D極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限

會計(jì)學(xué)1D極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限例1.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由第1頁/共49頁2.函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則1’.且第2頁/共49頁例2.求解:

令則利用夾逼準(zhǔn)則可知第3頁/共49頁3.準(zhǔn)則2(單調(diào)有界數(shù)列必有極限)(證明略)Mx1x5x4x3x2xna第4頁/共49頁第5頁/共49頁第6頁/共49頁二、兩個(gè)重要極限注第7頁/共49頁圓扇形AOB的面積證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注第8頁/共49頁如何計(jì)算：公式的推廣：如果請公式的特點(diǎn)！注意第9頁/共49頁例3.

求解:例4.

求解:

令則因此原式注意：變量代換也是一種很有用的方法第10頁/共49頁例5.

求解:

原式=例6.

已知圓內(nèi)接正n

邊形面積為證明:證:說明:計(jì)算中注意利用第11頁/共49頁例7.

求解:例8.

求解:原式第12頁/共49頁例.

求

解：因?yàn)樗?，?3頁/共49頁解例當(dāng)時(shí)，求第14頁/共49頁第15頁/共49頁2.證:利用二項(xiàng)式公式,有第16頁/共49頁大大正又比較可知第17頁/共49頁根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列即有極限.又內(nèi)容小結(jié)注:這個(gè)極限值被瑞士歐拉（Euler)首先用字母e表示，它是一個(gè)無理數(shù),其值用e=2.7182818284……)來表示.第18頁/共49頁2’.證:當(dāng)時(shí),設(shè)則第19頁/共49頁當(dāng)則從而有故說明:

此極限也可寫為:時(shí),令更一般地有:第20頁/共49頁例9.

求解:

令則說明

：若利用則原式第21頁/共49頁例10.求解:

原式=第22頁/共49頁例11求極限解第23頁/共49頁例11(復(fù)利息問題)設(shè)銀行將數(shù)量為A0的款貸出,每期利率為r.若一期結(jié)算一次,則t期后連本帶利可收回若每期結(jié)算

m次,則

t期后連本帶利可收回

現(xiàn)實(shí)生活中一些事物的生長(r>0)和衰減(r<0)就遵從這種規(guī)律,而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算。例如細(xì)胞的繁殖、樹木生長、物體冷卻、放射性元素的衰減等。第24頁/共49頁若按連續(xù)復(fù)利(將利息記入本金,時(shí)刻結(jié)算本利和的方法)計(jì)算：實(shí)質(zhì)上就是每期的結(jié)算次數(shù)時(shí)的本利和第25頁/共49頁貼現(xiàn)問題

與此相反，若已知未來值A(chǔ)t求現(xiàn)在值A(chǔ)0，則稱貼現(xiàn)問題。這時(shí)利率r稱為貼現(xiàn)率。連續(xù)的貼現(xiàn)公式為：

若稱A0為現(xiàn)在值，At為未來值，已知現(xiàn)在值求未來值是復(fù)利問題:由復(fù)利公式，容易推得離散的貼現(xiàn)公式為:第26頁/共49頁例12設(shè)年利率為6.5％，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)投資多少元，16年之末可得1200元？解：貼現(xiàn)率r=6.5％，未來值A(chǔ)t=1200，t=16?，F(xiàn)在值：第27頁/共49頁都是無窮小,引例.但可見無窮小量趨于0的速度是多樣的.三、無窮小的比較第28頁/共49頁定義.例如

,

當(dāng)若則稱是比高階的無窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱是比低階的無窮小;則稱是的同階無窮小;則稱是關(guān)于的k階無窮小;則稱是

的等價(jià)無窮小,記作第29頁/共49頁例1.

證明:當(dāng)時(shí),～證:～第30頁/共49頁例2.

證明:證:

目錄上頁下頁返回結(jié)束因此即有等價(jià)關(guān)系:說明:

上述證明過程也給出了等價(jià)關(guān)系:第31頁/共49頁～～定理1.證:即即例如,～～故第32頁/共49頁定理2.

設(shè)且存在,則證:例如,等價(jià)無窮小替換定理：第33頁/共49頁

注:此定理表明,求兩個(gè)無窮小量積或商的極限時(shí),如果分子（或分子的乘積因子）或分母（或分母的乘積因子）的等價(jià)無窮小量存在,則就可用它們各自的等價(jià)無窮小量來代換原來的分子或分母（或分子或分母的乘積因子）,使計(jì)算簡化。第34頁/共49頁例如,例3.求解:原式第35頁/共49頁例4.

求解:第36頁/共49頁例5.

第37頁/共49頁例6.

第38頁/共49頁例7若，求a.

解：所以，a=2.第39頁/共49頁例8

若【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.注：一般地，已知解第40頁/共49頁思考題：已知，求

解因?yàn)?，則所以，，利用等價(jià)無窮小替換得從而第41頁/共49頁常用等價(jià)無窮小:第八節(jié)第42頁/共49頁常用等價(jià)無窮小:注:

代表相同的表達(dá)式第43頁/共49頁內(nèi)容小結(jié)數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則1.極限存在準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;第44頁/共49頁2.兩個(gè)重要極限或注:

代表相同的表達(dá)式第45頁/共49頁3.無窮小的比較設(shè)

,

對同一自變量的變化過程為無窮小,且是的高階無窮小是的低階無窮小是的同階無窮小是的等價(jià)無窮小是的k階無