固體物理PPT 張玲

固體物理學——晶格熱容的量子理論一·固體熱容

1·固體的定容熱容2·杜?。晏娑?·量子熱容理論4·晶格總熱容二·愛因斯坦模型三·德拜理論固體中討論的晶格熱容一般指定容熱容CV

是固體的平均內能2、來源于電子的熱運動,稱之為電子熱容。固體熱容主要有兩部分貢獻：1、來源于晶格熱振動,稱為晶格熱容;一·固體熱容但是除非是在很低的溫度下，否則電子熱運動的貢獻往往是很小的。1、固體的定容熱容（1）2、杜?。晏娑筛鶕?jù)經(jīng)典統(tǒng)計理論的能量均分定理，每一個簡諧振動的平均能量是，是玻爾茲曼常數(shù)。若固體中有N個原子，則有3N個簡諧振動模，則總的平均能量，熱容

，即熱容是一個與溫度和材料性質無關的常數(shù)，這就是杜?。晏娑?。高溫時，此定律與試驗符合的很好，但在低溫時，熱容量不再保持為常數(shù)，而是隨溫度下降很快趨向于零。P123圖3-20低溫下晶格比熱下降3、量子熱容理論根據(jù)量子理論，各個簡諧振動的能量本征值是量子化的，為

=整數(shù)（2）把晶體看成一個熱力學系統(tǒng)，在簡諧近似下各簡正坐標所代表的振動是相互獨立的，因而可以認為這些振子構成獨立的子系，直接寫出它們的統(tǒng)計平均能量。令，上式可以寫成這是一個幾何級數(shù)，簡單求和，如下（3）(4)代入（4）式得（5）為常數(shù)，一般稱為零點能代表平均熱能（6）(6)對求微商就得到晶格熱容：（7）此式與經(jīng)典理論值相比較，首先的區(qū)別在于量子理論值與振動頻率有關對于高溫極限情況，，即，把（7）式中指數(shù)按的級數(shù)展開，得到（8）此結果與經(jīng)典值一致，在量子理論基礎上說明了在較高溫度時杜?。晏娑沙闪⒌脑?。因為當振子的能量遠遠大于能量的量子時，量子化的效應就可以忽略。對于的低溫極限情況，可以忽略（7）式中的1，得到（9）這時由于為很大的負值，振子對熱容的貢獻將十分小。由此可以看出，根據(jù)量子理論，當時，晶體熱容將趨于零。從物理上來看，由于振動能級是量子化的，在時，振動被“凍結”在基態(tài)，很難被熱激發(fā)，因而對熱容的貢獻趨向于零。這是頻率為的振子對熱容量的貢獻4、晶格總熱容晶體中包含有3N個簡諧振動，總能量（10）總熱容（11）此結果表明，只要知道晶格的各簡正振動的頻率，就可以直接寫出晶格的熱容。對于具體晶體，計算出3N個簡正頻率往往是十分復雜的，在一般討論時，常采用簡化的愛因斯坦模型及德拜模型。二·愛因斯坦模型愛因斯坦模型對晶格振動采用了很簡單的假設，假設晶格中各原子的振動可以看做是相互獨立的，所有原子都具有同一頻率。這樣，考慮到每個原子可以沿三個方向振動，共有3N個頻率為的振動，又（11）式直接得到（12）用此式和一個晶體的熱容實驗比較時，可以適當選定使理論值與實驗值盡可能符合此圖表示理論值和實驗值得比較，和經(jīng)典理論相比愛因斯坦理論的改進是十分顯著的，理論能夠反映出在低溫時下降的基本趨勢，但是在低溫范圍，愛因斯坦理論值下降很陡，與實驗不相符愛因斯坦理論把固體中各原子的振動看做是相互獨立的，因而3N個振動頻率是相同的，這顯然是一個過于簡單的假設。固體中原子之間存在這很強的相互作用，一個原子不可能孤立的振動而不帶動鄰近原子。德拜對晶格采取了一個很簡單的近似模型，得到了近似的頻率分布函數(shù)三·德拜理論德拜具體分析的是各向同性的彈性介質。在這種情況下，對于一定的波數(shù)矢量q，有一個縱波(13)和兩個獨立的橫波（14）（13）和（14）式表明，縱波和橫波具有不同的波速。在中各種不同波矢q的縱波和橫波，構成了晶格的全部振動模。由于邊界條件，波矢q并不是任意的，根據(jù)周期性邊界條件，允許的q值在q空間形成均勻分布的點子，在體積元中數(shù)目為（15）是均勻分布q值的“密度”

表示所考慮的晶體的體積q雖不能取任意值，但由于V是一個宏觀的體積，允許的q值在q空間是十分密集的，可以看做是準連續(xù)的。對于這樣的準連續(xù)的振動，可以一般地把包含在到內的振動模得數(shù)目寫成：（16）往往稱為振動的頻率分布函數(shù)或稱為振動模的態(tài)密度函數(shù)，它具體概括了一個晶體中振動模頻率的分布情況，由于振動模的熱容只決定于它的頻率根據(jù)頻率分布函數(shù)可以直接寫出晶體的熱容（17）由（13）、（14）、（15）式可以求出德拜模型頻率分布函數(shù)。先考慮縱波，在到內的縱波，波數(shù)為在q空間占據(jù)著半徑為q，厚度為dq的球殼。從球殼體積，和q的分布函數(shù)，得到縱波的數(shù)目為類似的，可以寫出橫波的數(shù)目為其中一個考慮了同一個q有兩個獨立的橫波。加起來就得到總的頻率分布（18）其中（19）根據(jù)彈性理論，可取從0到的任意值，他們對應于從無限長的波到任意短的波，對（18）式積分顯然將發(fā)散，換句話說，振動模的數(shù)目是無線的。從抽象的連續(xù)模型介質看，得到這樣的結果是理所當然的，因為理想的連續(xù)介質包含無限的自由度。然而，實際晶體是偶原子組成的，如果晶體包含N個原子，自由度只有3N個，這就是德拜模型的局限性。對于波長遠遠大于微觀尺度（如原子間距，原子相互作用的力程）時，德拜的宏觀處理方法因當時是適用的，然而，當波長已短到和微觀尺度可比，以至更短時，宏觀模型必然會導致很大的誤差以致完全錯誤。德拜假設大于某一的短波實際上是不存在的，而對以下的振動都可以應用彈性波的近似，則根據(jù)自由度確定如下(20)或（21）這樣把德拜頻率分布函數(shù)（18）式代入熱容公式（17）式得到（22）把系數(shù)用表示，則（23）其中是氣體常數(shù)，德拜熱容中只含有一個參數(shù)，而且，如果以（24）作為單位來計量溫度，德拜熱容就為一個普適的函數(shù)（25）稱為德拜溫度所以按照德拜理論，一種晶體，它的熱容量特征完全由他的德拜溫度確定。可以根據(jù)實驗的熱容量值來確定，使理論的和實驗值盡可能符合的好。Debye理論與實驗比較此圖表示出的圖線形狀以及與某些晶體實驗熱容量值的比較德拜在具體的使用過程中還是有一定的局限性的金屬銦的Debye溫度隨T的變化按照德拜理論，一種晶體的特征完全由它的德拜溫度確定。故可以由

（實驗）得到ΘD，使

（理論）與實驗值符合更好。德拜理論得到不同溫度下的ΘD是不同的（實際上ΘD應該是恒定值）。由=（實驗）的關系，可以獲得ΘD~T的關系。所以只有在低溫極限情況下，德拜的宏觀近似才成立。（26）在低溫極限，德拜熱容公式可寫成表明與成比例，常稱為德拜定律，但是實際上定律一般只適用于大約的范圍德拜溫度可以粗濾的