D最大值與最小值極值的應用問題

會計學1D最大值與最小值極值的應用問題注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為0或

不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質.例如

為極大點,

是極大值

是極小值

為極小點,

第1頁/共44頁特別:

當在內(nèi)只有一個極值可疑點時,

當在上單調(diào)時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.

(小)

對應用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)第2頁/共44頁例1求函數(shù)上[-2,2]的最值.在[-2,2]上最大值f(-2)=f(2)=11,駐點為x1=-1,x2=0,x3=1令解:由對應函數(shù)值為f(-1)=2,f(0)=3,f(1)=2端點的函數(shù)值為f(-2)=f(2)=11,最小值f(-1)=f(1)=2.第3頁/共44頁(1)建立目標函數(shù);(2)求最值;實際問題求最值應注意:第4頁/共44頁例2將長度等于l的鐵絲分成兩端,一段圍成正方形,另一端圍成圓形.問:兩端鐵絲各為多長時,正方形面積與圓形面積之和最小?當x=(πl(wèi))/(4+π)時,兩者面積之和為令解:由取x

長圍成圓,其半徑為,面積,解得>0,惟一的極小即最小.余下長度為l–x

,圍成正方形,其面積為極小,其面積為最小第5頁/共44頁例3設某商品價格P(q)

=9/2-3q/2萬元/單位,q為需求量.生產(chǎn)總成本為C(q)=1

+q3/2萬元, 問生產(chǎn)多少商品可以獲得最大利潤?解: 利潤＝總收益－總成本,令極大點q=1,生產(chǎn)1個產(chǎn)品可獲最大利潤1萬元.

總收益＝產(chǎn)量（生產(chǎn)量）＊價格設產(chǎn)量為q時的利潤為L(q)第6頁/共44頁例4.

做一容積為V的圓形罐頭筒, 怎樣設計才能使所用材料最省?解:

欲材料最省,則罐頭的總表面積最小.筒底圓半徑為r,高為h,側面積:底面積:體積:令得總表面積:為極小值也是最小值.S在點

這時相應的高為第7頁/共44頁例2.求邊長為a的鐵皮剪去四角折成

一無蓋方盒.如何作才使體積最大解:

設小正方形邊長為x,則盒底邊長為a-2x.因四角小正方形只能在(0,a/2)

內(nèi)取值.故小正方形邊長為a/6處體積最大.令,得第8頁/共44頁例6甲城乙城相距為a,轎車從甲開往乙.若車每小時燃油費用與車速的立方成正比,固定費用96元/小時.知車速100公里/小時,油費為60元/小時,問車速為何值可使整個行程總費用最小?解:設車速x(km/h),燃油+固定費用=Kx3+96(元/h)車每小時總費用

=6×10-5

x3+96元車全程用了a/x

小時全程總費用L(x)=(6×10-5

x3+96)×a/x

元求導L’(x)=a(12×10-5

x–96/x2)=0車速每小時93公里全程總費用最省.第9頁/共44頁作業(yè)4.5閱讀P106－109

P1091單,2,3

思考題思考題解答結論不成立.因為最值點不一定是內(nèi)點.例在有最小值，但第10頁/共44頁點擊圖片任意處播放\暫停敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？例2第11頁/共44頁(1)建立敵我相距函數(shù)關系敵我相距函數(shù)得唯一駐點解:第12頁/共44頁某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費．試問房租定為多少可獲得最大收入？解設房租為每月

元，租出去的房子有

套，每月總收入為例3第13頁/共44頁（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高.最大收入為例3續(xù)第14頁/共44頁點擊圖片任意處播放\暫停例4第15頁/共44頁如圖,例4解第16頁/共44頁解得例4解續(xù)第17頁/共44頁庫存費用:P24例2.某廠每年供應市場某型號車床a臺,分若干批生產(chǎn),解:總費用:每年生產(chǎn)準備費為:庫存量為每年生產(chǎn)批數(shù)為:設批量為x,庫存費與生產(chǎn)準備費為P(x).每批次的生產(chǎn)準備費為b元.產(chǎn)品均勻投放市場,且上一批費與生產(chǎn)準備機動目錄上頁下頁返回結束用完后立即生產(chǎn)下一批,即平均庫存為批量的一半.設每年每臺庫存費為為c元.顯然,生產(chǎn)批量大則庫存費高;生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多,生產(chǎn)準備費高.問如何生產(chǎn)使一年中庫存費的和最小.第18頁/共44頁P170例4解:又因一年中庫存費與生產(chǎn)準備費之和最小的最優(yōu)批量應為:故舍去.每批生產(chǎn)多少臺時,P(x)最小?量x的函數(shù)關系為一年中庫存費與生產(chǎn)準備費的和P(x)與每批產(chǎn)c為每臺產(chǎn)品的庫存費,在不考慮生產(chǎn)能力的條件下a為年產(chǎn)量,b為每批次的生產(chǎn)準備費,第19頁/共44頁(k

為某一常數(shù))例5.

鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點D

向工廠修一條

已知鐵路與公路每公里貨運價之比為3:5,為使貨D點應如何選取?20解:

設則令得

又所以為唯一的極小點,故

AD=15km時運費最省.總運費物從B運到工廠C的運費最省,從而為最小點,問Km,公路,

第20頁/共44頁例6.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.第21頁/共44頁因此也可通過例6.求函數(shù)說明:求最值點.與最值點相同,由于令(自己練習)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.第22頁/共44頁內(nèi)容小結1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣

(Th.3)第23頁/共44頁最值點應在極值點和邊界點上找;應用題可根據(jù)問題的實際意義判別.思考與練習2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設則在點a

處().的導數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號性.P60第24頁/共44頁2.

設在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點處(A)不可導;(B)可導,且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號性.第25頁/共44頁3.

設是方程的一個解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A第26頁/共44頁作業(yè)四P168-171閱讀P195

9(4),(8),(10),(12);P19620,23;26;29.

第27頁/共44頁作業(yè)問題第28頁/共44頁35求下列曲線的漸近線：解:第29頁/共44頁36作下列函數(shù)的圖形：解:第30頁/共44頁36作下列函數(shù)的圖形：解:第31頁/共44頁例4設某商品每斤成本為C元,需求函數(shù)為

q=a/(x-C)+b(100-x),其中a,b為正常數(shù).

問x

等于何值時可以獲得最大利潤?解:售出一斤可獲利x–C元,總利潤為令L’(x)=0得惟一駐點x0=50+C/2故L(50+C/2)=a+b(50-C/2)2為最大值.第32頁/共44頁44設某商品需求量Q對價格P的函數(shù)關系為

Q=f(P)=1600(1/4)P求需求Q對于價格P的彈性函數(shù)解:46設某商品的供給函數(shù)Q=2+3P,求供給彈性函數(shù)及P=3時的供給彈性.解:第33頁/共44頁47某商品的需求函數(shù)為Q=Q(P)=75-P2(1)求P=4時的邊際需求，并說明其經(jīng)濟意義；

(2)求P=4時的需求彈性，并說明其經(jīng)濟意義；

(3)當P=4時，若價格P上漲1％,總收益將變化百分之幾？是增加還是減少？(4)當P=6時，若價格P上漲1％,總收益將變化百分之幾？是增加還是減少？(5)P為多少時，總收益最大？解:第34頁/共44頁47解：第35頁/共44頁47解：第36頁/共44頁47解：第37頁/共44頁B9函數(shù)在x=x0處取得極大值則必有[]解:第38頁/共44頁B10

是函數(shù)f(x)在x=x0處有極小值的一個[]解:第39頁/共44頁B11函數(shù)在定義域內(nèi)[]解:第40頁/共44頁B11函數(shù)