第二章微分學(xué)-2 -1導(dǎo)數(shù)概念

第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:

德國數(shù)學(xué)家Leibniz

微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))微分學(xué)導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家Ferma在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家Newton一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)(割線的極限位置——切線位置)播放2.曲線的切線問題2.切線問題(割線的極限位置——切線位置)2.切線問題(割線的極限位置——切線位置)2.切線問題(割線的極限位置——切線位置)2.切線問題(割線的極限位置——切線位置)2.切線問題(割線的極限位置——切線位置)2.切線問題(割線的極限位置——切線位置)2.切線問題(割線的極限位置——切線位置)2.切線問題(割線的極限位置——切線位置)2.切線問題(割線的極限位置——切線位置)2.切線問題(割線的極限位置——切線位置)2.曲線的切線斜率曲線在M

點(diǎn)處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時(shí))割線MN

的斜率切線MT的斜率兩個(gè)問題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率

所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比，當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限變化率問題二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值.‥‥‥①‥‥‥②‥‥‥③(1)注：不存在,就說函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo).(2)若極限(3)若函數(shù)在開區(qū)間

I

內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注:在以上兩式的極限過程中,x當(dāng)成常量,Δx,h是變量稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).導(dǎo)函數(shù)定義為：簡稱為導(dǎo)數(shù)，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M

點(diǎn)處的切線斜率求導(dǎo)步驟:例1.求函數(shù)(C

為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.

求函數(shù)解:說明：對一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）例3.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得(注：h為變量，x為常數(shù))例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

即例5.求函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù).解:不存在,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為曲線在點(diǎn)處切線方程:法線方程:例6.問曲線,哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫出其切線方程和法線方程.解:令則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即法線方程分別為四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作(左)(左)定義2

.

設(shè)函數(shù)有定義,存在,例6.求函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù).解:不存在,定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡寫為在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.

函數(shù)在點(diǎn)必右連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在,則稱顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).可導(dǎo)的充分必要條件是且例7.注：分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.解：當(dāng)x<0時(shí),當(dāng)x>0時(shí),當(dāng)x=0時(shí),內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;作業(yè)

練習(xí)題2.1(P34):2,3,4,5,6,7練習(xí).設(shè),問a,b取何值時(shí),在都存在,并求出解: