大學(xué)物理下熱學(xué) 02

§8.4能量均分定理理想氣體的內(nèi)能實(shí)際氣體分子具有一定的大小和比較復(fù)雜的結(jié)構(gòu),不能看作質(zhì)點(diǎn)。因此，分子的運(yùn)動(dòng)不僅有平動(dòng),還有轉(zhuǎn)動(dòng),以及分子內(nèi)原子間的振動(dòng)。分子熱運(yùn)動(dòng)的能量應(yīng)把這些運(yùn)動(dòng)的能量都包含在內(nèi)。為了說明分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的能量所遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,并在此基礎(chǔ)上計(jì)算理想氣體的內(nèi)能,下面將介紹力學(xué)中自由度的概念。一、自由度i:決定一個(gè)物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)。1.自由質(zhì)點(diǎn)的自由度：i=3（x、y、z）；2.自由剛體自由度：i=6（x、y、z、α、β、φ）。oYXZP(x,y,z)γβαφ自由運(yùn)動(dòng)剛體位置的確定共需要六個(gè)自由度?。。〈_定剛體上某一點(diǎn)位置:確定剛體轉(zhuǎn)軸的方位:確定剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度,需要一個(gè)自由度(φ);需要二個(gè)自由度(α,β);需要三個(gè)自由度(x,y,z);自由度數(shù)目3.氣體分子模型自由度①單原子分子模型:質(zhì)心需要三個(gè)平動(dòng)自由度;兩原子連線方位需要二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,一共五個(gè)自由度;②剛性雙原子分子模型:③彈性雙原子分子模型:質(zhì)心需要三個(gè)平動(dòng)自由度;兩原子連線方位需要二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,一個(gè)沿連線方位的振動(dòng)自由度。如氦原子如氧氣分子i=t+r=3+2=5三個(gè)平動(dòng)自由度i=t=3;i=t+r+s=3+2+1=6④剛性三原子以上分子模型:i=t+r=3+3=6OHHH2OHeO2這說明平動(dòng)自由度對能量而言是等價(jià)的。還可進(jìn)一步證明：在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子每一個(gè)自由度的平均動(dòng)能都相等，而且等于kT/2。這就是能量均分定理。在經(jīng)典物理學(xué)中這一結(jié)論同樣適用于液體和固體分子熱運(yùn)動(dòng)。二、能量均分定理三、理想氣體的內(nèi)能一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)所有分子的動(dòng)能（質(zhì)心系）和分子間相互作用勢能的總和稱為系統(tǒng)的內(nèi)能。對理想氣體而言，其分子間無相互作用，其內(nèi)能就是其所有分子動(dòng)能之和。設(shè)N為理想氣體分子總數(shù)，則其內(nèi)能為：

單元子分子（i=3）：雙原子分子（i=5）：多原子分子（i=6）：幾種分子結(jié)構(gòu)的平均總動(dòng)能：說明：（1）內(nèi)能完全決定于分子的自由度和氣體的熱力學(xué)溫度。（2）“不計(jì)分子間的相互作用力”是上述結(jié)論成立的條件。（3）理想氣體再不同的狀態(tài)變化過程中，只要溫度變化量相等，則它們的內(nèi)能變化也相等，即：內(nèi)能與過程無關(guān)⑸1摩爾氣體的內(nèi)能()。⑴分子的平均平動(dòng)動(dòng)能();⑵分子的平均總動(dòng)能();⑶分子的平均總能量();⑷1摩爾氣體分子的總轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能();2.寫出下列各量的表達(dá)式：某種剛性雙原子分子的理想氣體處于溫度為T的平衡態(tài)下:1.三個(gè)容器內(nèi)分別儲(chǔ)有1mol氦氣(He),1mol氫氣(H2),1mol氨氣(NH3)(三種氣體均視為剛性分子的理想氣體),若它們的溫度都升高1K,則三種氣體內(nèi)能的增加分別是多少？思考題：(答案:12.5J,20.8J,24.9J)

(答案:1:8;1:1;5:24)（答案:不變,變)（答案:3/5倍)3.有一個(gè)處于恒溫條件下的容器,其內(nèi)貯有1mol某種理想氣體,若容器發(fā)生緩慢漏氣,試問容器內(nèi)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是否改變?氣體的內(nèi)能是否改變?4.兩個(gè)容器中分別貯有理想氣體氦和氧，已知氦氣的壓強(qiáng)是氧氣的1/2,氦氣的容積是氧氣的2倍。試問氦氣的內(nèi)能是氧氣內(nèi)能的多少倍?5.質(zhì)量相等的的理想氣體氧和氦,分別裝在兩個(gè)容積相等的容器內(nèi),在溫度相同的情況下,氧和氦的壓強(qiáng)之比為

;氧分子和氦分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之比為

;氧和氦內(nèi)能之比為_________.練習(xí)1、一容器被中間的隔板分成相等的兩半,一半裝有氦氣,溫度為250K;另一半裝有氧氣,溫度為310K，二者壓強(qiáng)相等。求：去掉隔板兩種氣體混合后的溫度?；旌锨?對于氦:由于壓強(qiáng)相同:混合前,對于氧:解：混合前的總內(nèi)能:混合后的總內(nèi)能:由于混合前后的總內(nèi)能不變:T=284K練習(xí)2:一個(gè)大熱氣球的容積為2.1×104m3,氣球本身和負(fù)載質(zhì)量共4.5×103Kg,若外部空氣溫度為20°C,要想使氣球上升,其內(nèi)部空氣最低要加熱到多少度?標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣的密度:由于熱氣球內(nèi)外空氣壓強(qiáng)相同(均取一個(gè)大氣壓):設(shè)熱氣球外空氣的密度:溫度:設(shè)熱氣球內(nèi)空氣的密度:溫度:溫度:T1T2ρ1ρ2由熱氣球所受浮力與負(fù)載重量平衡可得:T1T2ρ1ρ2§8.5氣體分子的速率分布率處于平衡態(tài)下的氣體，并非所有分子都以方均根速率運(yùn)動(dòng)，方均根速率只是分子速率的一種統(tǒng)計(jì)平均值，實(shí)際上個(gè)別分子的速度大小和方向是毫無規(guī)則的或是偶然的，因而分子熱運(yùn)動(dòng)速率是由0～∞的連續(xù)隨機(jī)變量。但就大量分子整體來看，在平衡態(tài)下，它們的速率分布遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律?！百栴D板”統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)驗(yàn)圖:一、測定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)裝置金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵

1921年畢業(yè)于南京高等師范工科，1929年自費(fèi)赴美留學(xué)，在南加洲大學(xué)攻讀物理，1930年獲碩士學(xué)位后，入舊金山柏克萊加洲大學(xué)研究院攻讀博士學(xué)位，研究課題是“用分子束方法證明麥克斯韋－－波爾茲曼分子速率分布定律實(shí)驗(yàn)”，1933年完成重要學(xué)術(shù)論文《用分子束方法證明麥克斯韋－－波爾茲曼分子速率分布定律，并測定雙原子的鉍分子的分解熱》獲物理學(xué)博士及美國物理學(xué)會(huì)和數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)金鑰匙各一枚。

1933年回國，先后在武漢大學(xué)解放軍第二軍醫(yī)大學(xué)任教，積極從事教學(xué)、科研工作指導(dǎo)制成國內(nèi)第一架腦電波直流放大器，裝配成50萬倍的場效應(yīng)發(fā)射電子顯微鏡并與一機(jī)部、上海照相器材廠等合作研制靜電復(fù)印機(jī)。1984年加入中國共產(chǎn)黨。1988年3月因病逝世。分子速率分布圖：分子總數(shù)為速率在區(qū)間的分子數(shù).表示速率在區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比.二、分布函數(shù)表示速率在區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.歸一化條件

表示在溫度為T的平衡狀態(tài)下，速率在v附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比.物理意義:速率位于內(nèi)分子數(shù)速率位于區(qū)間的分子數(shù):速率位于區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比麥?zhǔn)戏植己瘮?shù):三、麥克斯韋氣體速率分布定律

反映理想氣體在熱動(dòng)平衡條件下，各速率區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律.四、三種統(tǒng)計(jì)速率1）最概然速率根據(jù)分布函數(shù)求得:氣體在一定溫度下分布在最概然速率附近單位速率間隔內(nèi)的相對分子數(shù)最多.物理意義2）平均速率3）方均根速率

同一溫度下不同氣體的速率分布

N2分子在不同溫度下的速率分布1.氣體處于平衡態(tài)時(shí),分子速率分布曲線如圖(1)所示,圖中A、B兩部分的面積之比為1:2,則它們的物理意義是什么?3.某氣體分子在溫度T1時(shí)的方均根速率等于溫度為T2時(shí)的平均速率,則該二溫度之比為T2/T1=?2.在圖(2)中,兩條曲線分別表示相同溫度下,氫氣和氧氣分子的速率分布曲線,則a表示什么氣體分子的速率分布曲線;b表示什么氣體分子的速率分布曲線,又氧氣分子和氫氣分子的最概然速率之比為vpO2:vpH2=?圖(2)f（v）voabf（v）vo圖(1)ABvp思考題：(答案:3π:8)(答案:氧;氫;1:4)練習(xí)1、N個(gè)假象的氣體分子，其速率分布如圖所示（當(dāng)v>2v0時(shí)，粒子數(shù)為零）。（1）由N和v0

求a=?（2）求：速率在1.5v0到2.0v0之間的分子數(shù)。（3）求：分子的平均速率。Nf(v)v02v0a0v解：利用歸一條件：練習(xí)2:有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為（1）作速率分布曲線（2）由vo求常數(shù)C（3）求粒子的平均速率f（v）vovo（1）速率分布曲線（2）由歸一化條件（3）粒子的平均速率解：§8.6氣體分子的平均自由程與平均碰撞次數(shù)每兩次連續(xù)碰撞之間一個(gè)分子自由運(yùn)動(dòng)的平均路程。一、平均自由程λ：單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)分子和其它分子碰撞的平均次數(shù)。二、平均碰撞頻率Z：設(shè)分子的平均速率為vddd圍繞分子的中心,以d為半徑畫出的球叫做分子的作用球。(1)假定每個(gè)分子都是直徑為d的剛性小球;(2)假定一個(gè)A分子以相對速率u

運(yùn)動(dòng),其它分子都靜止不動(dòng);當(dāng)A分子與其它分子作一次彈性碰撞時(shí),兩個(gè)分子的中心相隔距離就是d。圍繞分子的中心,以d為半徑畫出的截面叫做分子的碰撞截面。以A分子中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為軸線,以d

為半徑做一曲折的圓柱體dd2dAud2dAu在Δt時(shí)間內(nèi),分子A走過的路程為:Δt時(shí)間內(nèi),以A分子中心