D122數(shù)項級數(shù)及審斂法40137

會計學(xué)1D122數(shù)項級數(shù)及審斂法40137都有定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)證:設(shè)對一切收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級數(shù)和強(qiáng)級數(shù)的部分和,則有是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨第1頁/共31頁(1)若強(qiáng)級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)若弱級數(shù)因此這說明強(qiáng)級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,弱級數(shù)第2頁/共31頁例1.

討論p

級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,第3頁/共31頁因為當(dāng)故考慮強(qiáng)級數(shù)的部分和故強(qiáng)級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.時,2)若第4頁/共31頁調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切第5頁/共31頁證明級數(shù)發(fā)散.證:

因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例2.第6頁/共31頁定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:

據(jù)極限定義,設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時,第7頁/共31頁由定理

2

可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時,即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時,(2)當(dāng)l=

0時,由定理2知收斂,若第8頁/共31頁是兩個正項級數(shù),(1)當(dāng)時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;2)特別取可得如下結(jié)論:對正項級數(shù)(2)當(dāng)且收斂時,(3)當(dāng)且發(fā)散時,也收斂;也發(fā)散.注:1)un,vn均為無窮小時,l

的值反映了它們不同階的比較.第9頁/共31頁的斂散性.

～例3.

判別級數(shù)的斂散性.

解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～第10頁/共31頁定理4

.

比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知第11頁/共31頁因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)說明:

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而第12頁/共31頁例5.

討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;第13頁/共31頁對任意給定的正數(shù)*定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.級數(shù),且第14頁/共31頁時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第15頁/共31頁例6.

證明級數(shù)收斂于S,似代替和S

時所產(chǎn)生的誤差.解:

由定理5可知該級數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計以部分和Sn

近第16頁/共31頁二、交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足第17頁/共31頁證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故第18頁/共31頁收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂第19頁/共31頁三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂

.則稱原級第20頁/共31頁定理7.

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令第21頁/共31頁例7.

證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.第22頁/共31頁(2)令因此收斂,絕對收斂.小結(jié)第23頁/共31頁其和分別為*四、絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)

*定理8.

絕對收斂級數(shù)不因改變項的位置而改變其和.(P263定理9)(證明見P263～P266)*定理9.

(絕對收斂級數(shù)的乘法)則對所有乘積按任意順序排列得到的級數(shù)也絕對收斂,設(shè)級數(shù)與都絕對收斂,其和為(P265定理10)說明:絕對收斂級數(shù)有類似有限項和的性質(zhì),

但條件收斂級數(shù)不具有這兩條性質(zhì).絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)具有完全不同的性質(zhì).第24頁/共31頁內(nèi)容小結(jié)2.判別正項級數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限第25頁/共31頁3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂第26頁/共31頁思考與練習(xí)設(shè)正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.第27頁/共31頁

作業(yè)

P2661(1),(3),(5);

2(2),(3),(4);

*3(1),(2);

4(1),(3),(5),(6);

5(2),(3),(5)第三節(jié)第28頁/共31頁備用題1.

判別級數(shù)的斂散性:解:

(1)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散