虛擬變量模型

虛擬變量模型一、虛擬變量的基本含義許多經濟變量是可以定量度量的，如：商品需求量、價格、收入、產量等但也有一些影響經濟變量的因素無法定量度量，如：職業(yè)、性別對收入的影響，戰(zhàn)爭、自然災害對GDP的影響，季節(jié)對某些產品（如冷飲）銷售的影響等等。為了在模型中能夠反映這些因素的影響，并提高模型的精度，需要將它們“量化”，這種“量化”通常是通過引入“虛擬變量”來完成的。根據(jù)這些因素的屬性類型，構造只取“0”或“1”的人工變量，通常稱為虛擬變量（dummyvariables），記為D。例如，反映文化程度的虛擬變量可取為：反映性別的虛擬變量可取為：（1）將定性因素（或屬性因素）對應變量的影響數(shù)量化，當虛擬變量值取“1”時，表明質的影響發(fā)生作用，即代表某種屬性的因素存在或某種定性因素發(fā)生作用；取“0”時…（2）引入虛擬變量后，相當于把不同屬性類型的樣本合并，即相當于擴大樣本容量，從而提高模型精度。（3）分離異常因素的影響。虛擬變量的作用：例如，一個以性別為虛擬變量考察企業(yè)職工薪金的模型：其中：Yi為企業(yè)職工的薪金（千元），Xi為工齡;表明：當性別變量為常數(shù)時，工齡每增加一年，平均年薪增加1370元，當工齡保持不變時，男性的平均年薪比女性多1330元，性別對薪金的影響是顯著的。女性平均年薪：男性平均年薪：二、虛擬變量的設置原則例。已知冷飲的銷售量Y除受k種定量變量Xk的影響外，還受春、夏、秋、冬四季變化的影響，要考察該四季的影響，只需引入三個虛擬變量即可：虛擬變量的個數(shù)須按以下原則確定：（1）若定性因素有m個相互排斥的類型或屬性，只能引入(m-1)個虛擬變量，否則會陷入“虛擬變量陷阱”，產生完全共線性。（當無截距項時，應引入m個虛擬變量）則冷飲銷售量的模型為：在上述模型中，若再引入第四個虛擬變量則冷飲銷售模型變量為：其矩陣形式為：

如果只取六個觀測值，其中春季與夏季取了兩次，秋、冬各取到一次觀測值，則式中的：顯然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的線性組合，從而(X,D)不滿秩，參數(shù)無法唯一求出。

這就是所謂的“虛擬變量陷井”，應避免。二、虛擬變量的設置原則虛擬變量的個數(shù)須按以下原則確定：（1）若定性因素有m個相互排斥的類型或屬性，只能引入(m-1)個虛擬變量，否則會陷入“虛擬變量陷阱”，產生完全共線性。（當無截距項時，應引入m個虛擬變量）（2）一般情況，虛擬變量取“0”值代表比較的基準。（3）虛擬變量在單一方程中，可以作為解釋變量，也可以作為應變量。例如，引入政府經濟政策的變動對應變量的影響：三、虛擬變量的引入虛擬變量做為解釋變量引入模型有兩種基本方式：加法方式和乘法方式。企業(yè)男職工的平均薪金為：上述企業(yè)職工薪金模型中性別虛擬變量的引入采取了加法方式。在該模型中，如果仍假定E(i)=0，則

企業(yè)女職工的平均薪金為：

1、加法方式幾何意義：假定2>0，則兩個函數(shù)有相同的斜率，但有不同的截距。意即，男女職工平均薪金對教齡的變化率是一樣的，但兩者的平均薪金水平相差2?？梢酝ㄟ^傳統(tǒng)的回歸檢驗，對2的統(tǒng)計顯著性進行檢驗，以判斷企業(yè)男女職工的平均薪金水平是否有顯著差異。2稱為截距差異系數(shù)。02

又例：在橫截面數(shù)據(jù)基礎上，考慮個人保健支出對個人收入和教育水平的回歸。教育水平考慮三個層次：高中以下，高中，大學及其以上模型可設定如下：這時需要引入兩個虛擬變量：在E(i)=0的初始假定下，高中以下、高中、大學及其以上教育水平下個人保健支出的函數(shù)：高中以下：高中：大學及其以上：假定3>2，其幾何意義：在E(i)=0的初始假定下，高中以下、高中、大學及其以上教育水平下個人保健支出的函數(shù)：高中以下：高中：大學及其以上：假定3>2，其幾何意義：表明：受教育水平對平均保健支出沒有影響。還可將多個虛擬變量引入模型中以考察多種“定性”因素的影響。

如在上述職工薪金的例中，再引入代表學歷的虛擬變量D2：本科及以上學歷本科以下學歷職工薪金的回歸模型可設計為：女職工本科以下學歷的平均薪金：女職工本科以上學歷的平均薪金：于是，不同性別、不同學歷職工的平均薪金分別為：男職工本科以下學歷的平均薪金：男職工本科以上學歷的平均薪金：

2、乘法方式加法方式引入虛擬變量，考察：截距的不同，許多情況下：往往是斜率就有變化，或斜率、截距同時發(fā)生變化。斜率的變化可通過以乘法的方式引入虛擬變量來測度。例：根據(jù)消費理論，消費水平C主要取決于收入水平Y，但在一個較長的時期，人們的消費傾向會發(fā)生變化，尤其是在自然災害、戰(zhàn)爭等反常年份，消費傾向往往出現(xiàn)變化。這種消費傾向的變化可通過在收入的系數(shù)中引入虛擬變量來考察。這里，虛擬變量D以與X相乘的方式引入了模型中，從而可用來考察消費傾向的變化。假定E(i)=0，上述模型所表示的函數(shù)可化為：正常年份：反常年份：如，設消費模型可建立如下：此處，2稱為斜率差異系數(shù)。當截距與斜率發(fā)生變化時，則需要同時引入加法與乘法形式的虛擬變量。例：考察1990年前后的中國居民的總儲蓄-收入關系是否已發(fā)生變化。表中給出了中國1979~2001年以城鄉(xiāng)儲蓄存款余額代表的居民儲蓄以及以GNP代表的居民收入的數(shù)據(jù)。以Y為儲蓄，X為收入，可令：1990年前：Yi=1+2Xi+1ii=1,2…,n1

1990年后：Yi=1+2Xi+2ii=1,2…,n2

則有可能出現(xiàn)下述四種情況中的一種：(1)1=1，且2=2，即兩個回歸相同，稱為重合回歸（CoincidentRegressions）；(2)11,但2=2，即兩個回歸的差異僅在其截距，稱為平行回歸（ParallelRegressions）;(3)1=1，但22，即兩個回歸的差異僅在其斜率，稱為匯合回歸(ConcurrentRegressions)；(4)11，且22，即兩個回歸完全不同，稱為相異回歸（DissimilarRegressions）。這一問題也可通過引入乘法形式的虛擬變量來解決。將n1與n2次觀察值合并，并用以估計以下回歸：Di為引入的虛擬變量：于是有：可分別表示1990年后期與前期的儲蓄函數(shù)。在統(tǒng)計檢驗中，如果4=0的假設被拒絕，則說明兩個時期中儲蓄函數(shù)的斜率不同。具體的回歸結果為：(-6.11)(22.89)(4.33)(-2.55)由3與4的t檢驗可知：參數(shù)顯著地不等于0，強烈示出兩個時期的回歸是相異的，

儲蓄函數(shù)分別為：1990年前：1990年后：=0.98361990年前后的儲蓄-收入行為是不同的（平均儲蓄傾向不同）。3、臨界指標的虛擬變量的引入在經濟發(fā)生轉折時期，可通過建立臨界指標的虛擬變量模型來反映。例如，進口消費品數(shù)量Y主要取決于國民收入X的多少，中國在改革開放前后，Y對X的回歸關系明顯不