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上海民辦新世紀(jì)江海學(xué)校2022年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知圓O:,直線過點(diǎn),且與直線OP垂直,則直線的方程為()A.
B.
C.
D.參考答案:D略2.過點(diǎn)作直線(不同時(shí)為零)的垂線,垂足為,點(diǎn),則的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D3.已知向量,,且,則實(shí)數(shù)的值為
(
)
A.
B.
2
C.
D.參考答案:C略4.運(yùn)行如圖所示的算法框圖,則輸出的結(jié)果S為()A. B.0 C.﹣1 D.參考答案:A【考點(diǎn)】程序框圖.【分析】模擬程序運(yùn)行數(shù)據(jù),結(jié)合三角函數(shù)的周期為6,由于一個(gè)周期的和為0,2017=371×6+1,即可得到輸出值.【解答】解:當(dāng)n=1,S=0,即有S=cos=;n=2,即有S=+cos=﹣=0;n=3,即有S=0+cosπ=﹣1;n=4,即有S=﹣1+cos=﹣1+(﹣)=﹣;n=5,即有S=﹣+cos=﹣+=﹣1;n=6,即有S=﹣1+cos2π=﹣1+1=0.n=7,即有S=0+cos=;…由于2017=371×6+1n=2017,即有S=0×371+=,故選:A.5.已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+ax,且f(3)=6,則a的值為()A.5 B.1 C.﹣1 D.﹣3參考答案:A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì).【專題】計(jì)算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】推出f(﹣3)的值代入函數(shù)表達(dá)式可得a.【解答】解:∵y=f(x)是奇函數(shù),且f(3)=6,∴f(﹣3)=﹣6,∴9﹣3a=﹣6.解得a=5.故選A.【點(diǎn)評(píng)】考查了奇函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù),對(duì)任意的R,有,且(0,+)時(shí),.若,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(
)(A)[1,+∞)
(B)(-∞,1](C)(-∞,2]
(D)[2,+∞)參考答案:B7.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D由,得,所以.故選D.
8.已知全集,集合,,則()A.{0,2,4}
B.{2,3,4}
C.{1,2,4}
D.{0,2,3,4}參考答案:A9.已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是M,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,a),則當(dāng)時(shí),的最小值是
。參考答案:當(dāng)時(shí),,所以,即,因?yàn)?,所以點(diǎn)A在拋物線的外側(cè),延長(zhǎng)PM交直線,由拋物線的定義可知,當(dāng),三點(diǎn)共線時(shí),最小,此時(shí)為,又焦點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,即的最小值為,所以的最小值為。10.已知復(fù)數(shù)Z滿足則Z=A.
B.
C.
D.參考答案:A
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若橢圓x2+4(y-a)2=4與拋物線x2=2y有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
.參考答案:-1≤a≤解:2y=4-4(y-a)2,T2y2-(4a-1)y+2a2-2=0.此方程至少有一個(gè)非負(fù)根.∴△=(4a-1)2-16(a2-1)=-8a+17≥0.a(chǎn)≤.兩根皆負(fù)時(shí)2a2>2,4a-1<0.T-1<a<1且a<.即a<-1.∴-1≤a≤.12.已知圓C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和兩點(diǎn)A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圓上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則m的取值范圍是
.參考答案:[4,6]【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】根據(jù)圓心C到O(0,0)的距離為5,可得圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)O的距離的最大值為6,最小值為4,再由∠APB=90°,可得PO=AB=m,從而得到答案.【解答】解:圓C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圓心C(3,4),半徑為1,∵圓心C到O(0,0)的距離為5,∴圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)O的距離的最大值為6,最小值為4,再由∠APB=90°,以AB為直徑的圓和圓C有交點(diǎn),可得PO=AB=m,故有4≤m≤6,故答案為:[4,6].13.設(shè)橢圓E:的右頂點(diǎn)為A、右焦點(diǎn)為F,B為橢圓E在第二象限上的點(diǎn),直線BO交橢圓E于點(diǎn)C,若直線BF平分線段AC,則橢圓E的離心率是參考答案:如圖3,設(shè)AC中點(diǎn)為M,連接OM,則OM為[的中位線,于是,且,即.14.若方程log3(a﹣3x)+x﹣2=0有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.參考答案:考點(diǎn): 函數(shù)的零點(diǎn).專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 由題意可得方程a=3x+32﹣x有解,即a值屬于3x+32﹣x值的范圍內(nèi),根據(jù)均值不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答: 解:由題意可得,方程2﹣x=log3(a﹣3x)有解,∵方程2﹣x=log3(a﹣3x)可化為32﹣x=a﹣3x,即方程a=3x+32﹣x有解.再根據(jù)基本不等式可得a=3x+32﹣x≥2=6,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[6,+∞),故答案為:[6,+∞).點(diǎn)評(píng): 本題主要考查方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷,利用基本不等式求函數(shù)的值域,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù),若在區(qū)間(1,+∞)上函數(shù)f(x)的圖象恒在直線的圖象的下方,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.參考答案:【分析】先把圖象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系,即,然后利用導(dǎo)數(shù)求解最值可得.【詳解】設(shè),由題意可知,在區(qū)間上恒成立;,當(dāng)時(shí),,,所以為增函數(shù),所以有,即;當(dāng)時(shí),總存在,使得,即為減函數(shù),不合題意;綜上可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系,通常是轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系,求解最值,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).16.如上頁圖,一條螺旋線是用以下方法畫成:是邊長(zhǎng)為1的正三角形,曲線分別以為圓心,為半徑畫的弧,曲線稱為螺旋線旋轉(zhuǎn)一圈.然后又以為圓心為半徑畫弧…,這樣畫到第圈,則所得整條螺旋線的長(zhǎng)度______.(用表示即可)
參考答案:設(shè)第n段弧的弧長(zhǎng)為,由弧長(zhǎng)公式,可得
…
數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列.畫到第n圈,有3n段弧,
故所得整條螺旋線的長(zhǎng)度
17.已知是平面上兩個(gè)互相垂直的單位向量,且,則的最大值為
參考答案:5三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列滿足:,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求其前項(xiàng)和.參考答案:解:(1)由知數(shù)列為等差數(shù)列,且首項(xiàng)為1,公差為,所以;(2)∵,∴,∴數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,,從而,,,∴,所以.19.(2014?黑龍江)設(shè)函數(shù)f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).(Ⅰ)證明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法.
【專題】不等式的解法及應(yīng)用.【分析】(Ⅰ)由a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|,利用絕對(duì)值三角不等式、基本不等式證得f(x)≥2成立.(Ⅱ)由f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,分當(dāng)a>3時(shí)和當(dāng)0<a≤3時(shí)兩種情況,分別去掉絕對(duì)值,求得不等式的解集,再取并集,即得所求.【解答】解:(Ⅰ)證明:∵a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|≥|(x+)﹣(x﹣a)|=|a+|=a+≥2=2,故不等式f(x)≥2成立.(Ⅱ)∵f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,∴當(dāng)a>3時(shí),不等式即a+<5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<.當(dāng)0<a≤3時(shí),不等式即6﹣a+<5,即a2﹣a﹣1>0,求得<a≤3.綜上可得,a的取值范圍(,).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式,絕對(duì)值不等式的解法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.20.設(shè),其中a為正實(shí)數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的極值點(diǎn).(2)若為R上單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.參考答案:略21.已知:直線AB過圓心O,交⊙O于A、B,直線AF交⊙O于A、F(不與B重合),直線l與⊙O相切于C,交AB于E,且與AF垂直,垂足為G,連接AC.(1)求證:∠BAC=∠CAG;(2)求證:AC2=AE?AF.參考答案:【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段.【專題】證明題;立體幾何.分析:(1)連接BC,根據(jù)AB為⊙O的直徑得到∠ECB與∠ACG互余,根據(jù)弦切角得到∠ECB=∠BAC,得到∠BAC與∠ACG互余,再根據(jù)∠CAG與∠ACG互余,得到∠BAC=∠CAG;(2)連接CF,利用弦切角結(jié)合(1)的結(jié)論,可得∠GCF=∠ECB,再用外角進(jìn)行等量代換,得到∠AFC=∠ACE,結(jié)合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE,從而得到AC是AE、AF的比例中項(xiàng),從而得到AC2=AE?AF.證明:(1)連接BC,∵AB為⊙O的直徑…∴∠ACB=90°?∠ECB+∠ACG=90°…∵GC與⊙O相切于C,∴∠ECB=∠BAC∴∠BAC+∠ACG=90°…又∵AG⊥CG?∠CAG+∠ACG=90°∴∠BAC=∠CAG…(2)由(1)可知∠EAC=∠CAF,連接CF∵GE與⊙O相切于C,∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB∵∠AFC=∠GCF+90°,∠ACE=∠ECB+90°∴∠AFC=∠ACE…∵∠FAC=∠CAE∴△FAC∽△CAE…∴∴AC2=AE?AF…【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.解題時(shí)要注意充分利用互余的角和弦切角進(jìn)行等量代換,方可得到相似三角形.22.某小區(qū)在一次對(duì)20歲以上居民節(jié)能意識(shí)的問卷調(diào)查中,隨機(jī)抽取了100份問卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表:(Ⅰ)由表中數(shù)據(jù)直觀分析,節(jié)能意識(shí)強(qiáng)弱是否與人的年齡有關(guān)?(Ⅱ)據(jù)了解到,全小區(qū)節(jié)能意識(shí)強(qiáng)的人共有350人,估計(jì)這350人中,年齡大于50歲的有多少人?(Ⅲ)按年齡分層抽樣,從節(jié)能意識(shí)強(qiáng)的居民中抽5人,再?gòu)倪@5人中任取2人,求恰有1人年齡在20至50歲的概率.參考答案:解(Ⅰ)因?yàn)?
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