遼寧省名校聯(lián)盟2023屆高考模擬調(diào)研卷數(shù)學(xué)(三)含答案_第1頁
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文檔簡介

★啟用前遼寧省名校聯(lián)盟2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題數(shù)學(xué)(三)本試卷共4頁,22小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù),且,則z=()A. B. C.或 D.或3.已知雙曲線(a>0,b>0)的離心率為2,點(diǎn)M為左頂點(diǎn),點(diǎn)F為右焦點(diǎn),過點(diǎn)F作x軸的垂線交C于A,B兩點(diǎn),則∠AMB=()A.45° B.60° C.90° D.120°4.函數(shù)的部分圖像大致為()A. B. C. D.5.北京2022年冬奧會(huì)的吉祥物冰墩墩和雪容融非??蓯?,某教師用吉祥物的小掛件作為獎(jiǎng)品鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí),設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)方案如下:在不透明的盒子中放有大小、形狀完全相同的6張卡片,上面分別標(biāo)有編號1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中不放回地抽取兩次卡片,每次抽取一張,只要抽到的卡片編號大于4就可以中獎(jiǎng),已知第一次抽到卡片中獎(jiǎng),則第二次抽到卡片中獎(jiǎng)的概率為()A. B. C. D.6.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,△PBC為等邊三角形,二面角P-BC-A為30°,則異面直線PC與AB所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.已知△ABC中,,,,在線段BD上取點(diǎn)E,使得,則()A. B. C. D.8.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,,則不等式的解集為()A. B. C. D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.隨著我國碳減排行動(dòng)的逐步推進(jìn),我國新能源汽車市場快速發(fā)展,新能源汽車產(chǎn)銷量大幅上升,2017-2021年全國新能源汽車保有量y(單位:萬輛)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼x12345保有量y/萬輛153.4260.8380.2492784由表格中數(shù)據(jù)可知y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,則()A.B.預(yù)測2023年底我國新能源汽車保有量高于1000萬輛C.2017-2021年全國新能源汽車保有量呈增長趨勢D.2021年新能源汽車保有量的殘差(觀測值與預(yù)測值之差)為71.4410.已知圓,圓,則()A.無論k取何值,圓心始終在直線上B.若圓O與圓有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為C.若圓O與圓的公共弦長為,則或D.與兩個(gè)圓都相切的直線叫做這兩個(gè)圓的公切線,如果兩個(gè)圓在公切線的同側(cè),則這條公切線叫做這兩個(gè)圓的外公切線,當(dāng)時(shí),兩圓的外公切線長為11.已知函數(shù)(其中ω>0,0<φ<π)的圖像與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的最小距離為,當(dāng)時(shí),f(x)的圖像與x軸的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為,則()A. B.f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增C.f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱 D.f(x)的圖像關(guān)于直線對稱12.已知拋物線(p>0)的焦點(diǎn)為F,斜率為的直線過點(diǎn)F交C于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4,直線過點(diǎn)B交C于另一點(diǎn)M(異于點(diǎn)A),交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,直線AM交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,準(zhǔn)線交y軸于點(diǎn)N,則()A.C的方程為 B. C. D.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知,則______.14.若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng),則n的一個(gè)值可以是______.15.已知數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列,,,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若不等式對任意恒成立,則n的最小值為______.16.我國古代大多數(shù)城門樓的底座輪廓大致為上、下兩面互相平行,且都是矩形的六面體(如圖),現(xiàn)從某城樓中抽象出一幾何體ABCD-EFGH,其中ABCD是邊長為4的正方形,EFGH為矩形,上、下底面與左、右兩側(cè)面均垂直,,,,且平面ABCD與平面EFGH的距離為4,則異面直線BG與CH所成角的余弦值為______.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在數(shù)列中,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求的前n項(xiàng)和.18.如圖,在平面四邊形ABCD中,,,,.(1)若,求;(2)求的取值范圍.19.近年來,我國加速推行垃圾分類制度,全國垃圾分類工作取得積極進(jìn)展.某城市推出了兩套方案,并分別在A,B兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行.方案一:進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng),通過設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式,向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類的意義,講解分類垃圾桶的使用方式,垃圾投放時(shí)間等,定期召開垃圾分類會(huì)議和知識宣傳教育活動(dòng);方案二:智能化垃圾分類,在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶,垃圾回收前端分類智能化,智能垃圾桶操作簡單,居民可以通過設(shè)備進(jìn)行自動(dòng)登錄、自動(dòng)稱重、自動(dòng)積分等一系列操作.建立垃圾分類激勵(lì)機(jī)制,比如,垃圾分類換積分,積分可兌換禮品等,激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情,帶動(dòng)居民積極主動(dòng)地參與垃圾分類.經(jīng)過一段時(shí)間試行之后,在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問卷調(diào)查,記錄他們對試行方案的滿意度得分(滿分100分),將數(shù)據(jù)分成6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下頻率分布直方圖:(1)請通過頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分,判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎(同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表);(2)估計(jì)A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù);(3)以樣本頻率估計(jì)概率,若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案,低于70分說明居民不太贊成推行此方案.現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人,用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.20.如圖,在多面體PABCFE中,PA⊥平面ABC,,且,D為PA的中點(diǎn),連接BD,PC,點(diǎn)M,N滿足,.(1)證明:平面PEF;(2)若,,求直線PC與平面PEF所成角的正弦值.21.已知橢圓(a>b>0),左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且,過右焦點(diǎn)F作直線l,當(dāng)直線l過點(diǎn)B時(shí),斜率為.(1)求C的方程;(2)若l交C于P,Q兩點(diǎn),在l上存在一點(diǎn)M,且,則在平面內(nèi)是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值?若存在,求出這兩個(gè)定點(diǎn)及定值;若不存在,請說明理由.22.已知函數(shù).(1)求f(x)在區(qū)間內(nèi)的極大值;(2)令函數(shù),當(dāng)時(shí),證明:F(x)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).?dāng)?shù)學(xué)(三)一、選擇題1.D【解析】由得,解得,由得,即,即(4-x)(x+1)≥0且x+1≠0,解得,所以.故選D項(xiàng).2.C【解析】設(shè)(a,b∈R),則,因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù),所以解得又,所以或,解得或,所以或.故選C項(xiàng).3.C【解析】由題意得,即,又,所以,設(shè)點(diǎn)A在x軸上方,則,又,所以,,因?yàn)?,所以,所以.故選C項(xiàng).4.C【解析】由題知f(x)的定義域?yàn)镽,又,所以f(x)為奇函數(shù),排除A,B項(xiàng);,排除D項(xiàng).故選C項(xiàng).5.B【解析】若事件為“第一次抽到卡片中獎(jiǎng)”,事件為“第二次抽到卡片中獎(jiǎng)”,則,,故.故選B項(xiàng).6.A【解析】如圖,由,得∠PCD為異面直線AB與PC所成的角或其補(bǔ)角,設(shè)E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點(diǎn),連接PE,PF,EF,由底面ABCD為正方形,△PBC為等邊三角形,得PE⊥BC,F(xiàn)E⊥BC,所以∠PEF=30°.設(shè)AB=2,則,由余弦定理得PF=1,又PF⊥AD,F(xiàn)D=1,所以,又PC=CD=2,所以.故選A項(xiàng).7.D【解析】由題意知∠AEB是向量與向量的夾角,,,,,,則.故選D項(xiàng).8.A【解析】因?yàn)閒′(x)>2x,所以f′(x)?2x>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-x2,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)=f′(x)?2x>0,F(xiàn)(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且F(2)=0,又f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以F(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以F(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,且F(-2)=0.不等式xf(x-1)+2x2>x3+x整理得xf(x-1)+2x2-x3-x>0,即x[f(x-1)-(x-1)2]>0,當(dāng)x>0時(shí),f(x-1)-(x-1)2>0,則x-1>2,解得x>3;當(dāng)x<0時(shí),f(x-1)-(x-1)2<0,則-2<x-1<0,解得-1<x<1,又x<0,所以-1<x<0.綜上,不等式xf(x-1)+2x2>x3+x的解集為.故選A項(xiàng).二、選擇題9.BCD【解析】由題得,,代入可得,A項(xiàng)錯(cuò)誤;2023年的年份代碼為7,代入得,高于1000萬輛,B項(xiàng)正確;C項(xiàng)顯然正確;將x=5,代入得,相應(yīng)的殘差為784-712.56=71.44,D項(xiàng)正確,故選BCD項(xiàng).10.ACD【解析】圓心Ck的坐標(biāo)為,在直線上,A項(xiàng)正確;若圓O與圓Ck有公共點(diǎn),則1≤|OCk|≤3,所以,解得或,B項(xiàng)錯(cuò)誤;將圓O與圓Ck的方程作差可得公共弦所在直線的方程為,則圓心O到直線的距離,則,解得或k=±1,C項(xiàng)正確;當(dāng)時(shí),圓O與圓Ck外切,圓心距為3,半徑差為1,則外公切線長為,D項(xiàng)正確.故選ACD項(xiàng).11.AB【解析】令f(x)=0,則,所以,k∈Z或,k∈Z,解得,k∈Z或,k∈Z,所以f(x)的圖像與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的最小距離為,所以,解得ω=2,所以,所以f(x)的周期,當(dāng)時(shí),,令f(x)=0,即,又0<φ<π,所以或,所以或,由得,所以,,A項(xiàng)正確;由,得,所以f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,B項(xiàng)正確;,所以f(x)的圖像不關(guān)于點(diǎn)對稱,C項(xiàng)錯(cuò)誤;,所以f(x)的圖像不關(guān)于直線對稱,D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AB項(xiàng).12.ABD【解析】由題意得,,所以,以整理得p2+6p-16=0,又p>0,解得p=2,所以C的方程為x2=4y,A項(xiàng)正確;準(zhǔn)線方程為y=-1,B(4,4),F(xiàn)(0,1),直線l1的方程為,與x2=4y聯(lián)立解得x=-1或x=4,所以,則,B項(xiàng)正確;設(shè)點(diǎn),由題意知m≠±1且m≠±4,所以直線,令y=-1,得,即,所|以.同理可得,,所以,D項(xiàng)正確;當(dāng)m=2時(shí),E(-6,-1),,所以,,則|BD|>|AE|,C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ABD項(xiàng).三、填空題13.【解析】由,得,則.14.4(答案不唯一)【解析】,的展開式的通項(xiàng)公式為,取n=4,r=1,得,可得的展開式的常數(shù)項(xiàng)為,所以n的一個(gè)值可以是4.15.9【解析】由題知,則,所以,所以,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則,,那么,因?yàn)閷θ我鈞∈(0,2023]恒成立,則只需即可,令,則f(x)在區(qū)間(0,2023]上單調(diào)遞增,所以,所以,即,即,解得n≥9,又,所以n的最小值為9.16.【解析】如圖,把此六面體補(bǔ)成正方體,連接AH,AC,由題可知,所以∠AHC是異面直線BG與CH所成角或其補(bǔ)角,在△AHC中,,,,則.四、解答題17.解:(1)因?yàn)椋?0-3×6=2>0,20-3×7=-1<0,所以當(dāng)n≤7時(shí),,此時(shí)是以20為首項(xiàng),-3為公差的等差數(shù)列,則;當(dāng)n≥8時(shí),,,,,?,可得數(shù)列是個(gè)擺動(dòng)數(shù)列,則.綜上,(2)當(dāng)n≤7時(shí),;當(dāng)n≥8,且n為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)n≥8,且n為偶數(shù)時(shí),,所以.綜上,18.解:(1)在△ABD中,因?yàn)?,DA=2,∠DAB=60°,由余弦定理得,解得AB=1,由,得AB⊥DB,此時(shí)Rt△CDB≌Rt△ABD,可得∠ABC=120°.在△ABC中,AB=1,BC=2,由余弦定理得,解得,所以.(2)設(shè)∠ADB=θ,由題意可知,在△ABD中,由余弦定理得,在△ACD中,,由余弦定理得,所以,因?yàn)?,所以,,所以的取值范圍是?9.解:(1)設(shè)A小區(qū)方案一滿意度平均分為,則(45×0.006+55×0.014+65×0.018+75×0.032+85×0.020+95×0.010)×10=72.6,設(shè)B小區(qū)方案二滿意度平均分為,則(45×0.005+55×0.005+65×0.010+75×0.040+85×0.030+95×0.010)×10=76.5,因?yàn)?2.6<76.5,所以方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎.(2)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.06+0.14+0.18+0.32=0.7<0.8,前5組的頻率之和為0.06+0.14+0.18+0.32+0.2=0.9>0.8,所以第80百分位數(shù)在第5組,設(shè)第80百分位數(shù)為x,則0.7+(x-80)×0.020=0.8,解得x=85,所以A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)為85分.(3)由題意可知方案二中,滿意度不低于70分的頻率為0.8,低于70分的頻率為0.2,現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人,則X~B,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,,,,,,,X的分布列為X01234P由二項(xiàng)分布知.20.(1)證明:連接AF交PC于點(diǎn)N',因?yàn)椋琍A=2CF,所以,又PN=2NC,則點(diǎn)N'與點(diǎn)N重合,所以AN=2NF,同理,連接AE交DB于點(diǎn)M,得AM=2ME,所以,又平面PEF,平面PEF,所以平面PEF.(2)解:由題意可知,,在△PEF中,,,所以AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,BA,BE所在的直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,所以P(0,2,4),E(0,0,1),F(xiàn)(2,0,2),C(2,0,0),,,,設(shè)平面PE

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