2022河北省唐山市第九十九中學高三數(shù)學文期末試題含解析

2022河北省唐山市第九十九中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.把標號為1，2，3，4的四個小球分別放入標號為1，2，3，4的四個盒子中，每個盒子只放一個小球，則1號球不放入1號盒子的方法共有（）A.18種 B.9種 C.6種 D.3種參考答案：A【分析】先確定1號盒子的選擇情況，再確定2、3、4號盒子的選擇情況，根據(jù)分步計數(shù)原理即可求解?！驹斀狻坑捎?號球不放入1號盒子，則1號盒子有2、3、4號球三種選擇，還剩余三個球可以任意放入2、3、4號盒子中，則2號盒子有三種選擇，3號盒子還剩兩種選擇，4號盒子只有一種選擇，根據(jù)分步計數(shù)原理可得1號球不放入1號盒子的方法有種。故答案選A?！军c睛】本題考查排列組合問題，對于特殊對象優(yōu)先考慮原則即可求解，屬于基礎題。2.設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題： 簡易邏輯．分析： 由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可證明充分性；由滿足“x2+y2≥4”可舉出反例推翻“x≥2且y≥2”，則證明不必要性，綜合可得答案．解答： 解：若x≥2且y≥2，則x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，則如（﹣2，﹣2）滿足條件，但不滿足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要條件．故選A．點評： 本題主要考查充分條件與必要條件的含義．3.A．

B．

C．

D．參考答案：D4.（理）設，則的值等于

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D5.已知a，b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題

，其中真命題是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.函數(shù)的圖像大致是(

)參考答案：D略7.等差數(shù)列中,,則該數(shù)列的前5項和為(

)

A.32

B.20

C.16

D.10 參考答案：D略8.“a=3”是“函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+2在區(qū)間[3，+∞）內單調遞增”的（）條件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯．【分析】先求出函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+2的單調增區(qū)間，然后由題意知[3，+∞）是它單調增區(qū)間的子區(qū)間，利用對稱軸與區(qū)間的位置關系即可求出a的范圍，再根據(jù)充分必要條件進行求解．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+2在區(qū)間[3，+∞）內單調遞增，可得f（x）的對稱軸為x=﹣=a，開口向上，可得a≤3，∴“a=3”?“函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+2在區(qū)間[3，+∞）內單調遞增”，∴“a=3”是“函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+2在區(qū)間[3，+∞）內單調遞增”的充分而不必要條件，故選：A．【點評】此題主要考查二次函數(shù)的性質及其對稱軸的應用，以及充分必要條件的定義，是一道基礎題．9.已知向量，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B當共線時，，，此時方向相同夾角為，所以要使與的夾角為銳角，則有且不共線。由得，且，即實數(shù)的取值范圍是，選B.10.已知集合若，則b等于A．1 B．2 C．3 D．1或2參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有一種游戲規(guī)則如下：口袋里有5個紅球和5個黃球，一次摸出5個，若顏色相同則得100分，若4個球顏色相同，另一個不同，則得50分，其他情況不得分，小張摸一次得分的期望是__________分．參考答案：12.某空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是長方形，側視圖是一個等腰梯形，則該幾何體的體積是

，表面積是

．參考答案：6，15+4．【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由題意，直觀圖是以側視圖為底面，高為4的直棱柱，即可求出幾何體的體積、表面積．【解答】解：由題意，直觀圖是以側視圖為底面，高為4的直棱柱，∴該幾何體的體積是=6，表面積是2×+（1+2+2×）×4=15+4，故答案為6，15+4．13.若變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最小值為

．參考答案：1【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最小值．【解答】解：作出不等式對應的平面區(qū)域如圖，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直線y=﹣3x+z，由圖象可知當直線y=﹣3x+z，經過點A（0，1）時，直線y=﹣3x+z的截距最小，此時z最?。藭rz的最小值為z=0×3+1=1，故答案為：1【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．14.設實數(shù)滿足不等式組，則的最大值是參考答案：15.（5分）（2015?泰州一模）復數(shù)z滿足iz=3+4i（i是虛數(shù)單位），則z=．參考答案：4﹣3i【考點】：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】：數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】：利用復數(shù)的運算法則即可得出．解：∵iz=3+4i，∴﹣i?iz=﹣i（3+4i），∴z=4﹣3i，故答案為：4﹣3i．【點評】：本題考查了復數(shù)的運算法則，屬于基礎題．16.如果,復數(shù)在復平面上的對應點在

象限.參考答案：三

解析：，17.已知函數(shù)，記，

，則m的最大值為

參考答案：5略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，是橢圓上任意一點，是橢圓的左焦點，直線的方程為。（1）求證：直線與橢圓有唯一公共點；（2）設點與點關于直線對稱，當點在橢圓上運動時，判斷直線是否過定點，若直線過定點，求出此定點的坐標；若直線不過定點，說明理由。參考答案：（1）聯(lián)立方程組，消去得：，又得，代入得：，因為：，所以原方程組有只有一組解，所以直線與橢圓有唯一公共點；（2）點的坐標為，過點且與直線垂直的直線方程為，解方程組得，所以點的坐標是，當時，，所以直線的方程為，即，過定點。當時，，此時點的坐標為，直線過定點，綜上：直線過定點。19.（14分）已知函數(shù)．（1）當時，如果函數(shù)g（x）=f（x）﹣k僅有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍；（2）當a=2時，試比較f（x）與1的大??；（3）求證：（n∈N*）．參考答案：【考點】不等式的證明；函數(shù)的零點；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】數(shù)形結合；分類討論；函數(shù)的性質及應用．【分析】（1）利用函數(shù)f（x）的導數(shù)求出它的單調區(qū)間和極值，由題意知k大于f（x）的極大值，或k小于f（x）的極小值．（2）令h（x）=f（x）﹣1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，利用h（1）=0，分x＞1、0＜x＜1、當x=1三種情況進行討論．（3）根據(jù)（2）的結論，當x＞1時，，令，有，可得，由，證得結論．【解答】解：（1）當時，，定義域是（0，+∞），求得，令f'（x）=0，得，或x=2．∵當或x＞2時，f'（x）＞0；當時，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，]、（2，+∞）上單調遞增，在上單調遞減．∴f（x）的極大值是，極小值是．∵當x趨于0時，f（x）趨于﹣∞；當x趨于+∞時，f（x）趨于+∞，由于當g（x）僅有一個零點時，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k僅有一個交點，k的取值范圍是{k|k＞3﹣ln2，或}．（2）當a=2時，，定義域為（0，+∞）．令，∵，∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

①當x＞1時，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；②當0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；

③當x=1時，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．（3）證明：根據(jù)（2）的結論，當x＞1時，，即．令，則有，∴．∵，∴．【點評】本題主要考查函數(shù)導數(shù)運算法則、利用導數(shù)求函數(shù)的極值、證明不等式等基礎知識，考查分類討論思想和數(shù)形結合思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識，屬于中檔題．20.已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若任意，使得恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：(1)(2)或.【分析】（1）把的值代入不等式中，去掉絕對值符號，利用分類討論的思想去掉絕對值的解集即可。（2）經分析，要使任意，使得恒成立，則，分離參數(shù)，即可求出的范圍?！驹斀狻拷猓?）當時，.①當，即時，則，得，所以②當，即時，則，即，解得，所以.③當，即時，則，解得，所以.綜上，不等式的解集為（2）已知任意，使得恒成立，由可知，當且僅當時等號成立.由此可得，即，當時，取得最大值，即，解得或.【點睛】本題考查絕對值不等式的求法：利用零點分段討論法解不等式，以及函數(shù)恒成立的問題，屬于中檔題。21.（本小題滿分12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)設，求數(shù)列的前n項和Sn參考答案：22.某公司即將推車一款新型智能手機，為了更好地對產品進行宣傳，需預估市民購買該款手機是否與年齡有關，現(xiàn)隨機抽取了50名市民進行購買意愿的問卷調查，若得分低于60分，說明購買意愿弱；若得分不低于60分，說明購買意愿強，調查結果用莖葉圖表示如圖所示．（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為市民是否購買該款手機與年齡有關？

購買意愿強購買意愿弱合計20﹣40歲

大于40歲

合計

（2）從購買意愿弱的市民中按年齡進行分層抽樣，共抽取5人，從這5人中隨機抽取2人進行采訪，記抽到的2人中年齡大于40歲的市民人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．附：．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）由莖葉圖能完成2×2列聯(lián)表，由列聯(lián)表求出K2≈3.46＜3.841，從而得到沒有95%的把握認為市民是否購買該款手機與年齡有關．（2）購買意愿弱的市民共有20人，抽樣比例為=，所以年齡在20～40歲的抽取了2人，年齡大于40歲的抽取了3人，則X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．【解答】（本小題滿分12