音叉受迫振動與共振實驗

音叉的受迫振動與共振實驗、預(yù)備問題1、 實驗中策動力的頻率為200Hz時，音叉臂的振動頻率為多少？2、 實驗中在音叉臂上加砝碼時，為什么每次加砝碼的位置要固定？二、實驗原理1、音叉的電磁激振與拾振將一組電磁線圈置于鋼質(zhì)音叉臂的上下方兩側(cè)，并靠近音叉臂。對驅(qū)動線圈施加交變電流，產(chǎn)生交變磁場，使音叉臂磁化，產(chǎn)生交變的驅(qū)動力。接收線圈靠近被磁化的音叉臂放置，可感應(yīng)出音叉臂的振動信號。由于感應(yīng)電流I*dB/dt,dB/dt代表交變磁場變化的快慢,其值大小取決于音叉振動的速度,速度越快,磁場變化越快,產(chǎn)生的電流越大,從而使測得的電壓值越大。所以,接收線圈測量電壓值獲得的曲線為音叉受迫振動的速度共振曲線相應(yīng)的輸出電壓代表了音叉的速度共振幅值。1、簡諧振動與阻尼振動物體的振動速度不大時，它所受的阻力大小通常與速率成正比，若以F表示阻力大小，可將阻力寫成下列代數(shù)式：dxF二一丫卩=—丫 （1）dt式中Y是與阻力相關(guān)的比例系數(shù)，其值決定于運動物體的形狀、大小和周圍介質(zhì)等的性質(zhì)。物體的上述振動在有阻尼的情況下，振子的動力學(xué)方程為：d2xdxm=———dt2dt其中m為振子的等效質(zhì)量，k為與振子屬性有關(guān)的勁度系數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"k y令①2= ,2§=，代入上式可得：0m m竺+25竺+e2x=0dt2 dt0式中?0是對應(yīng)于無阻尼時的系統(tǒng)振動的固有角頻率，5為阻尼系數(shù)。當阻尼較小時，式（2）的解為：x二Aecos（①t+9） （3）00式中①二?2-62。勺0由公式（3）可知，如果6=0,則認為是無阻尼的運動，這時x二A0cos（①t+9o），成為簡諧運動。在6工0,即在有阻尼的振動情況下，此運動是一種衰減運動。從公式①=-62可知，相鄰兩個振幅最大值之間的時間間隔為：T=2乞一廠2冗 ⑷?J?2-62''02兀與無阻尼的周期T二 相比，周期變大。?02、受迫振動實際的振動都是阻尼振動，一切阻尼振動最后都要停止下來．要使振動能持續(xù)下去，必需對振子施加持續(xù)的周期性外力，使其因阻尼而損失的能量得到不斷的補充．振子在周期性外力作用下發(fā)生的振動叫受迫振動，而周期性的外力又稱驅(qū)動力．實際發(fā)生的許多振動都屬于受迫振動．例如聲波的周期性壓力使耳膜產(chǎn)生的受迫振動，電磁波的周期性電磁場力使天線上電荷產(chǎn)生的受迫振動等。為簡單起見，假設(shè)驅(qū)動力有如下的形式：F=Fcos?t0式中F為驅(qū)動力的幅值，?為驅(qū)動力的角頻率。0振子處在驅(qū)動力、阻力和線性回復(fù)力三者的作用下，其動力學(xué)方程成為TOC\o"1-5"\h\zd2x dx(5)(6)m =一丫 一kx+Fcos?(5)(6)\o"CurrentDocument"dt2 dt 0k y仍令①2二，26二，得到：0m md2x+26dt2\o"CurrentDocument"dx Fd2x+26dt2+?2x=—ocos?t

dt0m微分方程理論證明，在阻尼較小時，上述方程的解是：x=Ae-6tcos(J?2-621+p)+Acos(?t+p)000

式中第一項為暫態(tài)項，在經(jīng)過一定時間之后這一項將消失，第二項是穩(wěn)定項．在振子振動一段時間達到穩(wěn)定后，其振動式即成為：x=Acos(①t+Q) (8)應(yīng)該指出，上式雖然與自由簡諧振動式(即在無驅(qū)動力和阻力下的振動)相同，但實質(zhì)已有所不同.首先其中①并非是振子的固有角頻率,而是驅(qū)動力的角頻率，其次A和9不決定于振子的初始狀態(tài)，而是依賴于振子的性質(zhì)、阻尼的大小和驅(qū)動力的特征。事實上，只要將式(8)代人方程(6)，就可計算出F0 ==—3門2+實上，只要將式(8)代人方程(6)，就可計算出F0 ==—3門2+(3m-匕)23m>-Ytg9= k3m——3k其中：32= ,丫=28-m0m在穩(wěn)態(tài)時，振動物體的速度dx / 兀、v= =v cos(3t+9——)dtmax 2其中vmaxF=a(9)(10)(11)12)72+(3m-土)2J 33、共振在驅(qū)動力幅值F固定的情況下，應(yīng)有怎樣的驅(qū)動角頻率3才可使振子發(fā)生強烈振動?0這是個有實際意義的問題。下面分別從振動速度和振動位移兩方面進行簡單分析。3.1速度共振從相位上看，驅(qū)動力與振動速度之間有相位差9+?！?,—般地說，外力方向與物體運動方向并不相同，有時兩者同向，有時兩者反向。同向時驅(qū)動力做正功，振子輸人能量；反向時驅(qū)動力做負功，振子輸出能量。輸人功率的大小可旳-v計算。設(shè)想在振子固有頻率、阻尼大小、驅(qū)動力幅值F均固定的情況下，僅改變驅(qū)動力的頻率3，則不0難得知，如果滿足最大值3m—k3=0時，振子的速度幅值v就有最大值。max由3m—k：3=0可得：I1k F F 、亠口」 兀3=3= ，V=o=—，這時tg9T8，9=-—0m max丫 28m 2

由此可見，當驅(qū)動力的頻率等于振子固有頻率時，驅(qū)動力將與振子速度始終保持同相，于是驅(qū)動力在整個周期內(nèi)對振子做正功，始終給振子提供能量，從而使振子速度能獲得最大的幅值。這一現(xiàn)象稱為速度共振。速度幅值V隨①的變化曲線如圖1所示。max顯然丫或S值越小，V??關(guān)系曲線的極值越大。描述曲線陡峭程度的物理量一般max13)13) 0——①一①21其中f為3其中f為30對應(yīng)的頻率為Vmax下降到最大值的0.707倍時對應(yīng)的頻率值。圖1速度共振曲線圖2位移共振曲線3.2、位移共振驅(qū)動力的頻率①為何值時才能使音叉臂的振幅A有最大值呢？對式（9）求導(dǎo)并令其一階導(dǎo)為零，即可求得A的極大值及對應(yīng)的①值為：14)F14) 0—2m§1.①2-82015)由此可知，在有阻尼的情況下，當驅(qū)動力的圓頻率3=3時，音叉臂的位移振幅Ar有最大值，稱為位移共振，這時的?<?0o位移共振的幅值A(chǔ)隨?的變化曲線如圖2所示。由（14）式可知，位移共振幅值的最大值與阻尼8有關(guān)。阻尼越大，振幅的最大值越??；阻尼越小，振幅的最大值越大。在很多場合，由于阻尼8很小，發(fā)生共振時位移共振幅值過大，從而引起系統(tǒng)的損壞，這是我們需要十分重視的。

比較圖1和圖2可知，速度共振和位移共振曲線不完全相同。對于有阻尼的振動系統(tǒng)，當速度發(fā)生共振時，位移并沒有達到共振。其原因在于，對于作受迫振動的振子在平衡點有最大幅值的速度時，其運動時受到的阻力也達到最大，于是在平衡點上的最大動能并沒有能全部轉(zhuǎn)變?yōu)榛剞D(zhuǎn)點上的勢能，以致速度幅值的最大并不對應(yīng)位移振幅的最大.這就是位移共振與速度共振并不發(fā)生在同一條件下的原因.顯然，如果阻尼很小，兩種共振的條件將趨于一致，這一點也可從圖2的位移共振曲線清楚地看出來。4、音叉的振動周期與質(zhì)量的關(guān)系從公式(4)T=竺二竺可知，在阻尼8較小、可忽略的情況下有:3Ai'ro2-82

'02兀 小:m(16)q =2兀一(16)3 k0這樣我們可以通過改變質(zhì)量m,來改變音叉的共振頻率。我們在一個標準基頻為256Hz的音叉的兩臂上對稱等距開孔，可以知道這時的T變小，共振頻率f變大；將兩個相同質(zhì)量的物塊mX對稱地加在兩臂上，這時的T變大，共振頻率f變小。從式(16)可知這時：T2= -(m+m) (17)k0x '，其中k為振子的勁度系數(shù)，為常數(shù)，它與音叉的力學(xué)屬性有關(guān)。m0為不加質(zhì)量塊時的音叉振子的等效質(zhì)量，mX為每個振動臂增加的物塊質(zhì)量。由式(17)可見，音叉振動周期的平方與質(zhì)量成正比。由此可由測量音叉的振動周期來測量未知質(zhì)量，并可制作測量質(zhì)量和密度的傳感器。三、實驗儀器音叉受迫振動與共振實驗儀包括260Hz左右基頻的鋼質(zhì)音叉，2個電磁激振線圈、阻尼裝置、4對加載質(zhì)量塊(由小到大為5g一對、10g兩對、15g—對，其中一對10g的可以作為未知質(zhì)量塊)、測試架、音頻信號發(fā)生器、三位半2V交流數(shù)字電壓表等。音叉受迫振動與共振實驗儀四、實驗步驟1、 將實驗架上的驅(qū)動器連線接至實驗儀的驅(qū)動信號的“輸出”端，實驗架上的接收器接至實驗儀的測量信號“輸入”端。驅(qū)動波形和接收波形的輸出可以連接到示波器觀測。測量信號“輸入”端內(nèi)部與交流電壓表相連。連接好儀器后接通電源，使儀器預(yù)熱10分鐘。2、 測量不同狀態(tài)下音叉的速度幅頻特性、以及相應(yīng)的共振頻率和輸出電壓Umaxmax音叉的不同狀態(tài)包括自由（無阻尼）狀態(tài)和不同阻尼狀態(tài)（要求至少測量兩種不同的阻尼狀態(tài)）。測量時應(yīng)先找到大概的共振頻率，同時選擇一個合適的驅(qū)動信號輸出幅度（選定后整個實驗過程中保持不變），然后按照頻率由低到高，測量數(shù)字電壓表示值U與驅(qū)動信號的頻率f之間的關(guān)系（數(shù)據(jù)表格如下圖所示），注意在共振頻率附近數(shù)據(jù)應(yīng)密集一些，確保找準共振頻率。驅(qū)動信號輸出幅度： 阻尼大小：f(Hz)U（V）3、在無阻尼狀態(tài)下，將不同質(zhì)量塊（5g、10g、15g、20g、25g）分別加到音叉雙臂指定的位置上，并用螺絲旋緊。測