D連續(xù)性間斷點等習題課

會計學1D連續(xù)性間斷點等習題課continue若在某區(qū)間上每一點都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數

.例如,在上連續(xù).(有理整函數)又如,

有理分式函數在其定義域內連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數的集合記作只要都有第1頁/共45頁對自變量的增量有函數的增量左連續(xù)右連續(xù)當時,有函數在點連續(xù)有下列等價命題:

第2頁/共45頁例.

證明函數在內連續(xù).證:即這說明在內連續(xù).同樣可證:函數在內連續(xù).第3頁/共45頁在在二、函數的間斷點(1)函數(2)函數不存在;(3)函數存在,但不連續(xù):設在點的某去心鄰域內有定義,則下列情形這樣的點之一,函數f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點

.在無定義

;第4頁/共45頁間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點

.為跳躍間斷點

.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點

.第5頁/共45頁為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:第6頁/共45頁顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.第7頁/共45頁P65題*8

提示:

作業(yè)

P654;5第8頁/共45頁一、連續(xù)函數的運算法則第九節(jié)二、初等函數的連續(xù)性連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性

第一章

第9頁/共45頁定理2.

連續(xù)單調遞增函數的反函數也連續(xù)單調遞增.在其定義域內連續(xù)一、連續(xù)函數的運算法則定理1.

在某點連續(xù)的有限個函數經有限次和,差,積,(利用極限的四則運算法則證明)商(分母不為0)

運算,結果仍是一個在該點連續(xù)的函數.例如,例如,在上連續(xù)單調遞增，其反函數(遞減)(證明略)在[1,1]上也連續(xù)單調(遞減)遞增.第10頁/共45頁定理3.

連續(xù)函數的復合函數是連續(xù)的.分析:

設函數于是故復合函數且即第11頁/共45頁例如,是由連續(xù)函數鏈因此在上連續(xù).復合而成,第12頁/共45頁例1.設均在上連續(xù),證明函數也在上連續(xù).證:根據連續(xù)函數運算法則,可知也在上連續(xù).第13頁/共45頁二、初等函數的連續(xù)性基本初等函數在定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)函數經四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數的復合函數連續(xù)一切初等函數在定義區(qū)間內連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點為單側連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域為因此它無連續(xù)點而第14頁/共45頁例2.

求解:原式例3.

求解:

令則原式說明:

由此可見當時,有第15頁/共45頁例4.

求解:原式說明:

若則有第16頁/共45頁練習.

設解:討論復合函數的連續(xù)性.故此時連續(xù);而故x=1為第一類間斷點.在點x=1

不連續(xù),第17頁/共45頁第十節(jié)一、最值定理二、介值定理*三、一致連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質

第一章

第18頁/共45頁注意:

若函數在開區(qū)間上連續(xù),結論不一定成立.一、最值定理定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數即:設則使值和最小值.或在閉區(qū)間內有間斷

在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點

,第19頁/共45頁例如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,

第20頁/共45頁二、介值定理由定理1可知有證:

設上有界.定理2.

(零點定理)至少有一點且使(證明略)推論

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數在該區(qū)間上有界.

第21頁/共45頁定理3.(

介值定理)設且則對A

與B

之間的任一數C,一點證:

作輔助函數則且故由零點定理知,至少有一點使即推論:在閉區(qū)間上的連續(xù)函數使至少有必取得介于最小值與最大值之間的任何值.第22頁/共45頁例.證明方程一個根.證:顯然又故據零點定理,至少存在一點使即說明:內必有方程的根;取的中點內必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在區(qū)間內至少有則則第23頁/共45頁*三.一致連續(xù)性已知函數在區(qū)間

I

上連續(xù),即:一般情形,就引出了一致連續(xù)的概念.定義:對任意的都有在I

上一致連續(xù).顯然:第24頁/共45頁例如,但不一致連續(xù).（證明在最后一頁）定理4.上一致連續(xù).思考:P74題*7提示:設存在,作輔助函數顯然第25頁/共45頁內容小結1左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續(xù)的等價形式第26頁/共45頁

內容小結2.

基本初等函數在定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)函數的四則運算結果仍連續(xù)連續(xù)函數的反函數連續(xù)連續(xù)函數的復合函數連續(xù)

初等函數在定義區(qū)間內連續(xù)說明:

分段函數在界點處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.第27頁/共45頁內容小結3.在上達到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.當時,使必存在上有界;在在第28頁/共45頁練習1.討論函數x=2是第二類無窮間斷點.間斷點的類型.2.設時提示:3.P65題3為連續(xù)函數.答案:x=1是第一類可去間斷點,第29頁/共45頁4.

續(xù)?反例

x

為有理數

x

為無理數處處間斷,處處連續(xù).反之是否成立?

作業(yè)P693(5),(6),(7);4(4)，(6);

6提示:“反之”不成立.第30頁/共45頁1.

任給一張面積為A

的紙片(如圖),證明必可將它思考一刀剪為面積相等的兩片.提示:建立坐標系如圖.則面積函數因故由介值定理可知:第31頁/共45頁則證明至少存在使提示:

令則易證2.

設一點第32頁/共45頁3.

確定函數間斷點的類型.解:

間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.第33頁/共45頁例如,但不一致連續(xù).因為取點則可以任意小但這說明在(0,1]上不一致連續(xù).思考:P74題*7提示:設存在,作輔助函數顯然第34頁/共45頁二、連續(xù)與間斷一、函數三、極限習題課函數與極限

第一章

第35頁/共45頁思考與練習1.下列各組函數是否相同?為什么?相同相同相同第36頁/共45頁2.

已知,求解:3.

設求解:第37頁/共45頁4.

設函數在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.提示:第38頁/共45頁有無窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在5.

設函數試確定常數a

及b.第39頁/共45頁6.

無窮小常用等價無窮小:

兩個重要極限或注:

代表相同的表達式第40頁/共45頁6.

求極限：提示:無窮小有界第41頁/共45頁7.

確定常數a,b,

使解:原式可變形為故于是而第42頁/共45頁