初中數(shù)學(xué)輔助線大全-詳細(xì)例題付答案

初中數(shù)學(xué)輔助線大全詳細(xì)例題付答案［引出問題］在幾何證明或計(jì)算問題中，經(jīng)常需要添加必要的輔助線，它的目的可以歸納為以下三點(diǎn)：一是通過添加輔助線，使圖形的性質(zhì)由隱蔽得以顯現(xiàn)，從而利用有關(guān)性質(zhì)去解題；二是通過添加輔助線，使分散的條件得以集中從而利用它們的相互關(guān)系解題；三是把新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的舊問題加以解決。值得注意的是輔助線的添加目的與已知條件和所求結(jié)論有關(guān)。下面我們分別舉例加以說明。［例題解析］一、倍角問題例1：如圖1,在厶ABC中，AB二AC,BD丄AC于D。求證：ZDBC二1ZBAC.2分析：ZDBC、ZBAC所在的兩個(gè)三角形有公共角ZC,可利用三角形內(nèi)角和來溝通ZDBC.ZBAC和ZC的關(guān)系。證法一：???在△ABC中，AB=AC,.\ZABC=ZC=1(180°-ZBAC)=90°-1ZBAC。22?.?BD丄AC于D???ZBDC=90°???ZDBC=90°—ZC=90°—(90°—1ZBAC)二1ZBAC22

即ZDBC二1ZBAC2分析二：ZDBC、ZBAC分別在直角三角形和等腰三角形中，由所證的結(jié)論“ZDBC二％ZBAC”中含有角的倍、半關(guān)系，因此，可以做ZA的平分線，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，把％ZA放在直角三角形中求解；也可以把ZDBC沿BD翻折構(gòu)造2ZDBC求解。???ZDBC+ZC=90°AZEAC=ZDBC（同角的余角相等）即ZDBC二1ZBACo2證法三：如圖3,在AD上取一點(diǎn)E,使DE=CD連接BE?/BD丄AC???BD是線段CE的垂直平分線??.BC二BE.\ZBEC=ZC???ZEBC=2乙DBC=180°-2ZC??.?AB二AC??.?AB二AC??.ZABC二ZC???ZBAC=180°-2ZC??.ZEBC=ZBAC???ZDBC二1ZBAC說明：例1也可以取BC中點(diǎn)為E,連接DE,利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)求解。同學(xué)們不妨試一試。例2、如圖4,在厶ABC中，ZA=2ZB求證：BC2二AC2+AC?AB分析：由BC2二AC2+AC?AB=AC(AC+AB),啟發(fā)我們構(gòu)建兩個(gè)相似的三角形，且含有邊BC、AC、AC+AB.又由已知ZA=2ZB知,構(gòu)建以AB構(gòu)建以AB為腰的等腰三角形。證明：延長CA到D,使AD=AB,則ZD=ZDBATZBAC是AABD的一個(gè)外角?ZBAC=ZDBA+ZD=2ZD?ZBAC=2ZABC???BC2二AC(AC+AB)二AC2+AC?AB二、中點(diǎn)問題關(guān)系不明顯，由于條件F是DE的中點(diǎn)，如何利用這個(gè)中點(diǎn)條件，把不同類三角形轉(zhuǎn)化為同類三角形式問題的關(guān)鍵。由已知AB=AC，聯(lián)系到當(dāng)過D點(diǎn)或E點(diǎn)作平行線，就可以形成新的圖形關(guān)系——構(gòu)成等腰三角形，也就是相當(dāng)于先把BD或CE?.?.?F是DE的中點(diǎn)移動(dòng)一下位置，從而使問題得解。證明：證法一：過點(diǎn)D作DG〃AC，交BC于點(diǎn)G（如上圖）.\ZDGB=ZACB,ZDGF=ZFCE?/AB=AC.\ZB=ZACB.\ZB=ZDGB?BD=DG?F是DE的中點(diǎn)?DF=EF在厶DFG和厶DEFC中,'厶DFG=ZEFC<ZDGF=ZFCEDF=EF???△DFG今EFC???DG=CE???BD=CE證法二：如圖，在AC上取一點(diǎn)H,使CH=CE,連接DH??????CF是AEDH的中位線???DH〃BC??????CF是AEDH的中位線???DH〃BC.\ZADH=ZB,ZAHD=ZBCA?.?.?AB二AC.\ZADH=ZAHD?AB-AD=AC-AH?BD=CE.\ZB=ZBCA?AD=AH?BD=HCECFECF說明：本題信息特征是“線段中點(diǎn)”也可以過E作EM〃BC，交AB延長線于點(diǎn)G,仿照證法二求解。例4.如圖，已知AB〃CD,AE平分ZBAD,且E是BC的中點(diǎn)求證：AD=AB+CD證法一：延長AE交DC延長線于F?.?AB〃CD???ZBAE=ZF,?.?E是BC的中點(diǎn)???BE=CE在厶ABE和厶CEF中TAETAE平分ZBADZBAE=ZF<ZB=ZECFBE=CE???△ABE今ACEF???AB=CFTAE平分ZABD.\ZBAE=ZDAE?ZDAE二ZF?AD=DFTDF=DC+CFCF=AB?AD=AB+DC證法二：取AD中點(diǎn)F,連接EF?.?AB〃CD,E是BC的中點(diǎn)?EF是梯形ABCD的中位線???EF〃AB,EF=1(AB+CD)2?ZBAE=ZAEF???ZBAE=ZFAE.\ZAEF=ZFAE???AF二EFTAF=DFEF=AF=FD=1AD2??丄（AB+CD）二1AD22?AD=AB+CD三．角平分線問題例5.如圖（1）,OP是ZMON的平分線，請(qǐng)你利用圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)全等三角形的方法，解答下列問題。⑴如圖（2）,在厶ABC中，ZACB是直角，ZB=60°,AD、CE分別是ZBAC、ZBCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F,請(qǐng)你判斷并寫出EF與FD之間的數(shù)量關(guān)系。（2）如圖（3）,在△ABC中，如果ZACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請(qǐng)問，你在（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立若成立，請(qǐng)證明若不成立，請(qǐng)說明理由。

分析：本題屬于學(xué)習(xí)性題型。這類題型的特點(diǎn)是描述一種方法，要求學(xué)生按照指定的方法解題。指定方法是角平分問題的“翻折法”得全等形。解：（1）EF=FD（2）答：（1）結(jié)論EF=FD仍然成立理由：如圖（3）,在AC上截取AG二AE,連接FG在△人已卩和厶AGF中，'AE=AG<ZEAF=ZFAGAF=AF???△AEF今AAGF???EF二GF,ZEFA=ZGFA由ZB=60°,AD、CE分別是ZBACZBCA的平分線可得ZFAG+ZFCA=60°.\ZEFA=ZGFA=ZDFC=60°???ZGFC=60°在厶CFG和厶CFD中'ZGFC=ZDFC<CF=CF乙DCE=ZACE???△CFG今ACFD?FG=FD又因?yàn)镋F=GF?EF=FD說明：學(xué)習(xí)性問題是新課程下的新型題，意在考查學(xué)生現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力和自學(xué)能力。拋開本題要求從角平分線的角度想，本題也可以利用角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”達(dá)到求解的目的。?.?ZB=60°???ZDAC+ZACE=60°??.ZEFD二ZAFC=180°-60°=120°在四邊形BEFD中ZBEF+ZBDF=180°?ZBDF+ZFDC=180°?ZFDC=ZBEF在厶EFG和厶DFM中'ZFDC=ZBEF<ZEGF=ZDMF=900FG=FM.\EFG^^DFM?EF=DF

四、線段的和差問題四、線段的和差問題例6如圖，在△ABC中，AB二AC,點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，PD丄AB于D,PE丄AC于E,CM丄AB于M,試探究線段PD、PE、CM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。分析：判斷三條線斷的關(guān)系，一般是指兩較短線段的和與較長線段的大小關(guān)系，通過測量猜想PD+PE二CM..\ZCMB=ZPDB=90°???CM〃DP???四邊形PQMD為平行四邊形?PQ〃AB??.ZCQP=ZCMB=90°ZQPC=ZB?.?AB=AC?ZB=ZECP

???ZQPC二ZECPTPE丄AC于E???ZPEC=90°在\PQC和APEC中'ZPQC=ZPEC<ZQPC=ZECPPC=PC???△PQC今APEC???QC二PE?.?MQ=PD???MQ+QC二PD+PE?PD+PE=CM分析2：延長DF到N使DN=CM,連接CN,得平行四邊形DNCM,再證明PN=PE證法2：延長DF到N,使DN=CM，連接CN同證法一得平行四邊形DNCM，及APNC今APEC?PN=PE?PD+PE=CM分析3：本題中含有AB=AC及三條垂線段PD、DE、CM,

且Sss，所以可以用面積法求解。PABPACABC證法三：連接AP,???PD丄AB于D,PE丄AC于E,CM丄AB于M△△△ZPQC=ZPECZQPC=ZECPPC=PC???SABP1AB2PDS!acPEACP2△1人SABCMABC2?.?AB二AC且saPABSSPACABC1ABPD!abPE1ABCM???222AB0△△△PDPECM說明：當(dāng)題目中含有兩條以上垂線段時(shí)，可以考慮面積法求解。五、垂線段問題例7在平行四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且PEAB,PFBC，垂足分別是E、F求證：ABPFBTPF

分析：將比例式ABPF轉(zhuǎn)化為等積式AB?PE=BC?PF,聯(lián)想到~BC~~PE11，AB?PE二—BC?PF22即厶PAB與\PBC的面積相等，從而用面積法達(dá)到證明的目的。證明：連接AC與BD交于點(diǎn)0,連接PA、PC在平行四邊形ABCD中，AO=CO???S=SAOBBOCS同理，AOP?SS同理，AOP?SAOB=SCOP-SAOPBOCCOPS△PABS△PBC△PE丄AB,PF△PE丄AB,PF丄BC,△△11???S=AB?PE,S=BC?PFPAB2PBC211???_AB?PE=_BC?PF22?AB?PE=BC?PF△△.AB_PF■■BCPEAFC例8求證：三角形三條邊上的中線相交于一點(diǎn)。C分析：這是一個(gè)文字?jǐn)⑹龅拿}。要證明文字命題，需要根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)題意、結(jié)合圖形寫出已知、求證。已知：AABC中，AF、BD、CE是其中線。求證：AF、BD、CG相交于一點(diǎn)。分析：要證三線交于一點(diǎn)，只要證明第三條線經(jīng)過另兩條線的交點(diǎn)即可。證明：設(shè)BD、CE相交于點(diǎn)G，連接AG，并延長交BC于點(diǎn)F,.AD=DC.??S=S,S=SABDCBDAGDCGD?S=SAGBCGB同理，S—SCGBAGCS—S△△△△AGBAGC?△△作BM丄AF，于M,CN丄AF,于N△△11S二AG?BM,S=AG?CNAGB2AGC211??.AG?BM=_AG?CN22?BM=CN△△在厶BMF，和△CNF,中ZBFM=ZCFN上BMF=上CNFBM=CN??BFCF???AF，是BC邊上的中線又TAF時(shí)BC邊上的中線???AF與AF,重合即AF經(jīng)過點(diǎn)D?AF、BD、CE三線相交于點(diǎn)G因此三角形三邊上的中線相交于一點(diǎn)。六、梯形問題例9.以線段a=16,b=13為梯形的兩底，以c=10為一腰，則另一腰長d的取值范圍是—分析：如圖，梯形ABCD中，上底b=13，下底a=16，腰AD=c=10,過B作BE〃AD,得到平行四邊形ABED，從而得AD=BE=10,AB=DE=13\所以EC=DC-DE=16-13=3.所以另一腰d的取值范圍是10-3VdV10+3答案：答案：7VdV13例10.如圖，已知梯形ABCD中，AB〃DC，高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD的面積。分析：已知條件中給出兩條對(duì)角線的長，但對(duì)角線位置交錯(cuò)，條件一時(shí)用不上。另外，求梯形面積只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的長，所以考慮平移腰。在直角三角形AEF中，AE=12,AF=15EF=』AF2-AE2=152-122=9在直角三角形AEC中，AE=12,AF=15EC=Jac2—AE2=J202-122=16AB+DC=FC=EF+EC=9+16=2511S=_(AB+DC)?AE=_x25x12=150梯形ABCD22

解法二：如圖，過B作BF丄DC于F???ZBFC=90°?解法二：如圖，過B作BF丄DC于F/.ZAED=ZAEC=90。/.ZAEC=ZBFC=90。/AE//BFAB//DC/ABFE是平行四形/.BF=AC=12,AB=EF?.?在直角三角形ABC中，AE=12,AC=20./ec二Jac2-ae2=16在直角三角形BDF中，BF二12,BD=15/.DF=JBD2-BF2=9/.AB+DC二DF+CE二9+16二2511/.S二(AB+DC)?AE二_x25x12二150梯形ABCD22例11?如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZB+ZC=90°,M、N分別是AD、BC的中試說明：MN=試說明：MN=2(BC-AD)分析1：ZB+ZC=90°，考慮延長兩腰，使它們相交于一點(diǎn)，構(gòu)成直角三角形。解法1：延長BA、CD交于點(diǎn)G,連接GM、GNZB+ZC=90。.?./BGC=90。AM二MD:.GM=AM:.ZGAM=ZAGM又.BN=CN.GN=BN.??ZB=ZBGNTADBC.ZGAM=ZB.ZAGM=ZBGN?.?B、A、G共線???G、M、N共線???II11GM=_AD,GN=—BC221MN二GN-GM=_(BC-AD)分析2：考慮M、N分別為AD、BC中點(diǎn)，可以過M分別作AB、DC的平行線，梯形ABCD內(nèi)部構(gòu)成直角三角形，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形。解法2：作ME〃AB交BC于E,作MF〃DC交BC于F?.?AD〃BC???四邊形ABEM、DCFM都是平行四邊形?BE=AM,FC=DMAM=MDBE=FCBN=CNEN=FN由MEAB,MFDC/.ZMEF二ZB,ZMFE二ZCZB+ZC=90。/ZMEF+ZMFE=90。???.??ZEMF=90°???.??ZEMF=90°11又?.?EN二FN/MN=Za與Z0在兩個(gè)三角形中，常作Za的平分線，得么1=丄Za,Za與Z0在兩個(gè)三角形中，常作Za的平分線，得么1=丄Za,然后證明Z1二Z0；或把Z0翻折，得Z2=2Z0，然后證明Z2=Za（如圖一）Za與Z0在同一個(gè)三角形中，這樣的三角形常稱為倍角三角形。倍角三角形問題常用構(gòu)造等腰三角形的方法添加輔助線（如圖二）22［模式歸納］通過上面各例的分析、解證，發(fā)現(xiàn)添加適當(dāng)?shù)妮o助線能使解題思路暢通，解答過程簡捷。但輔助線的添加靈活多變，好像比較難以把握。其實(shí)添什么樣的輔助線怎么添輔助線與已知條件的特征和所求問題的形成關(guān)系密切。下面分類歸納幾種常用的輔助線的添加方法。一、倍角問題研究Za=2Z0或Z0二1Za問題通稱為倍角問題。倍角問題分兩種情形：2

二中點(diǎn)問題已知條件中含有線段的中點(diǎn)信息稱為中點(diǎn)問題。這類問題常用三種方法添加輔助線1)1)形的中線，也可以構(gòu)造中線后，再倍長中線，如圖二。構(gòu)造中位線，如圖三3)構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線，如圖四。圖二圖三構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線，如圖四。圖二圖四

三、角平分線問題已知條件中含有角平分線信息稱為角平分線問題。常用的輔助線有兩種以角平分線所在直線為對(duì)稱軸，構(gòu)造全等三角形，如圖一、二所示。由角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊做垂線，構(gòu)造全等三角形，如圖二所示。圖三圖三四、線段的和差問題已知條件或所求問題中含有a+b=c或a二c-b,稱為線段的和差問題，常用的輔助線有兩種：短延長：若AB=a，則延長AB到M,使BM=b，然后證明AM二c；長截短：若AB=c,則在線段AB上截取AM=a，然后證明MB二b。五、垂線段問題已知條件或所求問題中含有兩條或者兩條以上的垂線段時(shí)，而所研究的問題關(guān)系又不明顯時(shí)，可以借助于可求圖形的面積轉(zhuǎn)化。常用的面積關(guān)系有：1.同（等）底的兩個(gè)三角形的面積與其高的關(guān)系；2.同（等）高的兩個(gè)三角形的面積與其底的關(guān)系。六、梯形問題梯形可以看作是一個(gè)組合圖形，組成它的基本圖形是三角形、平行四邊形、矩形等。因此，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形平行四邊形、矩形等問題求解，其基本思想為：梯形問題三角形或者平行四邊形問題在轉(zhuǎn)化、分割、拼接時(shí)常用的輔助線：平移一腰。即從梯形一個(gè)頂點(diǎn)作另一個(gè)腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（如圖一）。研究有關(guān)腰的問題時(shí)常用平移一腰。過頂點(diǎn)作高。即從同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形（如圖二）。研究有關(guān)底或高的問題時(shí)常過頂點(diǎn)作高。平移一條對(duì)角線。即從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形（如圖三）。研究有關(guān)對(duì)角線問題時(shí)常用平移對(duì)角線。這種添加輔助線的方法，可以將梯形兩條對(duì)角線及兩底的和集中在一個(gè)三角形內(nèi)，使梯形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題。此三角形的面積等于梯形的面積。延長兩腰交于一點(diǎn)。把梯形問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相似的三角形問題（圖四）；過底的中點(diǎn)作兩腰的平行線。當(dāng)已知中有底的中點(diǎn)時(shí)，常過中點(diǎn)做兩腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（圖五）；過一腰中點(diǎn)作直線與兩底相交。當(dāng)已知中有一腰的中點(diǎn)時(shí)，常連接梯形一頂點(diǎn)和此中點(diǎn)，并延長交另一底于一點(diǎn)，將梯形問題轉(zhuǎn)化為一對(duì)全等三角形和一個(gè)含有梯形兩底之和的三角形。此三角形的面積等于梯形的面積（圖六）；作梯形中位線。當(dāng)已知中有一腰的中點(diǎn)時(shí)，常取另一腰的中點(diǎn)，作梯形的中位線，（圖七），利用梯形中位線性質(zhì)解題。圖一圖二圖三［拓展延伸］1.已知：如圖，AABC中，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CA延長線上一點(diǎn)，連接FD交AB于E,若AE=AF求證:BE=CF證法一：延長ED到G使DG=DE,連接CG.在厶BDE和厶CDG中,

廠BD二CD<ZBDE=ZCDGDE=DGBDEzCDGz.ZBED=ZG,BE=CGAE=AF/.ZF=ZFEAZFEA=ZBED,ZBED=ZG.ZF=ZG/CG=CF:/BE=CF????證法二：延長FD到G,使DG=DF,連接BG?！鱀CF和中D