D102對(duì)坐標(biāo)曲線積分28339

會(huì)計(jì)學(xué)1D102對(duì)坐標(biāo)曲線積分283391)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在第1頁/共26頁3)“近似和”4)“取極限”(其中為n

個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)第2頁/共26頁2.定義.設(shè)

L

為xoy

平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對(duì)L的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作第3頁/共26頁若為空間曲線弧,記稱為對(duì)x的曲線積分;稱為對(duì)y的曲線積分.若記,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地,第4頁/共26頁3.性質(zhì)(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!第5頁/共26頁二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明:

下面先證存在,且有第6頁/共26頁對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義由于對(duì)應(yīng)參數(shù)因?yàn)長(zhǎng)為光滑弧,同理可證第7頁/共26頁特別是,如果L

的方程為則對(duì)空間光滑曲線弧:類似有第8頁/共26頁例1.

計(jì)算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.第9頁/共26頁例2.

計(jì)算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則第10頁/共26頁例3.

計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第11頁/共26頁例4.

設(shè)在力場(chǎng)作用下,質(zhì)點(diǎn)由沿移動(dòng)到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.其中為第12頁/共26頁例5.

求其中從

z

軸正向看為順時(shí)針方向.解:取的參數(shù)方程第13頁/共26頁三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L

以弧長(zhǎng)為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系第14頁/共26頁類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為第15頁/共26頁二者夾角為例6.

設(shè)曲線段L

的長(zhǎng)度為s,證明續(xù),證:設(shè)說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連第16頁/共26頁例7.將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解：其中L沿上半圓周第17頁/共26頁1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)第18頁/共26頁3.計(jì)算?對(duì)有向光滑弧?

對(duì)有向光滑弧第19頁/共26頁4.兩類曲線積分的聯(lián)系?

對(duì)空間有向光滑弧

:第20頁/共26頁原點(diǎn)O

的距離成正比,思考與練習(xí)1.設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時(shí)針移動(dòng)到提示:(解見P139例5)F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則第21頁/共26頁2.已知為折線ABCOA(如圖),計(jì)算提示:第22頁/共26頁備用題1.解:線移動(dòng)到向坐標(biāo)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到xoy

面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F

作用下由點(diǎn)第23頁/共26頁2.設(shè)曲線C為曲面與曲