線性代數(shù)lec四川大學線性代數(shù)課件超經(jīng)典看了考+

線性代數(shù)羅應婷lyt83@163.com《線性代數(shù)》簡介線性代數(shù)是研究有限維空間中線性關(guān)系的理論和方法的數(shù)學。線性代數(shù)是代數(shù)的一個分支，由于費馬和笛卡兒的工作而起源于十七世紀。

歷史上線性代數(shù)的第一個問題是關(guān)于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣論(英國數(shù)學家凱萊A.Cayley,1821-1895)和行列式理論(瑞士數(shù)學家克萊姆、法國數(shù)學家范德蒙及柯西等人)的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教材的主要部分。用途與特點：

為后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學基礎(chǔ)在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)如國防技術(shù)中有著廣泛的應用該課程的特點是：公式多、式子大、符號繁，但規(guī)律性強。課程內(nèi)容比較抽象，需要學生具備一定的抽象思維能力，邏輯推理能力，分析問題能力和動手解決實際問題的能力．學習與要求：學習與要求：課后習題習題冊《大學數(shù)學習題冊》的線性代數(shù)部分

作業(yè)

考察方式：期末考試閉卷---60～70%;

平時作業(yè)、出勤、小測試---30～40%;

加分項：課堂參與程度

輔導用書:１、

高等代數(shù)（第三版），北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)小組編．高等教育出版社．

２、《線性代數(shù)輔導及習題精解》人大第三版羅劍、滕加俊編著．陜西師范大學出版社３、《線性代數(shù)習題集》胡顯佑、彭勇行主編南開大學出版社４、

經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)（第二分冊線性代數(shù)），龔德恩主編．四川人民出版社．

n階行列式的定義、性質(zhì)和計算方法

n階行列式求解n元線性方程組的克萊姆法則第一章行列式§11二階、三階行列式(一)二階行列式(二)三階行列式二元線性方程組②①將－①×②×得同理可得當時，方程組有唯一解：＋－稱為二階行列式，橫排的稱為行，表示一代數(shù)和左上角到右下角稱為主對角線，右上角到左下角稱為豎排的稱為列．副對角線．對角線法則：二階行列式等于主對角線元素的乘積減去副對角線元素的乘積．(一)二階行列式二階行列式對角線法則

(1)當0或3時D0

(2)當0且3時D0

(二)三階行列式

三階行列式

a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31稱為三階行列式即

a11a22a33a12a23a31a13a21a32

a11a23a32a12a21a33a13a22a31

(二)三階行列式

三階行列式

a11a22a33a12a23a31a13a21a32

a11a23a32a12a21a33a13a22a31

對角線法則a11a23a32a12a21a33a13a22a31a11a22a33a12a23a31a13a21a32

a11a22a33a12a23a31a13a21a32

a11a23a32a12a21a33a13a22a31

10610485830(1)24615034025(1)

a11a22a33a12a23a31a13a21a32

a11a23a32a12a21a33a13a22a31

a

b為實數(shù)若要a2b20

則a與b須同時等于零因此當a0且b0時給定的行列式等于零

a11a22a33a12a23a31a13a21a32

a11a23a32a12a21a33a13a22a31

當且僅當a210

即|a|1時

D0

因此可得D0的充分必要條件是|a|1

當時，方程組(*)有唯一解：＋＋＋－－－練習：計算下列行列式解§12n階行列式(一)排列與逆序(二)n階行列式的定義n元線性方程組（方程個數(shù)＝未知量個數(shù)）⑵(1)(2)當時，方程組⑵是否有唯一解？(3)解是否當時，若方程組⑵有唯一解，可以表示成怎樣算？(一)排列與逆序可以排成多少個排列

三個數(shù)每一個三位數(shù)三級排列。一般地，個元素有序數(shù)組稱為一個如是是××一般地，n級排列不重復的三位數(shù)?都稱為一個將（數(shù)碼）排成一個n級排列．５級排列，６級排列，共有個(一)排列與逆序(一)排列與逆序n級排列由n個不同數(shù)碼12

n組成的有序數(shù)組i1

i2

in

稱為一個n級排列

舉例定義11(逆序數(shù))在一個n級排列i1

i2

in中如果有較大的數(shù)it排在較小的數(shù)is前面(isit)

則稱it與is構(gòu)成一個逆序一個n級排列中逆序的總數(shù)稱為它的逆序數(shù)記為N(i1

i2

in)1234和3421都是4級排列

25413是一個5級排列

(一)排列與逆序n級排列由n個不同數(shù)碼12

n組成的有序數(shù)組i1

i2

in

稱為一個n級排列

舉例定義11(逆序數(shù))在一個n級排列i1

i2

in中如果有較大的數(shù)it排在較小的數(shù)is前面(isit)

則稱it與is構(gòu)成一個逆序一個n級排列中逆序的總數(shù)稱為它的逆序數(shù)記為N(i1

i2

in)1234和3421都是4級排列

25413是一個5級排列

N(1234)0

N(3421)5N(25413)6

計算排列逆序數(shù)的方法:對于排列,其逆序數(shù)為每個元素的逆序數(shù)之和.中元素，如果比大且排在前面的元素有個，就說的逆序數(shù)為,全體元素的逆序數(shù)之和為

即對于排列即(一)排列與逆序舉例N(1234)0

N(3421)5N(25413)6

奇排列與偶排列逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列

1234和25413為偶排列

3421為奇排列

由123這三個數(shù)碼組成的3級排列共有3!6種其排列情況如下

(一)排列與逆序奇排列與偶排列逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列

由123這三個數(shù)碼組成的3級排列共有3!6種其排列情況如下

(一)排列與逆序?qū)Q在一個排列i1

is

it

in中如果僅將它的兩個數(shù)碼is與it對調(diào)其他數(shù)碼不變得到另一個排列i1

it

is

in

這樣的變換稱為一個對換記為對換(is

it)

舉例對排列21354施以對換(14)后得到排列24351

N(21354)2

而N(24351)5

可見對換后奇偶性改變

定理11

任意一個排列經(jīng)過一個對換后奇偶性改變

定理12

n個數(shù)碼(n1)共有n!個n級排列其中奇偶排列各占一半

練習：(二)n階行列式的定義觀察與思考在二階行列式和三階行列式中

(1)它們的項數(shù)與階數(shù)有什么關(guān)系?(2)各項的一般形式怎樣?(3)各項的符號與下標有怎樣的關(guān)系?(二)n階行列式的定義觀察與思考定義12(n階行列式)一階行列式|a|就是a

n階行列式有時簡記為|

aij

|

用n2個元素aij

(i

j12

n)組成的記號稱為n階行列式它表示代數(shù)和其中和式中的排列j1

j2

jn要取遍所有n級排列定義12(n階行列式)

n階行列式的代數(shù)和中共有n!項每一項都是取自不同的行、不同的列的n個元素乘積

且冠以正號的項和冠以負號的項各占一半

用n2個元素aij

(i

j12

n)組成的記號稱為n階行列式它表示代數(shù)和其中和式中的排列j1

j2

jn要取遍所有n級排列舉例說明

a11a22a33a44行標排列為1234

元素取自不同的行列標排列為1234

元素取自不同的列且逆序數(shù)N(1234)0

即元素乘積a11a22a33a44前面應冠以正號所以a11a22a33a44為D的一項

舉例說明

a14a23a31a42行標排列為1234

元素取自不同的行列標排列為4312

元素取自不同的列且N(4312)5即4312為奇排列所以元素乘積a14a23a31a42前面應冠以負號即

a14a23a31a42為D的一項

a11a24a33a44有兩個元素取自第四列所以它不是D的一項

練習×√×解√

解

要使取自不同行不同列的n個元素的乘積不為零

第n行只能取ann第三行只能取a33第二行只能取a22

第一行只能取a11

這樣的乘積項只有一個即a11a22a33ann

因此D(1)N(123

n)a11a22a33anna11a22a33ann

(下三角形