河北省石家莊市天長中學2021-2022學年高二數(shù)學理月考試卷含解析

河北省石家莊市天長中學2021-2022學年高二數(shù)學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設（x+1）（2x+1）10=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，則a1+a2+a3+…+a11的值是（）A．-310 B．0 C．310 D．510參考答案：C略2.函數(shù)f（x）=x3+3ax+2在區(qū)間[1，+∞）內是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）參考答案：B【考點】函數(shù)單調性的性質．【分析】由題意，在區(qū)間[1，+∞）內，f′（x）=3x2+3a≥0恒成立，即a≥﹣x2恒成立，求得﹣x2的最大值，可得a的范圍．【解答】解：由題意，在區(qū)間[1，+∞）內，f′（x）=3x2+3a≥0恒成立，即a≥﹣x2恒成立．而﹣x2的最大值為﹣1，故a≥﹣1，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，屬于中檔題．3.已知函數(shù)為R內的奇函數(shù)，且當時，，記，則a，b，c間的大小關系是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)奇函數(shù)解得，設，求導計算單調性和奇偶性，根據(jù)性質判斷大小得到答案.【詳解】根據(jù)題意得，令.則為內的偶函數(shù)，當時，，所以在內單調遞減又，故，選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性單調性，比較大小，構造函數(shù)是解題的關鍵.4.數(shù)列1，，，…，的各項和為

（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B略5.設，若函數(shù)，，有大于零的極值點，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.過拋物線的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C略7.下列不等式對任意的恒成立的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學書2本，物理書1本．若將其隨機的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率 A．

B．

C．

D參考答案：B略9.設是定義在R上的奇函數(shù)且單調遞增，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

） A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.平面向量與的夾角為，，則=(

)A．7

B．

C．D．3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線﹣y2=1（a＞0）的一條漸近線為x+y=0，則a=．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】運用雙曲線的漸近線方程為y=±，結合條件可得=，即可得到a的值．【解答】解：雙曲線﹣y2=1的漸近線方程為y=±，由題意可得=，解得a=．故答案為：．12.如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的序號是．參考答案：①②④【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】利用線面垂直的判定與性質定理、圓的性質即可得出．【解答】解：①∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC．又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．∵AE?平面PAC．∴BC⊥AE．因此①正確．④由①可知：AE⊥BC，又∵AE⊥PC，PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC．因此④正確．②由④可知：AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB．又∵AF⊥PB，AE∩AF=A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF．因此②正確．③AF⊥BC不正確；用反證法證明：假設AF⊥BC，又AF⊥PB，PB∩BC=B．∴AF⊥平面PBC．這與AE⊥平面PBC相矛盾．因此假設不成立．故③不正確．綜上可知：只有①②④正確．故答案為：①②④．【點評】本題考查了線面垂直的判定與性質定理、圓的性質，屬于中檔題．13.同時拋擲兩個骰子（各個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6），則向上的數(shù)之積為偶數(shù)的概率是．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】先求出向上的數(shù)之積為奇數(shù)的概率，根據(jù)對立事件的性質能求出向上的數(shù)之積為偶數(shù)的概率．【解答】解：每擲1個骰子都有6種情況，所以同時擲兩個骰子總的結果數(shù)為6×6=36．向上的數(shù)之積為偶數(shù)的情況比較多，可以先考慮其對立事件，即向上的數(shù)之積為奇數(shù)．向上的數(shù)之積為奇數(shù)的基本事件有：（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共9個，故向上的數(shù)之積為奇數(shù)的概率為P（B）=．根據(jù)對立事件的性質知，向上的數(shù)之積為偶數(shù)的概率為P（C）=1﹣P（B）=1﹣．故答案為：．14.

某校有老師200人，男學生1200人，女學生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為n的樣本，已知從女學生中抽取的人數(shù)為80人，則n=

.參考答案：19215.已知△ABC中的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a=1，C﹣B=，則c﹣b的取值范圍是．參考答案：（，1）【考點】三角函數(shù)的最值．【分析】用B表示出A，C，根據(jù)正弦定理得出b，c，得到c﹣b關于B的函數(shù)，利用B的范圍和正弦函數(shù)的性質求出c﹣b的范圍．【解答】解：∵C﹣B=，∴C=B+，A=π﹣B﹣C=﹣2B，∴sinA=cos2B，sinC=cosB，由A=﹣2B＞0得0＜B＜．由正弦定理得，∴b==，c==，∴c﹣b===．∵0＜B＜，∴＜B+＜．∴1＜sin（B+）．∴．股答案為（，1）．16.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是A1B1的中點，則下列四個命題：①點E到平面ABC1D1的距離是；②直線BC與平面ABC1D1所成角等于45°；③空間四邊形ABCD1在正方體六個面內的射影的面積最小值為；④BE與CD1所成角的正弦值為.其中真命題的編號是_________（寫出所有真命題的編號）參考答案：②③④17.曲線在點（－1，－3）處的切線方程是________．參考答案：y=x-2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某車間共有名工人，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如右圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù).（1）根據(jù)莖葉圖計算樣本的平均值；（2）日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人。從該車間名工人中，任取人，求恰有名優(yōu)秀工人的概率.參考答案：解：（1）平均數(shù)為（2）解法一：將六名工人編號，ABCDEF，其中EF表示優(yōu)秀工人,從6件產(chǎn)品中選2件，其包含的基本事件為：（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）（DF）（EF）共有15種，事件A表示2名工人中恰有1名優(yōu)秀工人，事件A的基本事件為（AE）（AF）（BE）（BF）（CE）（CF）（DE）（DF）共8種，則P（A）＝答：2名工人中恰有1名優(yōu)秀工人的概率為。解法二：試驗的所有結果共有種，

事件A表示2名工人中恰有1名優(yōu)秀工人，事件A的結果共有種，則P（A）＝答：2名工人中恰有1名優(yōu)秀工人的概率為。略19.對于定義域為的函數(shù)，若同時滿足：①在內單調遞增或單調遞減；②存在區(qū)間[]，使在上的值域為；那么把函數(shù)（）叫做閉函數(shù)．(1)

求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；(2)若是閉函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：略20.已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．參考答案：【考點】不等式的證明；基本不等式；等比數(shù)列的性質．【分析】左邊減去右邊等于2（ab+bc﹣ac），用等比數(shù)列的定義以及基本不等式可得a+c＞b，進而推出2（ab+bc﹣ac）＞0，從而證得不等式成立．【解答】證明：∵a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2=2（ab+bc﹣ac）．∵a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac≤，開方可得，故a+c≥2b＞b．∴2（ab+bc﹣ac）=2（ab+bc﹣b2）=2b（a+c﹣b）＞0，∴a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2＞0，∴a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．21.設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間與極值；（Ⅱ）求證：當a＞ln2﹣1且x＞0時，ex＞x2﹣2ax+1．參考答案：【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表討論能求出f（x）的單調區(qū)間區(qū)間及極值．（Ⅱ）設g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2﹣1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R內單調遞增．由此能夠證明ex＞x2﹣2ax+1．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，ln2）ln2（ln2，+∞）f′（x）﹣0+f（x）單調遞減2（1﹣ln2+a）單調遞增故f（x）的單調遞減區(qū)間是（﹣∞，ln2），單調遞增區(qū)間是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2處取得極小值，極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），無極大值．（Ⅱ）證明：設g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2﹣1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R內單調遞增．于是當a＞ln2﹣1時，對任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，故當a＞ln2﹣1且x＞0時，ex＞x2﹣2ax+1．【點評】本題考查函數(shù)的單調區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導數(shù)的性質、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質的應用．解題時要認真審題，仔細解答．22.已知拋物線y2=2px的焦點為F，準線方程是x=﹣1．（I）求此拋物線的方程；（Ⅱ）設點M在此拋物線上，且|MF|=3，若O為坐標原點，求△OFM的面積．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（I）利用準線方程是x=﹣1，求此拋物線的方程；（Ⅱ）設點M在此拋物線上，