ARMA模型的概念和構(gòu)造課件

ARMA模型的概念和構(gòu)造

1一、ARIMA模型的基本內(nèi)涵一、ARMA模型的概念自回歸移動(dòng)平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,簡(jiǎn)記為ARMA模型），由因變量對(duì)它的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值回歸得到。包括移動(dòng)平均過(guò)程（MA）、自回歸過(guò)程（AR）、自回歸移動(dòng)平均過(guò)程（ARMA）。2ARIMA模型的概念一.移動(dòng)平均過(guò)程1.移動(dòng)平均（MA）過(guò)程的表示：其中u為常數(shù)項(xiàng)，為白噪音過(guò)程引入滯后算子L，原式可以寫(xiě)成:

或者

3ARIMA模型的概念2.MA（q）過(guò)程的特征1.2.3.自協(xié)方差①當(dāng)k>q時(shí)＝0②當(dāng)k<q時(shí)對(duì)于任意的，MA(q)是平穩(wěn)的。

4ARIMA模型的概念二.自回歸（AR）過(guò)程1.自回歸（AR）過(guò)程表示為：

其中為為白噪音過(guò)程引入滯后算子，則原式可寫(xiě)成

其中5ARIMA模型的概念2.AR(p)過(guò)程平穩(wěn)的條件如果特征方程：的根全部落在單位圓之外，則該AR(p)過(guò)程是平穩(wěn)的

6ARIMA模型的概念3.AR(p)過(guò)程的特征

=0，的無(wú)條件期望是相等的，若設(shè)為u，則得到:7ARIMA模型的概念……將上述p+1個(gè)方程聯(lián)立，得到所謂的Yule-Walker方程組，共p+1個(gè)方程，p+1個(gè)未知數(shù)，得出AR（p）過(guò)程的方差及各級(jí)協(xié)方差。8ARIMA模型的概念三.自回歸移動(dòng)平均（ARMA）過(guò)程1.ARMA過(guò)程的形式其中為白噪音過(guò)程。若引入滯后算子，可以寫(xiě)成其中9ARIMA模型的概念2.ARMA過(guò)程平穩(wěn)性的條件ARMA過(guò)程的平穩(wěn)性取決于它的自回歸部分。當(dāng)滿足條件：

特征方程的根全部落在單位圓以外時(shí)，ARMA(p,q)是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。10ARIMA模型的概念念3.ARMA(p,q)過(guò)程的特征征1）2）ARMA(p,q)過(guò)程的方差差和協(xié)方差差11ARIMA模型的概念念四.AR、MA過(guò)程的相互互轉(zhuǎn)化結(jié)論一：平平穩(wěn)的AR(p)過(guò)程可以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)MA(∞)過(guò)程，可采采用遞歸迭迭代法完成成轉(zhuǎn)化結(jié)論二：特特征方程根根都落在單單位圓外的的MA(q)過(guò)程具有可可逆性平穩(wěn)性和可可逆性的概概念在數(shù)學(xué)學(xué)語(yǔ)言上是是完全等價(jià)價(jià)的，所不不同的是，，前者是對(duì)對(duì)AR過(guò)程而言的的，而后者者是對(duì)MA過(guò)程而言的的。12二、Box-Jenkins方法論論建立回回歸模模型時(shí)時(shí)，應(yīng)應(yīng)遵循循節(jié)儉儉性(parsimony)的原則則博克斯斯和詹詹金斯斯(BoxandJenkins)提出了了在節(jié)節(jié)儉性性原則則下建建立ARMA模型的的系統(tǒng)統(tǒng)方法法論,即Box-Jenkins方法論論13Box-Jenkins方法論論Box-Jenkins方法法論的的步步驟：步驟1：模型型識(shí)別別步驟2：模型型估計(jì)計(jì)步驟3：模型型的診診斷檢檢驗(yàn)步驟4：模型型預(yù)測(cè)測(cè)14三、ARMA模模型的的識(shí)別別、估估計(jì)、、診斷斷、預(yù)預(yù)測(cè)(一).ARMA模模型的的識(shí)別別1.識(shí)別ARMA模模型的的兩個(gè)個(gè)工具具：自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)(autocorrelationfunction,簡(jiǎn)記記為ACF）；；偏自相相關(guān)函函數(shù)(partialautocorrelationfunction,簡(jiǎn)簡(jiǎn)記為為PACF)以及它它們各各自的的相關(guān)關(guān)圖（（即ACF、PACF相相對(duì)于于滯后后長(zhǎng)度度描圖圖）。15ARMA模模型的的識(shí)別別2.自自相相關(guān)函函數(shù)和和偏自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)的概概念①自相相關(guān)函函數(shù)過(guò)程的的第j階自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)即，，自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)記為為ACF(j)。。②偏自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)偏自相相關(guān)系系數(shù)度量了了消除除中間間滯后后項(xiàng)影影響后后兩滯滯后變變量之之間的的相關(guān)關(guān)關(guān)系系。偏偏自相相關(guān)函函數(shù)記記為PACF(j)16ARMA模模型的的識(shí)別別③自相相關(guān)函函數(shù)和和偏自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)的聯(lián)聯(lián)系2階以以上的的偏自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)計(jì)算算公式式較為為復(fù)雜雜，這這里不不再給給出。。17ARMA模模型的的識(shí)別別2.MA、AR、、ARMA過(guò)程程自相相關(guān)函函數(shù)及及偏自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)的特特點(diǎn)⑴MA(q)過(guò)程程的自自相關(guān)關(guān)函數(shù)數(shù)1≤j≤qj>q時(shí)，，ACF(j)=0，此此現(xiàn)象象為截截尾，，是MA(q)過(guò)程程的一一個(gè)特特征如下圖圖：18ARMA模模型的的識(shí)別別MA（（2））過(guò)程程19ARMA模模型的的識(shí)別別⑵AR(p)過(guò)程程的偏偏自相相關(guān)函函數(shù)時(shí)，偏偏自相相關(guān)函函數(shù)的的取值值不為為0時(shí)，偏偏自相相關(guān)函函數(shù)的的取值值為0AR(p)過(guò)過(guò)程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)p階階截截尾尾如下下圖圖：：20ARMA模模型型的的識(shí)識(shí)別別21ARMA模模型型的的識(shí)識(shí)別別22ARMA模模型型的的識(shí)識(shí)別別⑶AR(p)過(guò)過(guò)程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)以以及及MA(q)過(guò)過(guò)程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)平穩(wěn)穩(wěn)的的AR(P)過(guò)過(guò)程程可可以以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為一一個(gè)個(gè)MA(∞∞））過(guò)過(guò)程程，，則則AR(P)過(guò)過(guò)程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)是是拖拖尾尾的的一個(gè)個(gè)可可逆逆的的MA(q)過(guò)過(guò)程程可可轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為一一個(gè)個(gè)AR(∞∞））過(guò)過(guò)程程，，因因此此其其偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)是是拖拖尾尾的的。。23ARMA模模型型的的識(shí)識(shí)別別⑷ARMA(p,q)過(guò)過(guò)程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)和和偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)ARMA過(guò)過(guò)程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)和和偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)都都是是拖拖尾尾的的如下下圖圖：：24ARIMA模模型型的的識(shí)識(shí)別別25ARMA模模型型的的識(shí)識(shí)別別3.利利用用自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)、、偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)ARMA模模型型進(jìn)進(jìn)行行識(shí)識(shí)別別⑴通通過(guò)過(guò)ADF檢檢驗(yàn)驗(yàn)，，來(lái)來(lái)判判斷斷序序列列過(guò)過(guò)程程的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性；；⑵利利用用自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)、、偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)以以及及它它們們的的圖圖形形來(lái)來(lái)確確定定p,q的的值值。。26（二二））ARMA模模型型的的估估計(jì)計(jì)ARMA模模型型的的估估計(jì)計(jì)方方法法：：矩估估計(jì)計(jì)極大大似似然然估估計(jì)計(jì)非線線性性估估計(jì)計(jì)最小小二二乘乘估估計(jì)計(jì)27（三三））ARMA模模型型的的診診斷斷一.診診斷斷的的含含義義二.診診斷斷的的方方法法三.檢檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量Box和和Pierce提提出出的的Q統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量Ljung和和Box(1978)提提出出的的LB統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量。28ARIMA模模型型的的診診斷斷1.Q統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量，近近似似服服從從（（大大樣樣本本中中））分布布其中中n為為樣樣本本容容量量，，m為為滯滯后后長(zhǎng)長(zhǎng)度度2.LB統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量，服從從分分布布，，其其中n為為樣樣本本容容量量，，m為為滯滯后后長(zhǎng)長(zhǎng)度度。。3.LB統(tǒng)計(jì)計(jì)量的的特點(diǎn)點(diǎn)29ARMA模模型的的診斷斷四.信信息息準(zhǔn)則則(informationcriteria)Akaike信信息息準(zhǔn)則則Schwarz信信息準(zhǔn)準(zhǔn)則Hannan-Quinn信信息息準(zhǔn)則則其中為為殘差差平方方，是是所有有估計(jì)計(jì)參數(shù)數(shù)的個(gè)個(gè)數(shù)，，T為為樣本本容量量。30ARMA模模型的的預(yù)測(cè)測(cè)一.基基于于AR模型型的預(yù)預(yù)測(cè)以平穩(wěn)穩(wěn)的AR(2)過(guò)程程為例例：其中為為零零均值值白噪噪音過(guò)過(guò)程……31ARMA模模型的的預(yù)測(cè)測(cè)在t時(shí)時(shí)刻，，預(yù)測(cè)測(cè)的的值：：=在t時(shí)時(shí)刻，，預(yù)測(cè)測(cè)的的值：：同理：：…結(jié)論32ARMA模模型的的預(yù)測(cè)測(cè)二.基基于于MA過(guò)程程的預(yù)預(yù)測(cè)過(guò)程結(jié)論：：MA(2)過(guò)過(guò)程程僅有有2期期的記記憶力力33ARMA模模型的的預(yù)測(cè)測(cè)三.基基于于ARMA過(guò)程程的預(yù)預(yù)測(cè)結(jié)合對(duì)對(duì)AR過(guò)程程和MA過(guò)過(guò)程進(jìn)進(jìn)行預(yù)預(yù)測(cè)ARMA模模型一一般用用于短短期預(yù)預(yù)測(cè)34五、實(shí)實(shí)例：：ARMA模型型在金金融數(shù)數(shù)據(jù)中中的應(yīng)應(yīng)用數(shù)據(jù)：1991年年1月月到2005年年1月月的我我國(guó)貨貨幣供供應(yīng)量量（廣廣義貨貨幣M2））的月月度時(shí)時(shí)間序序列數(shù)數(shù)據(jù)目的：說(shuō)明明在在Eviews5.0軟軟件件中中利利用用B-J方方法法論論建建立立合合適適的的ARIMA（（p,d,q））模模型型35A