上海銳角三角比講義全

....海伊教育學科教師輔導講義學員編號：學員：鴻敬年級：九年級學員編號：學員：鴻敬年級：九年級輔導科目：數(shù)學課時數(shù)：學科教師：高老師銳角三角比授課時間：2013年10月25日備課時間：2013年10月25日（1）理解銳角三角比的概念。（2）會求特殊銳角（30°、45°、60°）的三角比的值。（3）會用計算器求銳角的三角比的值；能根據(jù)銳角三角比的值，利用計算器求教學目標銳角的大小。（4）會解直角三角形。（5）理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，并能解決有關(guān)的實際問題。重點是應用銳角三角比的意義及運用解直角三角形的方法進行有關(guān)幾何計算。重點、難點難點是解直角三角形的應用。授課方法聯(lián)想質(zhì)疑——交流研討——歸納總結(jié)——實踐提高重點、難點難點是解直角三角形的應用。授課方法聯(lián)想質(zhì)疑——交流研討——歸納總結(jié)——實踐提高教學過程情景設(shè)置（知識導入）探索研究【知識點總結(jié)與歸納】銳角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知銳角，求三角比已知銳角的一個三角比求銳角解直角三角形中的邊直角關(guān)系（三邊之間、角兩銳角之間、一銳角三與兩邊之間）角形銳角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知銳角，求三角比已知銳角的一個三角比求銳角解直角三角形中的邊直角關(guān)系（三邊之間、角兩銳角之間、一銳角三與兩邊之間）角形已知一邊和一銳角已知兩邊解直角三角形的應用1、銳角的三角比（1）定義：在直角三角形ABC中，/A為一銳角，則ZA的正弦二NA的對邊斜邊，即sinA=acNA的余弦二NA的鄰邊斜邊即cosA=卜cNA的正切二NA的對邊，即tanA=aNA的鄰邊bNA的余切二NA的鄰邊，即=aNA的對邊b注：三角函數(shù)值是一個比值．定義的前提是有一個角為直角，故如果題目中無直角條件時，應設(shè)法構(gòu)造一個直角。若ZA為一銳角，則sinA,cosA,tanA,cotA的取值分別是：0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0。同一個銳角的正切和余切值互為倒數(shù)，即：tanAcotA=1或tanA=1cotA特殊銳角的三角比的值特殊銳角（30°，45°，60°）的三角比的值H角函數(shù)角度正弦余弦正切余切00010不存在30°T叵V3虛45e叵160。在通巡90”10:不存在0同角，互余的兩角多的三角比之間的關(guān)系：1倒數(shù)關(guān)系：tanA=cotA平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1sinAcosA積商關(guān)系：tanA=,cotA=.cosAsinA余角和余函數(shù)的關(guān)系：如果/A+ZB=90o,那么sinA=cosB,tanA=cotB（正弦和余弦，正切和余切被稱為余函數(shù)關(guān)系）。注意：求銳角三角比的值問題在直角三角形中,給定兩邊求銳角的三角比,關(guān)鍵是搞清某銳角的“對邊”“鄰邊”,掌握三角比的定義。給出銳角的度數(shù),求這個銳角的三角比特殊銳角,一般情況下,使用精確值；在實際應用中,根據(jù)問題要求處理。

求非特殊銳角的三角比的值，使用計算器或查表求值。當銳角不是直角三角形的角，首先觀察有否相等的銳角可代換，而且可代換的銳角含在某直角三角形中，如果沒有可代換的相等的銳角，可作適當?shù)拇咕€構(gòu)建含有這個銳角的直角三角形。解直角三角形在直角三角形中，除直角外，還有5個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知兩個元素（其中至少含有一條邊），求出其他所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。（3）（4）（5）直角三角形的面積：S=（3）（4）（5）直角三角形的面積：S=：ch=aab=aabsinCa222當需要求解的三角形不是直角三角形時，應恰當?shù)刈鞲咴偾蠼狻＝庵苯侨切蔚念愋陀校阂阎獌蓷l邊；已知一條邊和一個銳角。解法分類：已知斜邊和一個銳角解直角三角形；已知一條直角邊和一個銳角解直角三角形；已知兩邊解直角三角形．化斜三角形為直角三角形，注意：解直角三角形的方法：可概括為“有弦（斜邊）則弦（正弦，余弦），無弦用切，寧乘勿除，取原避中”。這幾句話的含義是：當已知條件中有斜邊時，就用正弦或余弦，無斜邊時，則用正切或余切；當所求元素既可用乘法又可用除法時，則盡量用乘法，避免用除法；既可以用已知的原始數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求解時，則取原始數(shù)據(jù)，避免用中間數(shù)據(jù)后引起連鎖錯誤或較大誤差。解直角三角形的應用仰角和俯角視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角。坡角和坡度坡面與水平面的夾角叫做坡角。坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用i標志，即i=h：l,通常坡度要寫成1：m的形式，坡角的正切是坡面的坡度。方向角一般以觀測者的位置為中心將正北或正南方向為始邊旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的銳角。

三、課堂練習例1已知Rt^ABC中，NC=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中，正確的是2222A、sinB=B、cosB=c、tanB=D、cotB=3333【考點要求】本題考查銳角三角函數(shù)的概念?！舅悸伏c撥】根據(jù)題目所給條件，可畫出直角三角形，結(jié)合圖形容易判斷2是NB的正切值。【答案】選C?！痉椒c撥】部分學生會直接憑想象判斷并選擇結(jié)果,從而容易導致錯誤。突破方法：這類題目本身難度不大,但卻容易出現(xiàn)錯誤,關(guān)鍵是要畫出圖形,結(jié)合圖形進行判斷更具直觀性,可減少錯誤的發(fā)生。例2某山路坡面坡度i=1：399，某人沿此山路向上前進200米，那么他在原來基礎(chǔ)上升高了米．【考點要求】本是考查坡度與坡角正切值關(guān)系。

【思路點撥】坡度i=1：399即坡角的正切值為399，所以坡角的正弦值可求得等于20所以沿著山路前進200米，則升高200義1=10（米）?！敬鸢浮刻?0?！痉椒c撥】少數(shù)學生因為未能正確理解坡度的意義，而出現(xiàn)使用錯誤。突破方法：牢記坡度i=1：399表示坡角的正切值即坡角的對邊：坡角的鄰邊二1399然后再結(jié)合直角三角形，可求出坡角的正弦值，從而容易求得結(jié)果。例3如圖8-1,在4ABC中，NC=90°,點D在BC上，3=BC,cosZADC=5i=1：399表示坡角的正切值即坡角的對邊：坡角的鄰邊二1399然后再結(jié)合直角三角形，可求出坡角的正弦值，從而容易求得結(jié)果。例3如圖8-1,在4ABC中，NC=90°,點D在BC上，3=BC,cosZADC=5求：（1）DC的長；（2）sinB的值.【考點要求】本題考查銳三角比概念的相關(guān)知識及其簡單運4,ADBD=用?！舅悸伏c撥】（1）:在RSABC中,cosZADC=3=CD,5ADCD=3k,，AD=5kXVBC=AD,A3k+4=5k,Ak=2./.CD=3k=6(2)VBC=3k+4=6+4=10,AC=AD2—CD2=4k=8;.AB=AC2+BC2=82+102=241ACZ.sinB=AB24144141【答案】(1)CD=6;(2)441sinB=41【方法點撥】本題的關(guān)鍵是抓住“AD=BC”這一相等的關(guān)系，應用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理解題．例4如圖所示，秋千鏈子的長度為3m,【方法點撥】本題的關(guān)鍵是抓住“AD=BC”這一相等的關(guān)系，應用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理解題．例4如圖所示，秋千鏈子的長度為3m,靜止時的秋千踏板（大小忽略不計）距地面0.5m.秋千向兩邊擺動時，若最大擺角（擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角）約為53°,3m53°則秋千踏板與地面的最大距離約為多少？（參考數(shù)據(jù)：sin53°心0.8,cos53°心0.6)【考點要求】本題考查利用銳角三角比概念和解直角0.5m【考點要求】本題考查利用銳角三角比概念和解直角0.5m三角形解決實際生活中的直角三角形問題．【思路點撥】設(shè)秋千鏈子的上端固定于A處，秋千踏板擺動到最高位置時踏板位于B處.過點A,

B的鉛垂線分別為AD,BE,點D,E在地面上，過B作BCLAD于點C.在RtAABC中，:AB=3,/CAB=53。，...AC=3cos53。?3x0.6=1.8(m).CD"3+0.5—1.8=1.7(m).圖8-3-2BE=CD心1.7(m).圖8-3-2【答案】秋千擺動時踏板與地面的最大距離約為1.7m.【方法點撥】部分學生想直接求出踏板離地最高的距離即BE,但卻缺少條件。突破方法：通過作輔助線，將BE轉(zhuǎn)化到CD位置上，根據(jù)題目所給條件容易求出AC,從而可求得CD的長。解題關(guān)鍵：利用解直角三角形求解實際問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當?shù)闹苯侨切巍?考點突破方法總結(jié)銳角三角函數(shù)與解直角三角形在近年的中考中,難度比以前有所降低,與課改相一致的是提高了應用的要求,強調(diào)利用解直角三角形知識解決生活實際中的有關(guān)測量、航海、定位等方面的運用。因此,在本專題中,有以下幾點應加以注意。.正確理解銳三角函數(shù)的概念,能準確表達各三角函數(shù),并能說出常用特殊角的三角函數(shù)值。.在完成銳角三角函數(shù)的填空、選擇題時,要能根據(jù)題意畫出相關(guān)圖形,結(jié)合圖形解題更具直觀性。.能將實際問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的直角三角形問題,即把實際問題抽象為幾何問題,研究圖形,利用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等解決生活問題。.注重基礎(chǔ),不斷創(chuàng)新,掌握解直角三角形的基本技能,能靈活應對在測量、航海、定位等現(xiàn)代生活中常見問題,這也是以后中考命題的趨勢。四、課后作業(yè)一、填空題.如圖，如果4APB繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到4A，P，B,且BP=2,那么PP，的長為（不取近似值.以下數(shù)據(jù)供解題使用：sin150=6—2,cos15°=6+2）442.用計算器計算：道汕2.用計算器計算：道汕40口=.（精確到0.01）3．地間同時開工，若干天后公路準確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西度.北y東60°的方向上，則原來A的坐標為（結(jié)果保留根號）.5.3．地間同時開工，若干天后公路準確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西度.北y東60°的方向上，則原來A的坐標為（結(jié)果保留根號）.5.求值：sin260°+cos260°=如圖,在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路,從甲地測得公路的走向是北偏東48°.甲、乙兩6.7.根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，求得避雷針CD6.7.根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，求得避雷針CD的長約為m（結(jié)果精確的到0.01m）.（可用計算器在直角三角形ABC中，NA=900,BC=13,AB=12,那么tanB=求，也可用下列參考數(shù)據(jù)求：sin43°"0.6802,sin40°"0.6428,cos43°"0.7341,cos40°心0.7660tan43°心0.9325,tan40°心心0.766043°40°第6第6題圖第5題圖8.如圖，自動扶梯AB8.如圖，自動扶梯AB段的長度為20米，傾斜角A為a高度BC為米（結(jié)果用含a的三角比表示）.、選擇題9.在4ABC中，NC=90。，AC=BC=1,則tanA的值是（）C．1A．2C．110．在RSABC中2CD是斜邊AB上的高線，已知/ACD10．在RSABC中2CD是斜邊AB上的高線，已知/ACD的正弦值是3AC則方的值是(11．2A．53B．55C．22D．3如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根。的距離為2米,梯子使梯B'，A.等于1米B.大于1米。小于1米D.使梯B'，A.等于1米B.大于1米。小于1米D.不能確定舞A0題圖O12．如圖，延長Rt△ABC斜邊AB至UD點，使BD=AB連結(jié)CD若cotZBCD=3，則UtanA=(3A．2B．1C．32D．3的頂端B到地面的距離為7米.現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到A'，子的底端4到墻根O的距離等于3米，同時梯子的頂端B下降到那么BB'()、解答題13．已知等腰梯形ABCD2中，AD+BC=18cm,sinZABC=13．已知等腰梯形ABCD2中，AD+BC=18cm,sinZABC=、3，ACD第124題題圖圖與BD相交于點O,NBOC=120。，試求AB的長.BGFCE第133題圖圖.如圖，河對岸有一鐵塔AB.在C處測得塔頂A的仰角為3。°，向塔前進16米到達D，在D處測得A的仰角為45°，求鐵塔AB的高.用A%jC■D—-B.如圖，我市某廣場一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB=5m,則BC的長度是多少？現(xiàn)再在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED,那么鋼纜ED的長度為多少？（結(jié)果保留三個有效數(shù)字）【參考數(shù)據(jù)：sin40。=0.6428,cos40。=0.7660,tg40。=0.8391,ctg40。=1.1918】A?EA?E?章節(jié)檢測答案一、填空題1.6—2（點撥：連結(jié)PP,過點B作BDLPP,因為NPBP=30。，所以NPBD=15°,利用622.sin15°=62.3548（點撥：根據(jù)兩直線平行，錯角相等判斷），先求出PD,乘以2即得PP2.2.3548（點撥：根據(jù)兩直線平行，錯角相等判斷）（0,4+3<3）（點撥：過點B作BCLAO,利用勾股定理或三角函數(shù)可分別求得AC與OC的長）1（點撥：根據(jù)公式sin2a+cos2a=1）5?AC12（點撥：先根據(jù)勾股定理求得AC=5,再根據(jù)tanB=求出結(jié)果）4.86（點撥：利用正切函數(shù)分別求了BD,BC的長）….BC20sma（點撥：根據(jù)sina=，求得BC=AB?sina）AB二、選擇題CDC（點撥：利用勾股定理先求出AB的長，再求出BB'的長）A（點撥:過點D作DEXCB的延長線于點E,易證得4ACB與4DEB全等，所以NA=NBDE,BC=BE。又因為cotNBCD=3,所CE=3DE,所tanA=tanZBDE=）三、解答題解：如圖，作DE〃AC交BC的延長線于E,則四邊形ACED是平行四邊形./.AD=CE,DE=AC,易證△ABC04DCB/.AC=DB,BD=DE...△DBE為等腰三角形BE=BC+AD=18cm分別過A、D作AGLBC于G,DFLBC于FVZBDE=ZBOC=1200,AZBDF=600/.BF=—BE=9cm,AG=DF=3y3cm2，，一.「AG在Rt^ABG中，sinZABG=AB?ab=ag二江q?ab=ag二江qsin/ABG22(cm)15答：AB的長是7cm.在Rt^ABD中，?.?/ADB=45°,，BD=AB.在Rt^ABC中，VZACB=30°,，BC=<3AB.設(shè)AB=x(米)，?.?CD=16,，BC=x+16.，x+16=J3x

nx=nx=16=8（3+1）.3-1即鐵塔AB的高為83+1）米.在Rt^BCD中，:BD=5,，BC=5tg40。=4.1955心4.20.在Rt△BCD中，BE=BC+CE=6.20,；.DE=BE2+DB2=38.44+25=63.44心7.96答：BC的長度約為4.20m，鋼纜ED的長度約7.96m.（若BC=4.1955暫不扣分，但是ED的長度未保留三個有效數(shù)字扣1分）8.近三年中考數(shù)學關(guān)于銳角三角比題型年份考點分值2008年銳角三角比的概念、坡度14（8）2009年銳角三角比的概念10（5）2010年銳角三角比的概念、解直角三角形24（16）2008（4分）318.在△ABC中，AB=AC=5,cosB=5（如圖6）.如果圓O的半徑為10，且經(jīng)過點B,C,那么線段AO的長等于^C圖C圖62008（10分）21.（本題滿分10分，第（1）小題滿分3分，第（2）小題滿分7分）“創(chuàng)意設(shè)計”公司員工小王不慎將墨水潑在一設(shè)計圖紙上，導致其中部分圖形和數(shù)據(jù)看不清楚（如圖7所示）.已知圖紙上的圖形是某建筑物橫斷面的示意圖，它是以圓O的半徑OC所在的直線為對稱軸的軸對稱圖形，A是OD與圓O的交點.HAOCDEAg7CE=5OC-i-DEr-|:0.75圖8HAOCDEAg7CE=5OC-i-DEr-|:0.75圖8圖7（1）請你幫助小王在圖8中把圖形補畫完整；（2）由于圖紙中圓O的半徑廠的值已看不清楚，根據(jù)上述信息（圖紙中i=1:0.75是坡面CE的坡度），求r的值.2009（102009（10分）2010（10分）2010（10分）21.（本題滿分10分，每小題滿分各5分）如圖4,在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=8,/B=60°BC=12，聯(lián)結(jié)AC.求tan/ACB的值；若M、N分別是AB.DC的中點，聯(lián)結(jié)MN，求線段MN的長.21.機器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走“，如圖5所示，“海寶”從圓心O出發(fā)，先沿北偏西67.4°方向行走13米至點A處，再沿正南方向行走14米至點B處，最后沿正向行走至點C處，點B、C都在圓。上.（1）求弦BC的長；（2）求圓。的半徑長.（本題參考數(shù)據(jù)：sin67.4°=,cos67.4°=4,13132010（14分）25.如圖9,在Rt△ABC中，NACB=90°.半徑為1的圓A與邊AB相交于點D,與邊AC相交于點E,連結(jié)DE并延長，與線段BC的延長線交于點P.（1）當NB=30。時，連結(jié)AP,若^AEP與△BDP相似，求CE的長；（2）若CE=2,BD=BC,求NBPD的正切值；

設(shè)CE二x,^ABC的周長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(3)若tan/BPD=(3)若tan/BPD=；,圖11(備圖10(備用)考點一、銳角三角比的概念：TOC\o"1-5"\h\z.在Rt^ABC中，NC=90。，那么AC等于().BC(A)tanA；(B)cotA；(C)sinA；(D)cosA..Rt^ABC中，NC=90。，若AC=a，/A=0，則AB的長為()aa(A)a.sin0；(B)a.c0s0；(C)sin0；(D)c0s0..如圖，在^ABC中，AB=2,AC=3,BC=4,則tanC的值是()(A)0；(B)3；(C)。；(D)以上都不是.243A考點二、特殊銳角的三角比值：1cot30°-9(兀-tan60°)o2-sin45°cot30°-9(兀-tan60°)o2-sin45°2.求值:2cos230°-sin30°tan260°-4sin45°-4cot45°-cos45°2.如圖，矩形2.如圖，矩形ABCD中，AB=3sin60°+3tan30°-cos60°3.求值：(1—2cot45°)cot30°考點三、銳角三角比的計算：1.如圖，在△ABC中，AB=AC,BD、CE分別為兩腰上的中線，且BDLCE,貝Utan/ABC=B恰好落在對角線AC上，記作B,(1)求BE的長；(2)連接DB/,求cotNB’DC的值.

.如圖，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,NADB=45ABEC翻折梯形ABCD,使點B重合于點D,折痕分別交邊AB、FABECBC于F、E，若AD=6,BC=14,求：（1）BE的長；NC的余切值..如圖，在4ABC中，ZACB=9(°,AAC二BC,P是4ABC一點，且ZAPB=ZAPC=1：5°.求證：ACPAsAAPB試求tanNPCB的值.考點四、仰角、俯角與坡度、坡角：.某飛機的飛行高度為m,從飛機上測得地面控制點的俯角為a,那么飛機到控制點的距離是.（用m與含a的三角比表示）.某山路的路面坡度為1:445，若沿此山路向上前進90米，則升高了米.

.一個小球由地面沿著坡度1:2的坡面向上前進了10米，此時小球距離地面的高度為米..修筑一坡度為3:4的大壩，如果設(shè)大壩斜坡的坡角為a，那么Na的正切值是……().(C)(D)45;(C)(D)考點五、解直角三角形及應用：.底角為15°,腰長為6的等腰三角形的面積是..如圖，A,B,C三點在同一平面，從山腳纜車站A測得山頂C的仰角為45°,測得另一纜車站B的仰角為30°,AB間纜繩長500米(自然彎曲忽略不計).(v：3處1.73,精確到1米)求纜車站B與纜車站