2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標ⅰ)(含解析版)

絕密★啟用前2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅰ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A．，則=B．C．C．D．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則D．A．B．3．已知，則A．D．B．C．4．古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5．函數(shù)f(x)=A．在的圖像大致為B．C．D．6．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A．B．C．D．7．已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為B．A．C．D．8．如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入A．A=B．A=C．A=D．A=9．記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則A．B．C．D．10．已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點．若，，則C的方程為A．B．C．D．11．關(guān)于函數(shù)①f(x)是偶函數(shù)有下述四個結(jié)論：②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增③f(x)在有4個零點④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是A．①②④B．②④C．①④D．①③12．已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線14．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若在點處的切線方程為____________．，則S5=____________．15．甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．16．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩，，則C的離心率為____________．點．若三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．(12分)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．18．（12分）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．19．（12分）已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．20．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．21．（12分）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸．（1）求C和l的直角坐標方程；（2）求C上的點到l距離的最小值．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）（2）；．2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅰ）參考答案一、選擇題1．C2．C3．B4．B5．D6．A7．B8．A9．A10．B11．C12．D二、填空題13．y=3x14．15．0.1816．2三、解答題17．解：（1）由已知得由余弦定理得因為，故由正弦定理得．．．，所以（2）由（1）知，由題設(shè)及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．18．解：（1）連結(jié)B1C，ME．因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因為N為A1D的中點，所以ND=由題設(shè)知A1B1A1D．DC，可得B1CND，A1D，故ME因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則，A1(2,0,4)，，，，，設(shè)，．為平面A1MA的法向量，則，所以可?。O(shè)為平面A1MN的法向量，則所以可?。谑牵远娼堑恼抑禐椋?9．解：設(shè)直線（1）由題設(shè)得．，故，則，由題設(shè)可得．．由，可得從而，得．所以的方程為．（2）由可得．由，可得．所以．從而，故．代入故的方程得．．20．解：（1）設(shè)，則，.當時，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點，設(shè)為則當.時，；當時，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點.（2）的定義域為.（i）當時，由（1）知，在單調(diào)遞增，而，所以當在時，，故單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點.（ii）當時，由（1）知，在單調(diào)遞增，在，且當單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得；當時，時，.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，，所以當時，.從而，在沒有零點.（iii）當時，，所以在單調(diào)遞減.而，，所以在有唯一零點.（iv）當時，，所以<0，從而在沒有零點.綜上，有且僅有2個零點.21．解：X的所有可能取值為.所以的分布列為（2）（i）由（1）得.因此，故，即.又因為，所以為公比為4，首項為的等比數(shù)列．（ii）由（i）可得.由于，故，所以表示最終認為甲藥更有效的概率，由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理.，此時得出錯誤22．解：（1）因為，且，所以C的直角坐標方程為.的直角坐標方程為.（2）由（1）可設(shè)C的參數(shù)方程為C上的點到（為參數(shù)，）.的距離為.當時，取得最小值7，故C上的點到距離的最小值為.23．解：（1）因為，又，故有.所以.（2）因為為正數(shù)且，故有=24.所以.絕密★啟用前2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅰ）答案解析版一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A.，則=B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足A.，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本題考點為復(fù)數(shù)的運算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點（x，y）和點(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【詳解】則．故選C．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．3.已知，則A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】運用中間量比較，運用中間量比較【詳解】故選B．則．【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【答案】B【解析】【分析】理解黃金分割比例的含義，應(yīng)用比例式列方程求解．【詳解】設(shè)人體脖子下端至腿根的長為xcm，肚臍至腿根的長為ycm，則，得．又其腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，所以其身高約為42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故選B．【點睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題．5.函數(shù)f(x)=在[—π，π]的圖像大致為A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項的區(qū)別，利用特殊值得正確答案．【詳解】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱．又．故選D．【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．6.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【詳解】由題知，每一爻有2中情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有該重卦恰有3個陽爻的概率為，故選A．，所以=【點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．7.已知非零向量a，b滿足=2，且（a–b）b，則a與b的夾角為A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由出向量夾角．得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計算【詳解】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．8.如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入A.A=B.A=C.A=D.A=【答案】A【解析】【分析】本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問題等素養(yǎng)，認真分析式子結(jié)構(gòu)特征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇．【詳解】執(zhí)行第1次，是，因為第一次應(yīng)該計算=，=2，循環(huán)，執(zhí)行第2次，，是，因為第二次應(yīng)該計算，=3，循環(huán)，執(zhí)行第3次，=，否，輸出，故循環(huán)體為，故選A．【點睛】秒殺速解認真觀察計算式子的結(jié)構(gòu)特點，可知循環(huán)體為．9.記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式．本題還可用排除，對B，除B，對C，，，排，排除C．對D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當計算即可做了判斷．10.已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，則C的方程為，A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】可以運用下面方法求解：如圖，由已知可設(shè)圓的定義有，則，由橢．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去．，得，解得所求橢圓方程為，故選B．【詳解】如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．11.關(guān)于函數(shù)①f(x)是偶函數(shù)③f(x)在有下述四個結(jié)論：②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增有4個零點④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是A.①②④B.②④C.①④D.①③【答案】C【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．【詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當時，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯誤．當時，，它有兩個零點：，它有一個零點：；當時，在，故時，有個零點：；當，故③錯誤．當時，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④正確，故選C．【點睛】化簡函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案．12.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本題也可用解三角形方法，達到求出棱長的目的．適合空間想象能力略差學(xué)生．設(shè)，分別為，中點，，且為邊長為2等邊三角形，又中余弦定理中點，，作于，，為，，，，，又，兩兩垂直，【詳解】，，故選D.為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別、中點，，，，又平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．【點睛】本題考查學(xué)生空間想象能力，補型法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進而補型成正方體解決．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.曲線在點處的切線方程為___________．【答案】【解析】【分析】.本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程【詳解】詳解：所以，所以，曲線在點處的切線方程為，即．【點睛】準確求導(dǎo)數(shù)是進一步計算的基礎(chǔ)，本題易因為導(dǎo)數(shù)的運算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計算錯誤．求導(dǎo)要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求．14.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=____________．【答案】.【解析】【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計算得到難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．．題目的【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以．【點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤．15.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．【答案】0.216.【解析】【分析】本題應(yīng)注意分情況討論，即前五場甲隊獲勝的兩種情況，應(yīng)用獨立事件的概率的計算公式求解．題目有一定的難度，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力及分類討論思想的考查．【詳解】前五場中有一場客場輸時，甲隊以獲勝的概率是前五場中有一場主場輸時，甲隊以獲勝的概率是綜上所述，甲隊以獲勝概率是【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊以獲勝的兩種情況；易錯點之三是是否能夠準確計算．16.已知雙曲線C：左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．【答案】2.【解析】【分析】本題考查平面向量結(jié)合雙曲線的漸進線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．【詳解】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有．又OA與OB都是漸近線，得則．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．【點睛】此題若不能求出直角三角形的中位線的斜率將會思路受阻，即便知道雙曲線漸近線斜率和其離心率的關(guān)系，也不能順利求解，解題需要結(jié)合幾何圖形，關(guān)鍵得到即得到漸近線的傾斜角為從而突破問題障礙．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．；（2）【答案】（1）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知邊角關(guān)系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可得，利用、兩角和差正弦公式可得關(guān)于和的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程可求得結(jié)果.【詳解】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：因為或所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即或且【點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對邊角關(guān)系式進行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.18.如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形對角線交點為原點可建立空間直角坐標系，通過取中點，可證得平面，得到平面的法向量；再通過向量法求得平面的法向量，，利用向量夾角公式求得兩個法向量夾角的余弦值，進而可求得所求二面角的正弦值.【詳解】（1）連接，分別為且，中點為的中位線又為中點，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形則以為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：則：取，，，D（0，-1,0）中點，連接，則四邊形為菱形且，為等邊三角形又平面平面平面，即平面為平面的一個法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，二面角的正弦值為：【點睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.19.已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)直線：，，；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；（2）設(shè)直線：；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到韋達定理的形式；利用可得，結(jié)合韋達定理可求得；根據(jù)弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線方程為：，，由拋物線焦半徑公式可知：聯(lián)立則得：，解得：，即：直線的方程為：（2）設(shè)聯(lián)立則，則可設(shè)直線方程為：得：，，則【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到平面向量、弦長公式的應(yīng)用.關(guān)鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，通過韋達定理構(gòu)造等量關(guān)系.20.已知函數(shù)（1），為的導(dǎo)數(shù)．證明：在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點存在定理可判斷出，使得，進而得到導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知為在上的唯一零點；當時，首先可判斷出在上無零點，再利用零點存在定理得到時，利用零點存在定理和在上的單調(diào)性，可知，不存在零點；當單調(diào)性可判斷出存在唯一一個零點；當，可證得；綜合上述情況可證得結(jié)論.定義域為：且【詳解】（1）由題意知：令，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，，使得時，當；時，即在為上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減則唯一的極大值點即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點.（2）由（1）知：①當，在時，由（1）可知上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減又為在上的唯一零點②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又在上單調(diào)遞增，此時，不存在零點又又，使得在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減在上恒成立，此時不存在零點單調(diào)遞減，單調(diào)遞減③當時，在上單調(diào)遞減又即，，又在上單調(diào)遞減在上存在唯一零點時，④當，即在上不存在零點綜上所述：有且僅有個零點【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)的問題.解決零點問題的關(guān)鍵一方面是利用零點存在定理或最值點來說明存在零點，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點的唯一性，二者缺一不可.21.為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X