2022年四川省遂寧市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)一自考模擬考試(含答案)

2022年四川省遂寧市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)一自考模擬考試(含答案)學(xué)校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設(shè)方程y''-2y'-3y=f(x)有特解y*，則它的通解為A.y=C1e-x+C2e3x+y*

B.y=C1e-x+C2e3x

C.y=C1xe-x+C2e3x+y*

D.y=C1ex+C2e-3x+y*

2.為了提高混凝土的抗拉強度，可在梁中配置鋼筋。若矩形截面梁的彎矩圖如圖所示，梁中鋼筋(圖中虛線所示)配置最為合理的是()。

A.

B.

C.

D.

3.微分方程y'=1的通解為A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

4.設(shè)函數(shù)f(x)=2sinx，則f'(x)等于()．A.A.2sinxB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx．

5.已知y=ksin2x的一個原函數(shù)為y=cos2x，則k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

6.設(shè)y=lnx，則y″等于()．

A.1/x

B.1/x2

C.-1/x

D.-1/x2

7.∫1+∞e-xdx=()

A.-eB.-e-1

C.e-1

D.e

8.

9.設(shè)f(x)為連續(xù)的奇函數(shù)，則等于()．A.A.2af(x)

B.

C.0

D.f(a)-f(-a)

10.A.A.

B.

C.

D.

11.若f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，下列等式中一定成立的是

A.d∫f(x)dx=f(x)dx

B.d∫f(x)dx=f(x)

C.d∫f(x)dx=f(x)+C

D.∫df(x)=f(x)

12.f(x)在[a，b]上可導(dǎo)是f(x)在[a，b]上可積的()。

A.充要條件B.充分條件C.必要條件D.無關(guān)條件

13.

A.必定存在且值為0B.必定存在且值可能為0C.必定存在且值一定不為0D.可能不存在

14.剛體上A、B、C、D四點組成一個平行四邊形，如在其四個頂點作用四個力，此四個邊恰好組成封閉的力多邊形。則()

A.力系平衡

B.力系有合力

C.力系的合力偶矩等于平行四邊形ABCD的面積

D.力系的合力偶矩等于負的平行四邊形ABCD的面積的2倍

15.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

16.（）。A.3B.2C.1D.0

17.

18.

19.如圖所示兩楔形塊A、B自重不計，二者接觸面光滑，受大小相等、方向相反且沿同一直線的兩個力的作用，則()。

A.A平衡，B不平衡B.A不平衡，B平衡C.A、B均不平衡D.A、B均平衡20.曲線y=x2+5x+4在點(-1，0)處切線的斜率為（）A.A.2B.-2C.3D.-3二、填空題(20題)21.過點(1，-1，0)且與直線平行的直線方程為______。

22.

23.

24.

25.

26.27.

28.設(shè)f(x)=sinx/2，則f'(0)=_________。

29.

30.設(shè)y=cosx，則y'=______

31.

32.33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.已知當x→0時，-1與x2是等價無窮小，則a=________。

40.

三、計算題(20題)41.

42.

43.44.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

45.

46.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．47.48.求曲線在點(1，3)處的切線方程．49.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．50.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

51.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

52.

53.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．54.證明：55.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．56.求微分方程的通解．

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．59.

60.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．四、解答題(10題)61.

62.求∫arctanxdx。

63.(本題滿分8分)設(shè)y＝x＋sinx，求y．64.

確定a，b使得f(x)在x=0可導(dǎo)。65.求由曲線xy=1及直線y=x，y=2所圍圖形的面積A。66.計算二重積分

，其中D是由直線

及y=1圍

成的平面區(qū)域．67.

68.

69.70.求由曲線y=2x-x2，y=x所圍成的平面圖形的面積S．并求此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx．五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.已知函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，則

=()。

A.一2f"(x0)

B.2f"(一x0)

C.2f"(x0)

D.不存在

六、解答題(0題)72.求曲線y=sinx、y=cosx、直線x=0在第一象限所圍圖形的面積A及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx。

參考答案

1.A考慮對應(yīng)的齊次方程y''-2y'-3y==0的通解.特征方程為r2-2r-3=0,所以r1=-1，r2=3，所以y''-2y'-3y==0的通解為，所以原方程的通解為y=C1e-x+C2e3x+y*.

2.D

3.D

4.B本題考查的知識點為導(dǎo)數(shù)的運算．

f(x)=2sinx，

f'(x)=2(sinx)'=2cosx，

可知應(yīng)選B．

5.D本題考查的知識點為可變限積分求導(dǎo)。由原函數(shù)的定義可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

6.D由于Y=lnx，可得知，因此選D．

7.C

8.D

9.C本題考查的知識點為定積分的對稱性．

由定積分的對稱性質(zhì)可知：若f(x)為[-a，a]上的連續(xù)的奇函數(shù)，則

可知應(yīng)選C．

10.D本題考查的知識點為級數(shù)的基本性質(zhì)．

11.A解析：若設(shè)F'(x)=f(x)，由不定積分定義知，∫f(x)dx=F(x)+C。從而

有：d∫f(x)dx=d∫F(x)+C]=F'(x)dx=f(x)dx，故A正確。D中應(yīng)為∫df(x)=f(x)+C。

12.B∵可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)一定可積；反之不一定?！嗫蓪?dǎo)是可積的充分條件

13.B

14.D

15.B本題考查了一階線性齊次方程的知識點。

因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此為常系數(shù)一階線性齊次方程,其特征根為r=2,所以其通解為y=Ce2x,又當x=0時，f(0)=ln2,所以C=In2,故f(x)=e2xln2.

注:方程y'=2y求解時也可用變量分離.

16.A

17.A

18.C

19.C

20.C點(-1，0)在曲線y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線y=x2+5x+4在點(-1,0)處切線的斜率為3，所以選C．21.本題考查的知識點為直線的方程和直線與直線的關(guān)系。由于兩條直線平行的充分必要條件為它們的方向向量平行，因此可取所求直線的方向向量為(2，1，-1)．由直線的點向式方程可知所求直線方程為

22.

23.1/2

24.

25.26.1本題考查的知識點為定積分的換元積分法．

27.5．

本題考查的知識點為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．

解法1

解法2

28.1/2

29.

本題考查的知識點為隱函數(shù)的求導(dǎo)．

30.-sinx

31.y=f(0)

32.33.(2x+cosx)dx．

本題考查的知識點為微分運算．

34.

解析：

35.11解析：

36.

37.

解析：

38.

39.當x→0時，-1與x2等價，應(yīng)滿足所以當a=2時是等價的。

40.e1/2e1/2

解析：

41.

42.

43.

44.

45.

則

46.

47.48.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

49.

列表：

說明

50.由等價無窮小量的定義可知

51.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

52.

53.由二重積分物理意義知

54.

55.

56.

57.解：原方程對應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

58.函數(shù)的定義域為

注意

59.由一階線性微分方程通解公式有

60.

61.

62.63.由導(dǎo)數(shù)的四則運算法則可知

64.

①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導(dǎo)一定連續(xù)∴a+b=1②

∵可導(dǎo)f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導(dǎo)一定連續(xù)∴a+b=1②∵可導(dǎo)f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導(dǎo)一定連續(xù)∴a+b=1②∵可導(dǎo)f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5

65.66.所給積分區(qū)域D如圖5-6所示，如果選擇先對y積分后對x積分的二次積分，需要

將積分區(qū)域劃分為幾個子區(qū)域，如果選擇先對x積分后對y積分的二次積分，區(qū)域D可以表示為

0≤y≤1，Y≤x≤y+1，

因此

【評析】

上述分析通常又是選擇積分次序問題的常見