山東省青島市膠州振華中學2021-2022學年高三數(shù)學理測試題含解析

山東省青島市膠州振華中學2021-2022學年高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為的樣本。已知從高中生中抽取70人，則為（）A.100

B.150

C.200

D.250參考答案：A高中生在總體中所占的比例，與樣本中所占的比例相等，也就是有：?？疾旆謱映闃拥暮唵斡嬎?2.設(shè)曲線（為自然對數(shù)的底數(shù)）上任意一點處的切線為，總存在曲線上某點處的切線，使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）（A） （B） （C） （D）參考答案：D，在上取點，在上取點，要，需，，，，，故選D．3.一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體棱長的最大值為（

）（A）2

（B）3

（C）1

（D）參考答案：D4.下列說法正確的是(

)A.“f(0)=0”是“函數(shù)

f（x）是奇函數(shù)”的充要條件B.若

p：，，則：，C.“若，則”的否命題是“若，則”D.若為假命題，則p，q均為假命題參考答案：C【分析】根據(jù)四種命題之間的關(guān)系，對選項中的命題分析、判斷即可．【詳解】對于A，f（0）＝0時，函數(shù)f（x）不一定是奇函數(shù)，如f（x）＝x2，x∈R；函數(shù)f（x）是奇函數(shù)時，f（0）不一定等于零，如f（x），x≠0；是即不充分也不必要條件，A錯誤；對于B，命題p：，則￢p：?x∈，x2﹣x﹣1≤0，∴B錯誤；對于C，若α，則sinα的否命題是“若α，則sinα”，∴Ｃ正確．對于D，若p∧q為假命題，則p，q至少有一假命題，∴Ｄ錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了命題真假的判斷問題，涉及到奇函數(shù)的性質(zhì)，特稱命題的否定，原命題的否命題，復(fù)合命題與簡單命題的關(guān)系等知識，是基礎(chǔ)題．5.設(shè)集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，則A∪B=（）A．{1，2} B．{0，1，2，3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤3}參考答案：B【考點】1D：并集及其運算．【分析】化簡集合A、B，根據(jù)并集的定義寫出A∪B．【解答】解：集合A={x∈N|，0≤x≤2}={0，1，2}，B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，則A∪B={0，1，2，3}．故選：B．6.已知雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程是y=x，它的一個焦點在拋物線y2=48x的準線上，則雙曲線的方程為(

) A． B． C． D．參考答案：A考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：求出拋物線的準線方程，即有c=12，再由漸近線方程，可得a，b的關(guān)系，由a，b，c的關(guān)系式，得到a，b的方程，解得a，b，即可得到雙曲線的方程．解答： 解：拋物線y2=48x的準線為x=﹣12，則雙曲線的c=12，由一條漸近線方程是y=x，則b=a，由c2=a2+b2=144，可得a=6，b=6．則雙曲線的方程為﹣=1．故選A．點評：本題考查拋物線和雙曲線的方程、性質(zhì)，考查漸近線方程和雙曲線的a，b，c的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知兩個非零向量與，定義|×|=||||sinθ，其中θ為與的夾角．若=（﹣3，4），=（0，2），則|×|的值為(

) A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8參考答案：C考點：平面向量的坐標運算．專題：新定義；平面向量及應(yīng)用．分析：根據(jù)給出的兩向量、的坐標，求出對應(yīng)的模，運用向量數(shù)量積公式求兩向量夾角的余弦值，則正弦值可求，最后直接代入定義即可．解答： 解：由=（﹣3，4），=（0，2），所以，，cosθ==，因為θ∈[0，π]，所以sinθ==，所以=．故選C．點評：本題考查了平面向量的坐標運算，解答的關(guān)鍵是熟記兩向量的數(shù)量積公式，是新定義中的基礎(chǔ)題．8.已知0<a<1，b>1，且ab>1，則M＝loga，N＝logab，P＝logb，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為(

)A．P<N<M

B．N<P<M

C．N<M<P

D．P<M<N參考答案：B9.設(shè),若,則的最大值為

（）（A）

（B）2

（C）

（D）3參考答案：B10.已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足＜的取值范圍是A．（，）

B．［，）

C．（，）

D．［，）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，，給出下列結(jié)論：①函數(shù)的值域為；②函數(shù)在上是增函數(shù)；③對任意，方程在內(nèi)恒有解；④若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是．其中所有正確的結(jié)論的序號是

參考答案：略12.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點在第

象限.參考答案：三略13.已知數(shù)列的值為

。參考答案：3

【知識點】數(shù)列遞推式．D1解析：已知數(shù)列{an}滿足（n∈N+），

根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求得：a2＝?3，a3＝?，a4＝，a5＝2，a6＝?3，

…

所以數(shù)列的周期為4，所以【思路點撥】首先根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系式求出數(shù)列中的各項，進一步求出數(shù)列的周期，最后確定結(jié)果．14.設(shè)函數(shù)，則“為奇函數(shù)”是“”的

條件.（選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）參考答案：略15.定義：，其中是虛數(shù)單位，，且實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對都適應(yīng)。若，，則

．

參考答案：16.頂點在單位圓上的中，角所對的邊分別為．若，，則_________．參考答案：17.如右圖，在△OAB中，∠AOB=120°，OA=2，OB=1，C、D分別是線段OB和AB的中點，那么=_________參考答案：－略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(12分)已知函數(shù)f(x)=()().(1)當x∈[2,4]時,求該函數(shù)的值域.(2)若f(x)≥m對于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范圍.參考答案：(1)f(x)=(2log4x-2)(log4x-),令t=log4x,x∈[2,4]時,t∈[,1],此時,y=(2t-2)(t-)=2t2-3t+1,y∈[-,0].(2)由題知,f(x)≥mlog4x,即2t2-3t+1≥mt對t∈[1,2]恒成立,m≤2t+-3對t∈[1,2]恒成立,易知g(t)=2t+-3在t∈[1,2]上是增加的,g(t)min=g(1)=0,∴m≤0.略19.已知f（x）=ax﹣lnx，a∈R（Ⅰ）當a=2時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）若f（x）在x=1處有極值，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．參考答案：考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：綜合題；壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（I）當a=2時，f（x）=2x﹣lnx，函數(shù)的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，即可確定切點與切線的斜率，從而可得曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（II）利用f（x）在x=1處有極值，確定a的值，利用導(dǎo)數(shù)大于0，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（III）分類討論，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最小值，利用最小值是3，建立方程，即可求得結(jié)論．解答： 解：（I）當a=2時，f（x）=2x﹣lnx，函數(shù)的定義域為（0，+∞）求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=2﹣∴f′（1）=1，f（1）=2∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣2=x﹣1，即x﹣y+1=0；（II）∵f（x）在x=1處有極值，∴f′（1）=0∵f′（x）=a﹣∴a﹣1=0，∴a=1∴f′（x）=1﹣令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1∵x＞0，∴x＞1∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；（III）假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3，①當a≤0時，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減∴f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去）；②當時，f（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在（，e]上單調(diào)遞增∴f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e2，滿足條件；③當時，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減∴f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），綜上所述，存在實數(shù)a=，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3．點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．20.（本題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，⊥平面，，點是上的點，且（）。（1）求證：對任意的，都有⊥；（2）若二面角--的大小為，求的值。參考答案：證明：（1）如圖建立空間直角坐標系，則，，∴對任意都成立，即AC⊥BE恒成立。

……6分（2）顯然是平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，∵，∴，取，則，，

……10分∵二面角C-AE-D的大小為，∴，∴為所求?！?2分21.（本小題滿分12分）已知y=f(x)是偶函數(shù)，當x>0時，，且當時，恒成立，求的最小值．參考答案：∵f(x)是偶函數(shù)，且x>0，，∴x<0時，，∵f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，當且僅當時取等號．而時，；時，若，，，若，∴f(x)在上最大值為，最小值為

，，若，，，則

若，，，

(當a=3時取最小值)22.已知函數(shù)，，．（1）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于點P，Q，過線段PQ的中點作x