2023年吉林省吉林市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考測(cè)試卷(含答案)

2023年吉林省吉林市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考測(cè)試卷(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(20題)1.下列命題中正確的為

A.若x0為f(x)的極值點(diǎn)，則必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，則點(diǎn)x0必為f(x)的極值點(diǎn)

C.若f'(x0)≠0，則點(diǎn)x0必定不為f(x)的極值點(diǎn)

D.若f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且點(diǎn)x0為f(x)的極值點(diǎn)，則必有f'(x0)=0

2.

3.

4.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

5.

6.

7.

()A.x2

B.2x2

C.xD.2x

8.A.

B.

C.e-x

D.

9.設(shè)y=3-x，則y'=（）。A.-3-xln3

B.3-xlnx

C.-3-x-1

D.3-x-1

10.

11.

12.

13.平面π1：x-2y+3x+1=0，π2：2x+y+2=0的位置關(guān)系為()A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合14.A.A.0B.1/2C.1D.2

15.

16.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則下列關(guān)系式中正確的是()A.A.

B.

C.

D.

17.設(shè)y1，y2為二階線性常系數(shù)微分方程y"+p1y+p2y=0的兩個(gè)特解，則C1y1+C2y2()A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解

18.在穩(wěn)定性計(jì)算中，若用歐拉公式算得壓桿的臨界壓力為Fcr，而實(shí)際上壓桿屬于中柔度壓桿，則()。

A.并不影響壓桿的臨界壓力值

B.實(shí)際的臨界壓力大于Fcr，是偏于安全的

C.實(shí)際的臨界壓力小于Fcr，是偏于不安全的

D.實(shí)際的臨界壓力大于Fcr，是偏于不安全的

19.

20.A.等價(jià)無(wú)窮小

B.f(x)是比g(x)高階無(wú)窮小

C.f(x)是比g(x)低階無(wú)窮小

D.f(x)與g(x)是同階但非等價(jià)無(wú)窮小

二、填空題(20題)21.22.23.

24.

25.

26.

27.

28.

則F(O)=_________．

29.

30.

31.

32.

33.設(shè)y＝3＋cosx，則y＝．34.35.設(shè)y=e3x知，則y'_______。36.37.

38.微分方程xdx+ydy=0的通解是__________。

39.

40.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)_____．

三、計(jì)算題(20題)41.證明：42.43.求曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線方程．44.

45.

46.求微分方程的通解．

47.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

48.

49.

50.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．51.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0．52.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無(wú)窮小量，則53.

54.將f(x)=e-2X展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)．55.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線l的方程．56.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．57.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x，面積為

S(x)．

(1)寫(xiě)出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

58.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．59.

60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.求函數(shù)f(x，y)=e2x(x+y2+2y)的極值.

68.69.70.五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.已知函數(shù)

，則

=()。

A.1B.一1C.0D.不存在六、解答題(0題)72.求y"-2y'-8y=0的通解．

參考答案

1.D解析：由極值的必要條件知D正確。

y=｜x｜在x=0處取得極值，但不可導(dǎo)，知A與C不正確。

y=x3在x=0處導(dǎo)數(shù)為0，但x0=0不為它的極值點(diǎn)，可知B不正確。因此選D。

2.D

3.B

4.D可以將方程認(rèn)作可分離變量方程；也可以將方程認(rèn)作一階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數(shù)齊次微分方程，并作為特例求解。解法1將方程認(rèn)作可分離變量方程。分離變量

兩端分別積分

或y=Ce-x解法2將方程認(rèn)作一階線性微分方程．由通解公式可得解法3認(rèn)作二階常系數(shù)線性齊次微分方程特例求解：特征方程為r+1=0，特征根為r=-1，方程通解為y=Ce-x。

5.C

6.B

7.A

8.A

9.Ay=3-x，則y'=3-x。ln3*(-x)'=-3-xln3。因此選A。

10.D

11.B解析：

12.C

13.A本題考查的知識(shí)點(diǎn)為兩平面的位置關(guān)系。兩平面的關(guān)系可由平面的法向量n1，n2間的關(guān)系確定。若n1⊥n2，則兩平面必定垂直。若n1//n2，則兩平面平行，其中當(dāng)時(shí)，兩平面平行，但不重合。當(dāng)時(shí)，兩平面重合。若n1與n2既不垂直，也不平行，則兩平面斜交。由于n1={1，-2，3}，n2={2，1，0)，n1，n2=0，可知，n1⊥n2，因此π1⊥π2，故選A。

14.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)連續(xù)性的概念．

15.A

16.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：若f(x)可積分，則定積分的值為常數(shù)；可變上限積分求導(dǎo)公式的運(yùn)用．

注意到A左端為定積分，定積分存在時(shí)，其值一定為常數(shù)，常量的導(dǎo)數(shù)等于零．因此A不正確．

由可變上限積分求導(dǎo)公式可知B正確．C、D都不正確．

17.B如果y1，y2這兩個(gè)特解是線性無(wú)關(guān)的，即≠C，則C1y1+C2y2是其方程的通解?，F(xiàn)在題設(shè)中沒(méi)有指出是否線性無(wú)關(guān)，所以可能是通解，也可能不是通解，故選B。

18.B

19.A

20.D

21.22.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。由于所給級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)情形，

23.

24.

25.

解析：

26.

27.極大值為8極大值為8

28.29.1

30.1/e1/e解析：

31.

32.33.－sinX．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)運(yùn)算．

34.1本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的換元積分法．

35.3e3x36.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為重要極限公式。37.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的基本公式。

38.x2+y2=C

39.y''=x(asinx+bcosx)

40.

解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．

注意此處冪級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)情形．

41.

42.

43.曲線方程為，點(diǎn)(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

44.

45.

46.

47.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％

48.

49.

則

50.

列表：

說(shuō)明

51.

52.由等價(jià)無(wú)窮小量的定義可知53.由一階線性微分方程通解公式有

54.

55.

56.由二重積分物理意義知

57.

58.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

注意

59.

60.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

61.62.解法1原式(兩次利用洛必達(dá)法則)解法2原式(利用等價(jià)無(wú)窮小代換)本題考查的知識(shí)點(diǎn)為用洛必達(dá)法則求極限．

由于問(wèn)題為“∞-∞”型極限問(wèn)題，應(yīng)先將求極限的函數(shù)通分，使所求極限化為“”型問(wèn)題．

如果將上式右端直接利用洛必達(dá)法則求之，則運(yùn)算復(fù)雜．注意到使用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，如果能與等價(jià)無(wú)窮小代換