上海民辦新世紀(jì)江海學(xué)校2022年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

上海民辦新世紀(jì)江海學(xué)校2022年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知圓O:，直線過點,且與直線OP垂直，則直線的方程為（）A.

B.

C.

D.參考答案：D略2.過點作直線（不同時為零）的垂線，垂足為，點，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知向量，，且，則實數(shù)的值為

(

)

A．

B．

2

C．

D．參考答案：C略4.運行如圖所示的算法框圖，則輸出的結(jié)果S為（）A． B．0 C．﹣1 D．參考答案：A【考點】程序框圖．【分析】模擬程序運行數(shù)據(jù)，結(jié)合三角函數(shù)的周期為6，由于一個周期的和為0，2017=371×6+1，即可得到輸出值．【解答】解：當(dāng)n=1，S=0，即有S=cos=；n=2，即有S=+cos=﹣=0；n=3，即有S=0+cosπ=﹣1；n=4，即有S=﹣1+cos=﹣1+（﹣）=﹣；n=5，即有S=﹣+cos=﹣+=﹣1；n=6，即有S=﹣1+cos2π=﹣1+1=0．n=7，即有S=0+cos=；…由于2017=371×6+1n=2017，即有S=0×371+=，故選：A．5.已知y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）=x2+ax，且f（3）=6，則a的值為（）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣3參考答案：A【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】推出f（﹣3）的值代入函數(shù)表達(dá)式可得a．【解答】解：∵y=f（x）是奇函數(shù)，且f（3）=6，∴f（﹣3）=﹣6，∴9﹣3a=﹣6．解得a=5．故選A．【點評】考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6.設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對任意的R，有，且(0，+)時，．若，則實數(shù)a的取值范圍為(

)(A)[1，+∞)

(B)(-∞，1](C)(-∞，2]

(D)[2，+∞)參考答案：B7.已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由，得，所以.故選D.

8.已知全集,集合,,則()A．{0,2,4}

B．{2,3,4}

C．{1,2,4}

D．{0,2,3,4}參考答案：A9.已知點P是拋物線上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A的坐標(biāo)是（4，a），則當(dāng)時，的最小值是

。參考答案：當(dāng)時，，所以，即，因為，所以點A在拋物線的外側(cè)，延長PM交直線，由拋物線的定義可知,當(dāng)，三點共線時，最小，此時為，又焦點坐標(biāo)為,所以，即的最小值為，所以的最小值為。10.已知復(fù)數(shù)Z滿足則Z=A．

B.

C.

D.參考答案：A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若橢圓x2+4(y－a)2=4與拋物線x2=2y有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：－1≤a≤解：2y=4－4(y－a)2，T2y2－(4a－1)y+2a2－2=0．此方程至少有一個非負(fù)根．∴△=(4a－1)2－16(a2－1)=－8a+17≥0．a(chǎn)≤．兩根皆負(fù)時2a2>2，4a－1<0．T－1<a<1且a<．即a<－1．∴－1≤a≤．12.已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和兩點A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圓上存在點P，使得∠APB=90°，則m的取值范圍是

．參考答案：[4，6]【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)圓心C到O（0，0）的距離為5，可得圓C上的點到點O的距離的最大值為6，最小值為4，再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，從而得到答案．【解答】解：圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圓心C（3，4），半徑為1，∵圓心C到O（0，0）的距離為5，∴圓C上的點到點O的距離的最大值為6，最小值為4，再由∠APB=90°，以AB為直徑的圓和圓C有交點，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案為：[4，6]．13.設(shè)橢圓E：的右頂點為A、右焦點為F，B為橢圓E在第二象限上的點，直線BO交橢圓E于點C，若直線BF平分線段AC，則橢圓E的離心率是參考答案：如圖3，設(shè)AC中點為M，連接OM，則OM為[的中位線，于是，且，即．14.若方程log3（a﹣3x）+x﹣2=0有實根，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：考點： 函數(shù)的零點．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 由題意可得方程a=3x+32﹣x有解，即a值屬于3x+32﹣x值的范圍內(nèi)，根據(jù)均值不等式求出實數(shù)a的取值范圍．解答： 解：由題意可得，方程2﹣x=log3（a﹣3x）有解，∵方程2﹣x=log3（a﹣3x）可化為32﹣x=a﹣3x，即方程a=3x+32﹣x有解．再根據(jù)基本不等式可得a=3x+32﹣x≥2=6，故實數(shù)a的取值范圍是[6，+∞），故答案為：[6，+∞）．點評： 本題主要考查方程根的存在性及個數(shù)判斷，利用基本不等式求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．15.已知函數(shù)，若在區(qū)間(1,+∞)上函數(shù)f(x)的圖象恒在直線的圖象的下方，則實數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：【分析】先把圖象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，即，然后利用導(dǎo)數(shù)求解最值可得.【詳解】設(shè)，由題意可知，在區(qū)間上恒成立；，當(dāng)時，，，所以為增函數(shù)，所以有，即；當(dāng)時，總存在，使得，即為減函數(shù)，不合題意；綜上可得.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系，通常是轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，求解最值，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).16.如上頁圖，一條螺旋線是用以下方法畫成：是邊長為1的正三角形，曲線分別以為圓心，為半徑畫的弧，曲線稱為螺旋線旋轉(zhuǎn)一圈．然后又以為圓心為半徑畫弧…，這樣畫到第圈，則所得整條螺旋線的長度______．(用表示即可)

參考答案：設(shè)第n段弧的弧長為，由弧長公式，可得

…

數(shù)列是以為首項、為公差的等差數(shù)列.畫到第n圈，有3n段弧，

故所得整條螺旋線的長度

17.已知是平面上兩個互相垂直的單位向量，且,則的最大值為

參考答案：5三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列滿足：，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，且.求數(shù)列的通項公式，并求其前項和.參考答案：解：（1）由知數(shù)列為等差數(shù)列，且首項為1，公差為，所以；（2）∵，∴，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，從而，，，∴，所以.19.（2014?黑龍江）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）證明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法．

【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用絕對值三角不等式、基本不等式證得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分當(dāng)a＞3時和當(dāng)0＜a≤3時兩種情況，分別去掉絕對值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴當(dāng)a＞3時，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．當(dāng)0＜a≤3時，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．綜上可得，a的取值范圍（，）．【點評】本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．20.設(shè)，其中a為正實數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值點.（2）若為R上單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.參考答案：略21.已知：直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于A、F（不與B重合），直線l與⊙O相切于C，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC．（1）求證：∠BAC=∠CAG；（2）求證：AC2=AE?AF．參考答案：【考點】與圓有關(guān)的比例線段．【專題】證明題；立體幾何．分析：（1）連接BC，根據(jù)AB為⊙O的直徑得到∠ECB與∠ACG互余，根據(jù)弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC與∠ACG互余，再根據(jù)∠CAG與∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；（2）連接CF，利用弦切角結(jié)合（1）的結(jié)論，可得∠GCF=∠ECB，再用外角進(jìn)行等量代換，得到∠AFC=∠ACE，結(jié)合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，從而得到AC是AE、AF的比例中項，從而得到AC2=AE?AF．證明：（1）連接BC，∵AB為⊙O的直徑…∴∠ACB=90°?∠ECB+∠ACG=90°…∵GC與⊙O相切于C，∴∠ECB=∠BAC∴∠BAC+∠ACG=90°…又∵AG⊥CG?∠CAG+∠ACG=90°∴∠BAC=∠CAG…（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，連接CF∵GE與⊙O相切于C，∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°∴∠AFC=∠ACE…∵∠FAC=∠CAE∴△FAC∽△CAE…∴∴AC2=AE?AF…【點評】本題綜合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性質(zhì)等知識點，屬于中檔題．解題時要注意充分利用互余的角和弦切角進(jìn)行等量代換，方可得到相似三角形．22.某小區(qū)在一次對20歲以上居民節(jié)能意識的問卷調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100份問卷進(jìn)行統(tǒng)計，得到相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)直觀分析，節(jié)能意識強(qiáng)弱是否與人的年齡有關(guān)？（Ⅱ）據(jù)了解到，全小區(qū)節(jié)能意識強(qiáng)的人共有350人，估計這350人中，年齡大于50歲的有多少人？（Ⅲ）按年齡分層抽樣，從節(jié)能意識強(qiáng)的居民中抽5人，再從這5人中任取2人，求恰有1人年齡在20至50歲的概率.參考答案：解（Ⅰ）因為2