2023年全國Ⅰ卷理科數學高考真題

年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學考前須知：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．答復選擇題時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。答復非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1．設，那么A．B． C． D．2．集合，那么A． B．C． D．3．某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番.為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例那么下面結論中不正確的是A．新農村建設后，種植收入減少B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上C．新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半4．記為等差數列的前項和.假設，，那么A．B．C．D．5．設函數.假設為奇函數，那么曲線在點處的切線方程為A．B．C．D．6．在中，為邊上的中線，為的中點，那么A．B．C．D．7．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱外表上的點在正視圖上的對應點為，圓柱外表上的點在左視圖上的對應點為，那么在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為A．B．C．3 D．28．設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點〔–2，0〕且斜率為的直線與C交于M，N兩點，那么=A．5B．6C．7D．89．函數．假設g〔x〕存在2個零點，那么a的取值范圍是A．[–1，0〕B．[0，+∞〕C．[–1，+∞〕D．[1，+∞〕10．下列圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色局部記為Ⅱ，其余局部記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，那么A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p311．雙曲線C：，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.假設為直角三角形，那么|MN|=A．B．3C．D．412．正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，那么α截此正方體所得截面面積的最大值為A．B．C．D．二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13．假設，滿足約束條件，那么的最大值為_____________．14．記為數列的前項和.假設，那么_____________．15．從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，那么不同的選法共有_____________種．〔用數字填寫答案〕16．函數，那么的最小值是_____________．三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答?！惨弧潮乜碱}：60分。17．〔12分〕在平面四邊形中，，，，.〔1〕求；18．〔12分〕如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.〔1〕證明：平面平面；〔2〕求與平面所成角的正弦值.19．〔12分〕設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為.〔1〕當與軸垂直時，求直線的方程；〔2〕設為坐標原點，證明：.20．〔12分〕某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，那么更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果斷定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立．〔1〕記20件產品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點．〔2〕現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以〔1〕中確定的作為的值．每件產品的檢驗費用為2元，假設有不合格品進入用戶手中，那么工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．〔i〕假設不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;〔ii〕以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？21．〔12分〕函數．〔1〕討論的單調性；〔2〕假設存在兩個極值點，證明：．〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題計分。22．[選修4—4：坐標系與參數方程]〔10分〕在直角坐標系中，曲線的方程為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.〔1〕求的直角坐標方程；〔2〕假設與有且僅有三個公共點，求的方程.23．[選修4—5：不等式選講]〔10分〕.〔1〕當時，求不等式的解集；〔2〕假設時不等式成立，求的取值范圍.參考答案：123456789101112CBABDABDCABA13.614.15.1616.17.〔12分〕解：〔1〕在中，由正弦定理得.由題設知，，所以.由題設知，，所以.〔2〕由題設及〔1〕知，.在中，由余弦定理得.所以.18.〔12分〕解：〔1〕由可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.〔2〕作PH⊥EF，垂足為H.由〔1〕得，PH⊥平面ABFD.以H為坐標原點，的方向為y軸正方向，為單位長，建立如下圖的空間直角坐標系H?xyz.由〔1〕可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得.那么為平面ABFD的法向量.設DP與平面ABFD所成角為，那么.所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.19.〔12分〕解：〔1〕由得，l的方程為x=1.由可得，點A的坐標為或.所以AM的方程為或.〔2〕當l與x軸重合時，.當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以.當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為，，那么，直線MA，MB的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.那么.從而，故MA，MB的傾斜角互補，所以.綜上，.20.〔12分〕解：〔1〕20件產品中恰有2件不合格品的概率為.因此.令，得.當時，；當時，.所以的最大值點為.〔2〕由〔1〕知，.〔i〕令表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知，，即.所以.〔ii〕如果對余下的產品作檢驗，那么這一箱產品所需要的檢驗費為400元.由于，故應該對余下的產品作檢驗.21.〔12分〕解:〔1〕的定義域為，.〔i〕假設，那么，當且僅當，時，所以在單調遞減.〔ii〕假設，令得，或.當時，；當時，.所以在單調遞減，在單調遞增.〔2〕由〔1〕知，存在兩個極值點當且僅當.由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，那么.由于，所以等價于.設函數，由〔1〕知，在單調遞減，又，從而當時，.所以，即.22．[選修4—4：坐標系與參數方程]〔10分〕解:〔1〕由，得的直角坐標方程為．〔2〕由〔1〕知是圓心為，半徑為的圓由題設知，是過點且關于軸對稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點．當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．經檢驗，當時，與沒有公共點；當時，