2023年江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)試卷及解析

第18頁〔共18頁〕2023年江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)試卷及解析一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕1．〔3分〕〔2023?無錫〕﹣5的倒數(shù)是〔〕A．B．±5C．5D．﹣【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，即可求出﹣5的倒數(shù)．【解答】解：∵﹣5×〔﹣〕=1，∴﹣5的倒數(shù)是﹣．應(yīng)選D．【點評】此題考查了倒數(shù)，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．〔3分〕〔2023?無錫〕函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是〔〕A．x≠2B．x≥2C．x≤2D．x＞2【分析】根據(jù)分式的意義的條件，分母不等于0，可以求出x的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：2﹣x≠0，解得：x≠2．故函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是x≠2．應(yīng)選A．【點評】此題考查了求函數(shù)自變量取值范圍，求函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：〔1〕當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；〔2〕當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；〔3〕當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．3．〔3分〕〔2023?無錫〕以下運(yùn)算正確的是〔〕A．〔a2〕3=a5B．〔ab〕2=ab2C．a(chǎn)6÷a3=a2D．a(chǎn)2?a3=a5【分析】利用冪的運(yùn)算性質(zhì)直接計算后即可確定正確的選項．【解答】解：A、〔a2〕3=a6，故錯誤，不符合題意；B、〔ab〕2=a2b2，故錯誤，不符合題意；C、a6÷a3=a3，故錯誤，不符合題意；D、a2?a3=a5，正確，符合題意，應(yīng)選D．【點評】此題考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解這些性質(zhì)并能正確的計算，難度不大．4．〔3分〕〔2023?無錫〕以下圖形中，是中心對稱圖形的是〔〕A．B．C．D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義逐個判斷即可．【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；D、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；應(yīng)選C．【點評】此題考查了對中心對稱圖形的定義，能熟知中心對稱圖形的定義是解此題的關(guān)鍵．5．〔3分〕〔2023?無錫〕假設(shè)a﹣b=2，b﹣c=﹣3，那么a﹣c等于〔〕A．1B．﹣1C．5D．﹣5【分析】根據(jù)題中等式確定出所求即可．【解答】解：∵a﹣b=2，b﹣c=﹣3，∴a﹣c=〔a﹣b〕+〔b﹣c〕=2﹣3=﹣1，應(yīng)選B【點評】此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法那么是解此題的關(guān)鍵．6．〔3分〕〔2023?無錫〕“表1〞為初三〔1〕班全部43名同學(xué)某次數(shù)學(xué)測驗成績的統(tǒng)計結(jié)果，那么以下說法正確的是〔〕成績〔分〕708090男生〔人〕5107女生〔人〕4134A．男生的平均成績大于女生的平均成績B．男生的平均成績小于女生的平均成績C．男生成績的中位數(shù)大于女生成績的中位數(shù)D．男生成績的中位數(shù)小于女生成績的中位數(shù)【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義分別求出男生與女生的平均成績，再根據(jù)中位數(shù)的定義分別求出男生與女生成績的中位數(shù)即可求解．【解答】解：∵男生的平均成績是：〔70×5+80×10+90×7〕÷22=1780÷22=80，女生的平均成績是：〔70×4+80×13+90×4〕÷21=1680÷21=80，∴男生的平均成績大于女生的平均成績．∵男生一共22人，位于中間的兩個數(shù)都是80，所以中位數(shù)是〔80+80〕÷2=80，女生一共21人，位于最中間的一個數(shù)是80，所以中位數(shù)是80，∴男生成績的中位數(shù)等于女生成績的中位數(shù)．應(yīng)選A．【點評】此題為統(tǒng)計題，考查平均數(shù)與中位數(shù)的意義，平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大〔或從大到小〕重新排列后，最中間的那個數(shù)〔最中間兩個數(shù)的平均數(shù)〕，叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會錯誤地將這組數(shù)據(jù)最中間的那個數(shù)當(dāng)作中位數(shù)．7．〔3分〕〔2023?無錫〕某商店今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從1月份到3月份，該店銷售額平均每月的增長率是〔〕A．20%B．25%C．50%D．62.5%【分析】設(shè)每月增長率為x，據(jù)題意可知：三月份銷售額為2〔1+x〕2萬元，依此等量關(guān)系列出方程，求解即可．【解答】解：設(shè)該店銷售額平均每月的增長率為x，那么二月份銷售額為2〔1+x〕萬元，三月份銷售額為2〔1+x〕2萬元，由題意可得：2〔1+x〕2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5〔不合題意舍去〕，答即該店銷售額平均每月的增長率為50%；應(yīng)選：C．【點評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵在于理解清楚題目的意思，根據(jù)條件找出等量關(guān)系，列出方程求解．此題需注意根據(jù)題意分別列出二、三月份銷售額的代數(shù)式．8．〔3分〕〔2023?無錫〕對于命題“假設(shè)a2＞b2，那么a＞b〞，下面四組關(guān)于a，b的值中，能說明這個命題是假命題的是〔〕A．a(chǎn)=3，b=2B．a(chǎn)=﹣3，b=2C．a(chǎn)=3，b=﹣1D．a(chǎn)=﹣1，b=3【分析】說明命題為假命題，即a、b的值滿足a2＞b2，但a＞b不成立，把四個選項中的a、b的值分別難度驗證即可．【解答】解：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，滿足“假設(shè)a2＞b2，那么a＞b〞，故A選項中a、b的值不能說明命題為假命題；在B中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此時雖然滿足a2＞b2，但a＞b不成立，故B選項中a、b的值可以說明命題為假命題；在C中，a2=9，b2=1，且3＞﹣1，滿足“假設(shè)a2＞b2，那么a＞b〞，故C選項中a、b的值不能說明命題為假命題；在D中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此時滿足a2＜b2，得出a＜b，即意味著命題“假設(shè)a2＞b2，那么a＞b〞成立，故D選項中a、b的值不能說明命題為假命題；應(yīng)選B．【點評】此題主要考查假命題的判斷，舉反例是說明假命題不成立的常用方法，但需要注意所舉反例需要滿足命題的題設(shè)，但結(jié)論不成立．9．〔3分〕〔2023?無錫〕如圖，菱形ABCD的邊AB=20，面積為320，∠BAD＜90°，⊙O與邊AB，AD都相切，AO=10，那么⊙O的半徑長等于〔〕A．5B．6C．2D．3【分析】如圖作DH⊥AB于H，連接BD，延長AO交BD于E．利用菱形的面積公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得=，延長即可解決問題．【解答】解：如圖作DH⊥AB于H，連接BD，延長AO交BD于E．∵菱形ABCD的邊AB=20，面積為320，∴AB?DH=32O，∴DH=16，在Rt△ADH中，AH==12，∴HB=AB﹣AH=8，在Rt△BDH中，BD==8，設(shè)⊙O與AB相切于F，連接AF．∵AD=AB，OA平分∠DAB，∴AE⊥BD，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF∽△DBH，∴=，∴=，∴OF=2．應(yīng)選C．【點評】此題考查切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．10．〔3分〕〔2023?無錫〕如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D是BC的中點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，那么線段CE的長等于〔〕A．2B．C．D．【分析】如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先證明AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC==5，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=，∵?BC?AH=?AB?AC，∴AH=，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形，∵?AD?BO=?BD?AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC===，應(yīng)選D．【點評】此題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求高，屬于中考?？碱}型．二、填空題〔本大題共8小題，每題2分，共16分〕11．〔2分〕〔2023?無錫〕計算×的值是6．【分析】根據(jù)?=〔a≥0，b≥0〕進(jìn)行計算即可得出答案．【解答】解：×===6；故答案為：6．【點評】此題考查了二次根式的乘除，掌握二次根式乘除的法那么是解題的關(guān)鍵，是一道根底題．12．〔2分〕〔2023?無錫〕分解因式：3a2﹣6a+3=3〔a﹣1〕2．【分析】首先提取公因式3，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式=3〔a2﹣2a+1〕=3〔a﹣1〕2．故答案為：3〔a﹣1〕2．【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．13．〔2分〕〔2023?無錫〕貴州FAST望遠(yuǎn)鏡是目前世界第一大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡，反射面總面積約250000m2，這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為2.5×105．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：將250000用科學(xué)記數(shù)法表示為：2.5×105．故答案為：2.5×105．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．14．〔2分〕〔2023?無錫〕如圖是我市某連續(xù)7天的最高氣溫與最低氣溫的變化圖，根據(jù)圖中信息可知，這7天中最大的日溫差是11℃．【分析】求出每天的最高氣溫與最低氣溫的差，再比擬大小即可．【解答】解：∵由折線統(tǒng)計圖可知，周一的日溫差=8℃+1℃=9℃；周二的日溫差=7℃+1℃=8℃；周三的日溫差=8℃+1℃=9℃；周四的日溫差=9℃；周五的日溫差=13℃﹣5℃=8℃；周六的日溫差=15℃﹣71℃=8℃；周日的日溫差=16℃﹣5℃=11℃，∴這7天中最大的日溫差是11℃．故答案為：11．【點評】此題考查的是有理數(shù)的大小比擬，熟知有理數(shù)比擬大小的法那么是解答此題的關(guān)鍵．15．〔2分〕〔2023?無錫〕假設(shè)反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點〔﹣1，﹣2〕，那么k的值為2．【分析】由一個點來求反比例函數(shù)解析式，只要把點的坐標(biāo)代入解析式就可求出比例系數(shù)．【解答】解：把點〔﹣1，﹣2〕代入解析式可得k=2．【點評】主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式．先設(shè)y=，再把點的坐標(biāo)代入可求出k值，即得到反比例函數(shù)的解析式．16．〔2分〕〔2023?無錫〕假設(shè)圓錐的底面半徑為3cm，母線長是5cm，那么它的側(cè)面展開圖的面積為15πcm2．【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2．【解答】解：底面半徑為3cm，那么底面周長=6πcm，側(cè)面面積=×6π×5=15πcm2．【點評】此題利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解．17．〔2分〕〔2023?無錫〕如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分別以邊AD，BC為直徑在矩形ABCD的內(nèi)部作半圓O1和半圓O2，一平行于AB的直線EF與這兩個半圓分別交于點E、點F，且EF=2〔EF與AB在圓心O1和O2的同側(cè)〕，那么由，EF，，AB所圍成圖形〔圖中陰影局部〕的面積等于3﹣﹣．【分析】連接O1O2，O1E，O2F，過E作EG⊥O1O2，過F⊥O1O2，得到四邊形EGHF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到GH=EF=2，求得O1G=，得到∠O1EG=30°，根據(jù)三角形、梯形、扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：連接O1O2，O1E，O2F，那么四邊形O1O2FE是等腰梯形，過E作EG⊥O1O2，過F⊥O1O2，∴四邊形EGHF是矩形，∴GH=EF=2，∴O1G=，∵O1E=1，∴GE=，∴=；∴∠O1EG=30°，∴∠AO1E=30°，同理∠BO2F=30°，∴陰影局部的面積=S﹣2S﹣S=3×1﹣2×﹣〔2+3〕×=3﹣﹣．故答案為：3﹣﹣．【點評】此題考查了扇形面積的計算，矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．〔2分〕〔2023?無錫〕在如圖的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格點處，AB與CD相交于O，那么tan∠BOD的值等于3．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)以及勾股定理，通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想可以求得tan∠BOD的值．，此題得以解決【解答】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右圖所示，那么∠BO′D′=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，設(shè)每個小正方形的邊長為a，那么O′B=，O′D′=，BD′=3a，作BE⊥O′D′于點E，那么BE=，∴O′E==，∴tanBO′E=，∴tan∠BOD=3，故答案為：3．【點評】此題考查解直角三角形，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，作出適宜的輔助線，利用勾股定理和等積法解答．三、解答題〔本大題共10小題，共84分〕19．〔8分〕〔2023?無錫〕計算：〔1〕|﹣6|+〔﹣2〕3+〔〕0；〔2〕〔a+b〕〔a﹣b〕﹣a〔a﹣b〕【分析】〔1〕根據(jù)零指數(shù)冪的意義以及絕對值的意義即可求出答案；〔2〕根據(jù)平方差公式以及單項式乘以多項式法那么即可求出答案．【解答】解：〔1〕原式=6﹣8+1=﹣1〔2〕原式=a2﹣b2﹣a2+ab=ab﹣b2【點評】此題考查學(xué)生的計算能力，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法那么，此題屬于根底題型．20．〔8分〕〔2023?無錫〕〔1〕解不等式組：〔2〕解方程：=．【分析】〔1〕分別解不等式，進(jìn)而得出不等式組的解集；〔2〕直接利用分式的性質(zhì)求出x的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：〔1〕解①得：x＞﹣1，解②得：x≤6，故不等式組的解集為：﹣1＜x≤6；〔2〕由題意可得：5〔x+2〕=3〔2x﹣1〕，解得：x=13，檢驗：當(dāng)x=13時，〔x+2〕≠0，2x﹣1≠0，故x=13是原方程的解．【點評】此題主要考查了解分式方程以及解不等式組，正確掌握根本解題方法是解題關(guān)鍵．21．〔8分〕〔2023?無錫〕，如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC邊的中點，連DE并延長交AB的延長線于點F，求證：AB=BF．【分析】根據(jù)線段中點的定義可得CE=BE，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DCB=∠FBE，然后利用“角邊角〞證明△CED和△BEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CD=BF，從而得證．【解答】證明：∵E是BC的中點，∴CE=BE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠DCB=∠FBE，在△CED和△BEF中，，∴△CED≌△BEF〔ASA〕，∴CD=BF，∴AB=BF．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．22．〔8分〕〔2023?無錫〕甲、乙、丙、丁四人玩撲克牌游戲，他們先取出兩張紅心和兩張黑桃共四張撲克牌，洗勻后反面朝上放在桌面上，每人抽取其中一張，拿到相同顏色的即為游戲伙伴，現(xiàn)甲、乙兩人各抽取了一張，求兩人恰好成為游戲伙伴的概率．〔請用“畫樹狀圖〞或“列表〞等方法寫出分析過程〕【分析】利用列舉法即可列舉出所有各種可能的情況，然后利用概率公式即可求解．【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：共有12中情況，從4張牌中任意摸出2張牌花色相同顏色4種可能，所以兩人恰好成為游戲伙伴的概率==．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．23．〔8分〕〔2023?無錫〕某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)網(wǎng)站為吸引更多人注冊參加，舉行了一個為期5天的推廣活動，在活動期間，參加該網(wǎng)站的人數(shù)變化情況如下表所示：時間第1天第2天第3天第4天第5天新參加人數(shù)〔人〕153550653b725累計總?cè)藬?shù)〔人〕33533903a51565881〔1〕表格中a=4556，b=600；〔2〕請把下面的條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；〔3〕根據(jù)以上信息，以下說法正確的是①〔只要填寫正確說法前的序號〕．①在活動之前，該網(wǎng)站已有3200人參加；②在活動期間，每天新參加人數(shù)逐天遞增；③在活動期間，該網(wǎng)站新參加的總?cè)藬?shù)為2528人．【分析】〔1〕觀察表格中的數(shù)據(jù)即可解決問題；〔2〕根據(jù)第4天的人數(shù)600，畫出條形圖即可；〔3〕根據(jù)題意一一判斷即可；【解答】解：〔1〕由題意a=3903+653=4556，b=5156﹣4556=600．故答案為4556，600．〔2〕統(tǒng)計圖如下圖，〔3〕①正確．3353﹣153=3200．故正確．②錯誤．第4天增加的人數(shù)600＜第3天653，故錯誤．③錯誤．增加的人數(shù)=153+550+653+600+725=2681，故錯誤．故答案為①【點評】此題考查條形統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是能讀懂表格以及條形圖的信息，屬于中考?？碱}型．24．〔6分〕〔2023?無錫〕如圖，等邊△ABC，請用直尺〔不帶刻度〕和圓規(guī)，按以下要求作圖〔不要求寫作法，但要保存作圖痕跡〕：〔1〕作△ABC的外心O；〔2〕設(shè)D是AB邊上一點，在圖中作出一個正六邊形DEFGHI，使點F，點H分別在邊BC和AC上．【分析】〔1〕根據(jù)垂直平分線的作法作出AB，AC的垂直平分線交于點O即為所求；〔2〕過D點作DI∥BC交AC于I，分別以D，I為圓心，DI長為半徑作圓弧交AB于E，交AC于H，過E點作EF∥AC交BC于F，過H點作HG∥AB交BC于G，六邊形DEFGHI即為所求正六邊形．【解答】解：〔1〕如下圖：點O即為所求．〔2〕如下圖：六邊形DEFGHI即為所求正六邊形．【點評】此題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉根本幾何圖形的性質(zhì)．25．〔10分〕〔2023?無錫〕操作：“如圖1，P是平面直角坐標(biāo)系中一點〔x軸上的點除外〕，過點P作PC⊥x軸于點C，點C繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點Q．〞我們將此由點P得到點Q的操作稱為點的T變換．〔1〕點P〔a，b〕經(jīng)過T變換后得到的點Q的坐標(biāo)為〔a+b，b〕；假設(shè)點M經(jīng)過T變換后得到點N〔6，﹣〕，那么點M的坐標(biāo)為〔9，﹣2〕．〔2〕A是函數(shù)y=x圖象上異于原點O的任意一點，經(jīng)過T變換后得到點B．①求經(jīng)過點O，點B的直線的函數(shù)表達(dá)式；②如圖2，直線AB交y軸于點D，求△OAB的面積與△OAD的面積之比．【分析】〔1〕連接CQ可知△PCQ為等邊三角形，過Q作QD⊥PC，利用等邊三角形的性質(zhì)可求得CD和QD的長，那么可求得Q點坐標(biāo)；設(shè)出M點的坐標(biāo)，利用P、Q坐標(biāo)之間的關(guān)系可得到點M的方程，可求得M點的坐標(biāo)；〔2〕①可取A〔2，〕，利用T變換可求得B點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)示可求得直線OB的函數(shù)表達(dá)式；②由待定系數(shù)示可求得直線AB的解析式，可求得D點坐標(biāo)，那么可求得AB、AD的長，可求得△OAB的面積與△OAD的面積之比．【解答】解：〔1〕如圖1，連接CQ，過Q作QD⊥PC于點D，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，∴△PCQ為等邊三角形，∵P〔a，b〕，∴OC=a，PC=b，∴CD=PC=b，DQ=PQ=b，∴Q〔a+b，b〕；設(shè)M〔x，y〕，那么N點坐標(biāo)為〔x+y，y〕，∵N〔6，﹣〕，∴，解得，∴M〔9，﹣2〕；故答案為：〔a+b，b〕；〔9，﹣2〕；〔2〕①∵A是函數(shù)y=x圖象上異于原點O的任意一點，∴可取A〔2，〕，∴2+×=，×=，∴B〔，〕，設(shè)直線OB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx，那么k=，解得k=，∴直線OB的函數(shù)表達(dá)式為y=x；②設(shè)直線AB解析式為y=k′x+b，把A、B坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線AB解析式為y=﹣x+，∴D〔0，〕，且A〔2，〕，B〔，〕，∴AB==，AD==，∴===．【點評】此題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、三角形的面積及方程思想等知識，理解題目中的T變換是解題的關(guān)鍵．此題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．26．〔10分〕〔2023?無錫〕某地新建的一個企業(yè)，每月將生產(chǎn)1960噸污水，為保護(hù)環(huán)境，該企業(yè)方案購置污水處理器，并在如下兩個型號種選擇：污水處理器型號A型B型處理污水能力〔噸/月〕240180商家售出的2臺A型、3臺B型污水處理器的總價為44萬元，售出的1臺A型、4臺B型污水處理器的總價為42萬元．〔1〕求每臺A型、B型污水處理器的價格；〔2〕為確保將每月產(chǎn)生的污水全部處理完，該企業(yè)決定購置上述的污水處理器，那么他們至少要支付多少錢？【分析】〔1〕可設(shè)每臺A型污水處理器的價格是x萬元，每臺B型污水處理器的價格是y萬元，根據(jù)等量關(guān)系：①2臺A型、3臺B型污水處理器的總價為44萬元，②1臺A型、4臺B型污水處理器的總價為42萬元，列出方程組求解即可；〔2〕由于求至少要支付的錢數(shù)，可知購置6臺A型污水處理器、3臺B型污水處理器，費用最少，進(jìn)而求解即可．【解答】解：〔1〕可設(shè)每臺A型污水處理器的價格是x萬元，每臺B型污水處理器的價格是y萬元，依題意有，解得．答：設(shè)每臺A型污水處理器的價格是10萬元，每臺B型污水處理器的價格是8萬元；〔2〕購置6臺A型污水處理器、3臺B型污水處理器，費用最少，10×6+8×3=60+24=84〔萬元〕．答：他們至少要支付84萬元錢．【點評】此題考查一元一次不等式及二元一次方程組的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式及所求量的等量關(guān)系．27．〔10分〕〔2023?無錫〕如圖，以原點O為圓心，3為半徑的圓與x軸分別交于A，B兩點〔點B在點A的右邊〕，P是半徑OB上一點，過P且垂直于AB的直線與⊙O分別交于C，D兩點〔點C在點D的上方〕，直線AC，DB交于點E．假設(shè)AC：CE=1：2．〔1〕求點P的坐標(biāo)；〔2〕求過點A和點E，且頂點在直線CD上的拋物線的函數(shù)表達(dá)式．【分析】〔1〕如圖，作EF⊥y軸于F，DC的延長線交EF于H．設(shè)H〔m，n〕，那么P〔m，0〕，PA=m+3，PB=3﹣m．首先證明△ACP∽△ECH，推出===，推出CH=2n，EH=2m=6，再證明△DPB∽△DHE，推出===，可得=，求出m即可解決問題；〔2〕由題意設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x+3〕〔x﹣5〕，求出E點坐標(biāo)代入即可解決問題；【解答】解：〔1〕如圖，作EF⊥y軸于F，DC的延長線交EF于H．設(shè)H〔m，n〕，那么P〔m，0〕，PA=m+3，PB=3﹣m．∵EH∥AP，∴△ACP∽△ECH，∴===，∴CH=2n，EH=2m=6，∵CD⊥AB，∴PC=PD=n，∵PB∥HE，∴△DPB∽△DHE，∴===，∴=，∴m=1，∴P〔1，0〕．〔2〕由〔1〕可知，PA=4，HE=8，EF=9，連接OP，在Rt△OCP中，PC==2，∴CH=2PC=4，PH=6，∴E〔9，6〕，∵拋物線的對稱軸為CD，∴〔﹣3，0〕和〔5，0〕在拋物線上，設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x+