chapter向量與向量空間小結(jié)實(shí)用

會(huì)計(jì)學(xué)1chapter向量與向量空間小結(jié)實(shí)用一、內(nèi)容小結(jié)向量的線性運(yùn)算向量的表示法向量積數(shù)量積混合積向量的積向量概念1.向量代數(shù)第1頁(yè)/共54頁(yè)(1)向量的概念定義:既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、相等向量、負(fù)向量、向徑.重要概念:零向量、向量的模、單位向量、平行向量、第2頁(yè)/共54頁(yè)1)加法：(2)向量的線性運(yùn)算2)減法：3)向量與數(shù)的乘法：第3頁(yè)/共54頁(yè)向量的分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：(3)向量的表示法向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式第4頁(yè)/共54頁(yè)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式第5頁(yè)/共54頁(yè)(4)數(shù)量積（點(diǎn)積、內(nèi)積）數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式第6頁(yè)/共54頁(yè)(5)向量積（叉積、外積）向量積的坐標(biāo)表達(dá)式//第7頁(yè)/共54頁(yè)(6)混合積第8頁(yè)/共54頁(yè)2.空間解析幾何平面點(diǎn)法式方程一般方程三點(diǎn)方程截距式方程平面束方程直線一般方程參數(shù)方程兩點(diǎn)方程對(duì)稱式方程第9頁(yè)/共54頁(yè)(1)直線及其方程第10頁(yè)/共54頁(yè)(2)平面及其方程第11頁(yè)/共54頁(yè)(3)化空間直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程由對(duì)稱式方程可得所求.第12頁(yè)/共54頁(yè)(4)距離第13頁(yè)/共54頁(yè)第14頁(yè)/共54頁(yè)(5)平面及直線間的位置關(guān)系平面與平面:第15頁(yè)/共54頁(yè)直線與直線:^第16頁(yè)/共54頁(yè)平面與直線:已知與L,求交點(diǎn):從而可得交點(diǎn).第17頁(yè)/共54頁(yè)(6)投影及公垂線問(wèn)題點(diǎn)在直線或平面上的投影.點(diǎn)關(guān)于直線或平面的對(duì)稱點(diǎn).直線在平面上的投影.兩異面直線的公垂線:第18頁(yè)/共54頁(yè)3.n維向量組及相關(guān)概念(1)線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)．結(jié)論1結(jié)論2第19頁(yè)/共54頁(yè)結(jié)論3結(jié)論4.

一個(gè)向量線性相關(guān).結(jié)論5.兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)分量成比例.結(jié)論6.

含有零向量的向量組線性相關(guān).結(jié)論7第20頁(yè)/共54頁(yè)結(jié)論8.

結(jié)論9.

等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量.結(jié)論10.

nk個(gè)n維向量必線性相關(guān).(2)向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組

定義第21頁(yè)/共54頁(yè)結(jié)論1.

最大線性無(wú)關(guān)組不唯一.結(jié)論2.

向量組與任一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組等價(jià).結(jié)論3.

向量組的任兩個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組等價(jià).結(jié)論4.

一個(gè)向量組中,任意兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相同.定義向量組T中最大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)叫做向量組T的秩.記為rank(T).(3)向量空間

定義設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合為向量空間．第22頁(yè)/共54頁(yè)(4)Schimidt正交化方法……第23頁(yè)/共54頁(yè)二、題型及方法1.向量的運(yùn)算及應(yīng)用2.求空間直線方程3.求平面方程4.求距離5.求投影6.討論向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)7.求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組8.將線性無(wú)關(guān)向量組正交化單位化第24頁(yè)/共54頁(yè)1.向量的運(yùn)算及應(yīng)用Solution.第25頁(yè)/共54頁(yè)Solution.可設(shè)其單位向量為得其單位向量為:故所求向量為:第26頁(yè)/共54頁(yè)Solution.第27頁(yè)/共54頁(yè)Solution.第28頁(yè)/共54頁(yè)Solution.第29頁(yè)/共54頁(yè)Solution.第30頁(yè)/共54頁(yè)第31頁(yè)/共54頁(yè)Solution.第32頁(yè)/共54頁(yè)第33頁(yè)/共54頁(yè)Method1.解得(x,y,z)即為所求.Method2.第34頁(yè)/共54頁(yè)第35頁(yè)/共54頁(yè)2.求空間直線方程與平面方程Solution.可設(shè)平面方程為第36頁(yè)/共54頁(yè)Solution.由點(diǎn)法式得，也可用一般式方程來(lái)解.第37頁(yè)/共54頁(yè)Solution.第38頁(yè)/共54頁(yè)Method1.Method2.所求平面的法向量為第39頁(yè)/共54頁(yè)Solution.故所求直線方程為:第40頁(yè)/共54頁(yè)Method1.先作一過(guò)點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令第41頁(yè)/共54頁(yè)代入平面方程得,交點(diǎn)取所求直線的方向向量為所求直線方程為第42頁(yè)/共54頁(yè)Method2.由于與已知直線垂直相交得,第43頁(yè)/共54頁(yè)Solution.第44頁(yè)/共54頁(yè)3.求距離與投影

Solution.第45頁(yè)/共54頁(yè)公垂線方程為:第46頁(yè)/共54頁(yè)Solution.第47頁(yè)/共54頁(yè)4.討論向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)Proof.第48頁(yè)/共54頁(yè)另解所以結(jié)論成立.第49頁(yè)/共54頁(yè)5.求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組Solution.第5