\zn 1 n+1 n⑴證明：求數(shù)列［牛I是等差數(shù)列；⑵設(shè)b?3n?藥，求數(shù)列€｝的前n項(xiàng)和S.n 、n n n四、等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例9已知數(shù)列｝滿足a?b?6,a?b?4,a