2022湖南省衡陽市 縣賀市中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022湖南省衡陽市縣賀市中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則的大小關(guān)系為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A2.已知，則的最大值是A．

B．

C．

D．參考答案：B3.程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的S的值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)程序框圖，進(jìn)行運(yùn)行，得到S的取值具備周期性，利用周期即可得到程序終止的條件，即可得到結(jié)論．【解答】解：據(jù)程序框圖，可看做是：已知a1==﹣2，an+1=，求a2016，由已知有=﹣1，求出通項(xiàng)an=﹣（或由前幾項(xiàng)歸納），故a2016=﹣．故選：C．4.鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同．從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為（）A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.試在拋物線上求一點(diǎn)P，使其到焦點(diǎn)F的距離與到的距離之和最小，則該點(diǎn)坐標(biāo)為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A6.下列命題正確的是（） A．若a2＞b2，則a＞b B．若|a|＞b，則a2＞b2 C．若a＞|b|，則a2＞b2 D．若a＞b，則a2＞b2 參考答案：C【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)． 【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式． 【分析】通過特殊值法代入判斷即可． 【解答】解：對(duì)于A：錯(cuò)誤，如a=﹣3，b=0； 對(duì)于B：錯(cuò)誤，如|a|=2，b=﹣5， 對(duì)于C：正確； 對(duì)于D：錯(cuò)誤，如a=0，b=﹣3， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考察了不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題． 7.將兩個(gè)數(shù)交換,使,下面語句正確一組是(

)參考答案：B8.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（）A．異面 B．相交 C．異面或平行 D．相交或異面參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】借助正方體判定．【解答】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線AD與C1D1是兩條異面直線，A1D1∥AD，A1D1與C1D1相交，BC∥AD，BC與C1D1異面，故選：D．9.已知等差數(shù)列{an}，且是方程的兩根，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則的值為（

）A.110 B.66 C.44 D.33參考答案：B【分析】由韋達(dá)定理可得：，再由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可計(jì)算得解?！驹斀狻恳?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所?所以故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，還考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，屬于中檔題。10.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=3，S6=7，則S9的值為(

)A．12 B．15 C．11 D．8參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得S3、S6﹣S3、S9﹣S6仍成等差數(shù)列，故有

2（7﹣3）=3+（S9﹣7），由此可得S9的值．【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=3，S6=7，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得S3、S6﹣S3、S9﹣S6仍成等差數(shù)列，即3，7﹣3，S9﹣7成等差數(shù)列，故有2（7﹣3）=3+（S9﹣7），∴S9=12．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，利用了等差數(shù)列每相鄰三項(xiàng)的和仍然構(gòu)成等差數(shù)列，屬基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2+（2﹣2a）x+（a＞0），若存在三個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得=3成立，則a的取值范圍是

．參考答案：（，）考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：若存在三個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得=3成立，等價(jià)為方程f（x）=3x存在三個(gè)不相等的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值，利用極大值大于0，極小值小于0，即可得到結(jié)論．解答： 解：若存在三個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得=3成立，即方程f（x）=3x存在三個(gè)不相等的實(shí)根，即lnx+ax2+（2﹣2a）x+=3x，lnx+ax2﹣（1+2a）x+=0有三個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)g（x）=lnx+ax2﹣（1+2a）x+，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=+2ax﹣（1+2a）==，由g′（x）=0得x=1，x=，則g（1）=a﹣1﹣2a+=﹣1﹣a+，g（）=ln+a（）2﹣（1+2a）+=﹣1﹣ln2a．若=1，即a=時(shí)，g′（x）=≥0，此時(shí)函數(shù)g（x）為增函數(shù)，不可能有3個(gè)根，若＞1，即0＜a＜時(shí)，由g′（x）＞0得x＞或0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)遞增，由g′（x）＜0得1＜x＜，此時(shí)函數(shù)遞減，則當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)g（x）取得極大值g（1）=﹣1﹣a+，當(dāng)x=時(shí)函數(shù)g（x）取得極小值g（）=﹣1﹣ln2a，此時(shí)滿足g（1）=﹣1﹣a+＞0且g（）=﹣1﹣ln2a＜0，即，即，則，解得＜a＜．同理若＜1，即a＞時(shí)，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，此時(shí)函數(shù)遞增，由g′（x）＜0得＜x＜1，此時(shí)函數(shù)遞減，則當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)g（x）取得極小值g（1）=﹣1﹣a+，當(dāng)x=時(shí)函數(shù)g（x）取得極大值g（）=﹣1﹣ln2a，此時(shí)滿足g（1）=﹣1﹣a+＜0且g（）=﹣1﹣ln2a＞0，即，∵a＞，∴2a＞1，則ln2a＞0，則不等式ln2a＜﹣1不成立，即此時(shí)不等式組無解，綜上＜a＜．故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為方程f（x）=3x存在三個(gè)不相等的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．12.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，有以下命題①若在底面內(nèi)的投影為的中心，則;②若在底面內(nèi)的投影為的中心，則與面所成角的正弦值為;③若在底面內(nèi)的投影為線段BC的中點(diǎn)，則二面角的正切值為④若在底面內(nèi)的投影為線段BC的中點(diǎn)，則與面所成角的正弦值為以上正確命題的序號(hào)為

。參考答案：①③④13.設(shè)雙曲線的離心率、實(shí)軸長、虛軸長、焦距依次成等差數(shù)列，則此雙曲線的方程是_______。參考答案：16x2–9y2=25或16y2–9x2=25；14.若橢圓C：的焦距為，則橢圓C的長軸長為_________.參考答案：【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，列出方程求得的值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，橢圓的焦距為，則，解得，所以，所以橢圓的長軸長為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中熟記橢圓的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．參考答案：略16.函數(shù)f（x）=lnx﹣|x﹣2|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．參考答案：2函數(shù)f（x）=lnx﹣|x﹣2|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=|x﹣2|圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=|x﹣2|圖象如下圖所示：由圖可得函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=|x﹣2|圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故答案為：217.14．若雙曲線的漸近線與方程為的圓相切，則此雙曲線的離心率為

．參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知=（2，﹣1，2），=（2，2，1），求以，為鄰邊的平行四邊形的面積．參考答案：【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用．【分析】由S平行四邊形=||||?sin＜，＞，能求出以，為鄰邊的平行四邊形的面積．【解答】（本題滿分10分）（理）解：∵=（2，﹣1，2），=（2，2，1），∴||==3，||==3，?=2×2+（﹣1）×2+2×1=4，∴cos＜，＞==，sin＜，＞=，S平行四邊形=||||?sin＜，＞=．∴以，為鄰邊的平行四邊形的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的面積公式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間向量運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．19.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）設(shè)bn=，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式an；（Ⅱ）設(shè)Cn=，數(shù)列{CnCn+2}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得Tn＜對(duì)于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列與不等式的綜合．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）利用遞推公式即可得出bn+1﹣bn為一個(gè)常數(shù)，從而證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到bn，進(jìn)而得到an；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，利用“裂項(xiàng)求和”即可得到Tn，要使得Tn＜對(duì)于n∈N*恒成立，只要，即，解出即可．【解答】（Ⅰ）證明：∵bn+1﹣bn====2，∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列，又=2，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．∴2n=，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴cncn+2==，∴數(shù)列{CnCn+2}的前n項(xiàng)和為Tn=…+=2＜3．要使得Tn＜對(duì)于n∈N*恒成立，只要，即，解得m≥3或m≤﹣4，而m＞0，故最小值為3．【點(diǎn)評(píng)】正確理解遞推公式的含義，熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、等價(jià)轉(zhuǎn)化等方法是解題的關(guān)鍵．20.（本小題滿分13分）如圖，橢圓E：的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率。過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△AB的周長為8。（Ⅰ）求橢圓E的方程。（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相較于點(diǎn)Q。試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。參考答案：解：21.(9分)已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P（2，），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù)求證：直線l過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：（Ⅰ）由橢圓C的離心率 得，其中， 橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為又點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上 解得

-------（4分）

（Ⅱ）由題意，知直線MN存在斜率，設(shè)其方程為由 消去設(shè) 則 且

----------（8分） 由已知， 得 化簡，得

--------（10分） 整理得 直線MN的方程為， 因此直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）----（12分）22.已知焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的離心率為，且過點(diǎn)（，1）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線l分別切橢圓C與圓M：x2+y2=R2（其中3＜R＜5）于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)離心率及橢圓過點(diǎn)（，1）求出待定系數(shù)，即得橢圓的方程．（Ⅱ）用斜截式設(shè)出直線的方程，代入橢圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，則，a，∴，∵橢圓過點(diǎn)，∴，解得a2=25，b2=9，故橢圓C的方程為（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）分別為直線l與橢圓和圓的切點(diǎn)，直線AB的方程為y=kx+m，因?yàn)锳既在橢圓上，又