D14無窮小量與無窮大量

會(huì)計(jì)學(xué)1D14無窮小量與無窮大量定義1.

若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)為時(shí)的無窮小量,簡稱無窮小

.以零為極限的數(shù)列也是當(dāng)n→∞時(shí)的無窮小第1頁/共23頁定義1.

若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)為時(shí)的無窮小量,簡稱無窮小

.說明:除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小

!因?yàn)楫?dāng)時(shí),顯然C

只能是0!CC注意:

函數(shù)是否為無窮小與自變量的變化趨勢有關(guān)!第2頁/共23頁其中(x)

為一個(gè)無窮小定理1.

(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:僅就的情形證明,其他情形類似.必要性設(shè),則令則其中(x)

是當(dāng)?shù)臒o窮小,并且充分性設(shè),(x)

是當(dāng)?shù)臒o窮小則第3頁/共23頁(1)有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量;定理2.

自變量相同變化趨勢的無窮小量有如下性質(zhì):證:由已知,f在x0處是局部有界的,故(2)有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量;恒有從而故所以(x)

f(x)

是當(dāng)時(shí)的無窮小.(x)

是當(dāng)?shù)臒o窮小,定理3.

設(shè)f是在x0處局部有界的函數(shù),則(x)

f(x)

是當(dāng)時(shí)的無窮小.第4頁/共23頁(1)有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量;(2)有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量;(x)

是當(dāng)?shù)臒o窮小,定理3.

設(shè)f是在x0處局部有界的函數(shù),則(x)

f(x)

是當(dāng)時(shí)的無窮小.(x)

是當(dāng)?shù)臒o窮小,定理.

設(shè)f是在內(nèi)有界(即)則(x)

f(x)

是當(dāng)時(shí)的無窮小.定理2.

自變量相同變化趨勢的無窮小量有如下性質(zhì):第5頁/共23頁設(shè)α(x)與β(x)是自變量x有相同變化趨勢的無窮小,且β(x)≠0.

定義2(無窮小的階).

則稱α(x)是β(x)的高階無窮小,記作(或當(dāng)α(x)≠0時(shí),稱β(x)是α(x)的低階無窮小)且c≠0為常數(shù),稱α(x)與β(x)是同階無窮小;則稱α(x)與β(x)是等價(jià)無窮小,記作第6頁/共23頁則稱α(x)是關(guān)于β(x)的k階無窮小,特別取β(x)=x-x0,若則稱α(x)是當(dāng)x→x0時(shí)的k階無窮小.例1.

當(dāng)x→0時(shí),試比較下列無窮小的階:第7頁/共23頁解:解:第8頁/共23頁解:解:第9頁/共23頁由上例中(2)(3)(4)可得,當(dāng)x→0時(shí),根據(jù)高階無窮小的定義,上式還可以表示為:當(dāng)x→0時(shí),注意:并非每個(gè)無窮小都有階數(shù),比如當(dāng)x→0時(shí),第10頁/共23頁例2.

證明:當(dāng)時(shí),～證:～第11頁/共23頁證明提示:二、無窮小的等價(jià)代換定理4

.

設(shè)α(x)與β(x),都是自變量有相同變化趨勢的無窮小,若并且則并且第12頁/共23頁例3.

利用無窮小等價(jià)代換定理求以下極限解:因?yàn)樗缘?3頁/共23頁(2)解:原式注意:應(yīng)用無窮小等價(jià)代換定理求極限時(shí),只能對待求極限函數(shù)中的無窮小因子進(jìn)行.若待求極限的函數(shù)表達(dá)式中含有函數(shù)的加減法運(yùn)算,則不能對其中的相加與相減的無窮小項(xiàng)進(jìn)行等價(jià)代換.第14頁/共23頁(3)解:第15頁/共23頁三、無窮大量(絕對值無限趨大的變量)定義3.

設(shè)是一個(gè)函數(shù),若即當(dāng)則稱函數(shù)f(x)是當(dāng)時(shí)的無窮大量,簡稱無窮大

.時(shí),恒有定義3’.

設(shè)是一個(gè)函數(shù),若即當(dāng)則稱函數(shù)f(x)是當(dāng)時(shí)的無窮大量,簡稱無窮大

.時(shí),恒有若在定義中改為則記作第16頁/共23頁注意:1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,

函數(shù)但不是無窮大!第17頁/共23頁例4.證明證:

任給正數(shù)

M,要使即只要取則對滿足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.鉛直漸近線說明:第18頁/共23頁若則稱直線為曲線的水平漸近線.如下圖第19頁/共23頁若為無窮小,且則為無窮大.若為無窮大,為無窮小;則據(jù)此定理(1),關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.定理5.

在自變量的相同變化趨勢下,有下述結(jié)論:說明:(1)有限個(gè)無窮大量的乘積是無窮大量;(3)無窮大量與有界量之和是無窮大量.第20頁/共23頁兩個(gè)無窮大量的代數(shù)和不一定是無窮大量;無窮大量與有界量的乘積不一定是無窮大量.注意:大O記號設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)定義在x0的某去心鄰域中,