ch雙曲型方程的差分方法實(shí)用

會(huì)計(jì)學(xué)1ch雙曲型方程的差分方法實(shí)用第1頁(yè)/共38頁(yè)采用對(duì)流方程開(kāi)始研究雙曲型方程的數(shù)值解法的原因：第一、對(duì)流方程非常簡(jiǎn)單，對(duì)它的研究是探討更復(fù)雜的雙曲型方程（組）的基礎(chǔ)。第二、盡管對(duì)流方程簡(jiǎn)單，但是通過(guò)它可以看到雙曲方程在數(shù)值計(jì)算中特有的性質(zhì)和現(xiàn)象。第三，利用它的特殊的、復(fù)雜的初值給定，完全可以用來(lái)檢驗(yàn)數(shù)值方法的效果和功能。第四、它的差分格式可以推廣到變系數(shù)雙曲方程（組）以及非線性雙曲方程領(lǐng)域。第2頁(yè)/共38頁(yè)幾種典型的差分格式迎風(fēng)格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式Courant-Friedrichs-Lewy條件利用特征線構(gòu)造差分格式隱式格式蛙跳格式第3頁(yè)/共38頁(yè)迎風(fēng)格式的思想:在對(duì)微商進(jìn)行近似的時(shí)候,關(guān)于空間導(dǎo)數(shù)用在特征線方向一側(cè)的單邊差商來(lái)代替，于是有如下格式：1、迎風(fēng)格式第4頁(yè)/共38頁(yè)第5頁(yè)/共38頁(yè)迎風(fēng)格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，一階精度，截?cái)嗾`差為：2、條件穩(wěn)定的，穩(wěn)定性條件為：3、條件收斂的，收斂條件為：第6頁(yè)/共38頁(yè)所以此格式絕對(duì)不穩(wěn)定.2、Lax-Friedrichs格式

第7頁(yè)/共38頁(yè)第8頁(yè)/共38頁(yè)第9頁(yè)/共38頁(yè)Lax-Friedrichs格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，一階精度，截?cái)嗾`差為：2、條件穩(wěn)定的，穩(wěn)定性條件為：3、條件收斂的，收斂條件為：第10頁(yè)/共38頁(yè)兩種格式的比較:1、它們的精度都是一階的精度,在實(shí)際應(yīng)用中,L-F格式可以不考慮對(duì)應(yīng)方程的特征線的走向,而迎風(fēng)格式卻要考慮其走向.注、如果迎風(fēng)格式寫(xiě)成統(tǒng)一格式,也不必考慮特征線走向，但多了絕對(duì)值的計(jì)算。第11頁(yè)/共38頁(yè)2、比較截?cái)嗾`差第12頁(yè)/共38頁(yè)L-F格式的右端項(xiàng)：第13頁(yè)/共38頁(yè)第14頁(yè)/共38頁(yè)3、Lax-Wendroff格式1960年Lax和Wendroff構(gòu)造了一個(gè)二階精度的二層格式。構(gòu)造的思想是利用Taylor展開(kāi)式及方程本身。第15頁(yè)/共38頁(yè)代入上面的式子,于是有第16頁(yè)/共38頁(yè)得到：略去高階項(xiàng)得到差分方程：Lax-Wendroff格式第17頁(yè)/共38頁(yè)利用Fourier方法分析穩(wěn)定性，得增長(zhǎng)因子為：第18頁(yè)/共38頁(yè)Lax-Wendroff格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，二階精度，截?cái)嗾`差為：2、條件穩(wěn)定的，穩(wěn)定性條件為：3、條件收斂的，收斂條件為：第19頁(yè)/共38頁(yè)4、Courant-Friedrichs-Lewy條件

由差分方程解的依賴區(qū)域與微分方程解的依賴區(qū)域的關(guān)系導(dǎo)出的差分方程收斂的必要條件注：即差分方程解的依賴區(qū)域包含微分方程解的依賴區(qū)域第20頁(yè)/共38頁(yè)注、Courant條件是保證穩(wěn)定性（收斂性）的必要條件，而非充分條件。例如：針對(duì)一維對(duì)流方程的差分格式的CFL條件（a>0）右偏格式：顯然，微分方程的依賴區(qū)域在差分方程的依賴區(qū)域之外，不滿足CFL條件，所以格式不穩(wěn)定。左偏格式（迎風(fēng)格式）：實(shí)際上也是穩(wěn)定性的充分條件第21頁(yè)/共38頁(yè)中心格式：格式不穩(wěn)定,所以CFL條件不是穩(wěn)定性的充分條件

Lax-Wendroff格式：實(shí)際上也是穩(wěn)定性的充分條件第22頁(yè)/共38頁(yè)5、利用特征線構(gòu)造差分格式

第23頁(yè)/共38頁(yè)第24頁(yè)/共38頁(yè)第25頁(yè)/共38頁(yè)第26頁(yè)/共38頁(yè)Beam-Warming格式

第27頁(yè)/共38頁(yè)第28頁(yè)/共38頁(yè)6、隱式格式

①隱式中心第29頁(yè)/共38頁(yè)隱式中心格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，對(duì)時(shí)間一階，對(duì)空間二階精度，截?cái)嗾`差為：2、無(wú)條件穩(wěn)定3、無(wú)條件收斂注、計(jì)算上需要人工邊界條件第30頁(yè)/共38頁(yè)②第31頁(yè)/共38頁(yè)Grank-Nicolson格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，二階精度，截?cái)嗾`差為：2、無(wú)條件穩(wěn)定3、無(wú)條件收斂注、計(jì)算上需要人工邊界條件第32頁(yè)/共38頁(yè)7、蛙跳（leap－frog）格式

第33頁(yè)/共38頁(yè)分析穩(wěn)定性的Fourier方法適用于二層格式，所以把三層格式化為二層格式第34頁(yè)/共38頁(yè)注：容易驗(yàn)證增長(zhǎng)矩陣不是正規(guī)矩陣，所以Neumann條件是滿足穩(wěn)定性的必要條件。第35頁(yè)/共38頁(yè)第36頁(yè)/共38頁(yè)蛙跳格式的性質(zhì)：1、滿足相容性，二階精度，