D常系數(shù)齊次微分方程

會(huì)計(jì)學(xué)1D常系數(shù)齊次微分方程2023/1/182.當(dāng)時(shí),

特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/183.當(dāng)時(shí),

特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:因此原方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18小結(jié):特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18若特征方程含k

重復(fù)根若特征方程含k

重實(shí)根r,則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)特征方程:推廣:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問(wèn)題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問(wèn)題的解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18例3.解:由第七節(jié)例1(P293)

知,位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無(wú)外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),初始求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律立坐標(biāo)系如圖,設(shè)t=0時(shí)物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)建因此定解問(wèn)題為自由振動(dòng)方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1)無(wú)阻尼自由振動(dòng)情況(

n=0)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18解的特征:簡(jiǎn)諧振動(dòng)A:振幅,:初相,周期:固有頻率機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(僅由系統(tǒng)特性確定)第8頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論:2)有阻尼自由振動(dòng)情況大阻尼:n>k臨界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18(n<k)

小阻尼自由振動(dòng)解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動(dòng)周期:振幅:衰減很快,隨時(shí)間t

的增大物體趨于平衡位置.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18(n>k)

大阻尼解的特征:1)無(wú)振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對(duì)任何初始條件即隨時(shí)間t

的增大物體總趨于平衡位置.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18(n=k)

臨界阻尼解的特征:任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t

軸交于一點(diǎn);即隨時(shí)間t

的增大物體總趨于平衡位置.2)無(wú)振蕩現(xiàn)象;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解推廣目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18例6.解:特征方程:即其根為方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18例7.解:

特征方程:特征根為則方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當(dāng)時(shí),通解為(2)當(dāng)時(shí),通解為(3)當(dāng)時(shí),通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18思考與練習(xí)

求方程的通解.答案:通解為通解為通解為作業(yè)

P3101(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第九節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第17頁(yè)/共19頁(yè)2023/1/18備