單因素試驗(yàn)的方差分析

會(huì)計(jì)學(xué)1單因素試驗(yàn)的方差分析

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研活動(dòng)中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多，例如影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對(duì)產(chǎn)量有顯著影響，就要先做試驗(yàn)，然后對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析，作出判斷。方差分析就是分析測(cè)試結(jié)果的一種方法。引言第1頁(yè)/共25頁(yè)基本概念試驗(yàn)指標(biāo)——試驗(yàn)結(jié)果。可控因素——在影響試驗(yàn)結(jié)果的眾多因素中，可人為控制的因素。水平——可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個(gè)水平又稱為試驗(yàn)的一個(gè)處理。單因素試驗(yàn)——如果在一項(xiàng)試驗(yàn)中只有一個(gè)因素改變，其它的可控因素不變，則該類試驗(yàn)稱為單因素試驗(yàn)。第2頁(yè)/共25頁(yè)引例例1

（燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每批燈泡中作隨機(jī)抽樣，測(cè)量其使用壽命（單位：小時(shí)），數(shù)據(jù)如下：

燈泡壽命燈絲12345678甲1600161016501680170017201800乙15801640164017001750丙14601550160016201640174016601820丁151015201530157016801600第3頁(yè)/共25頁(yè)燈泡的使用壽命——試驗(yàn)指標(biāo)

燈絲的配料方案——試驗(yàn)因素（唯一的一個(gè)）四種配料方案（甲乙丙?。膫€(gè)水平

因此，本例是一個(gè)四水平的單因素試驗(yàn)。引例用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為四個(gè)總體。假設(shè)X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且服從方差相同的正態(tài)分布，即Xi~N（i，2）（i=1，2，3，4）本例問題歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè)H0：1=2=3=4是否成立

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我們的目的是通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)來判斷因素A的不同水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)是否有影響。

設(shè)A表示欲考察的因素，它的個(gè)不同水平，對(duì)應(yīng)的指標(biāo)視作個(gè)總體每個(gè)水平下,我們作若干次重復(fù)試驗(yàn)：（可等重復(fù)也可不等重復(fù)），同一水平的個(gè)結(jié)果，就是這個(gè)總體的一個(gè)樣本：

單因素試驗(yàn)的方差分析因此，相互獨(dú)立，且與同分布。第5頁(yè)/共25頁(yè)單因素試驗(yàn)資料表其中諸可以不一樣，水平重復(fù)1...ni（水平組內(nèi)平均值）（總平均值）試驗(yàn)結(jié)果第6頁(yè)/共25頁(yè)

縱向個(gè)體間的差異稱為隨機(jī)誤差（組內(nèi)差異），由試驗(yàn)造成；橫向個(gè)體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。品種重復(fù)123例：五個(gè)水稻品種單位產(chǎn)量的觀測(cè)值——P165第7頁(yè)/共25頁(yè)

由于同一水平下重復(fù)試驗(yàn)的個(gè)體差異是隨機(jī)誤差，所以設(shè)：其中為試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布線性統(tǒng)計(jì)模型

單因素試驗(yàn)的方差分析的數(shù)學(xué)模型具有方差齊性。相互獨(dú)立，從而各子樣也相互獨(dú)立。首先，我們作如下假設(shè)：即第8頁(yè)/共25頁(yè)令（其中）稱為一般平均值。稱為因素A的第個(gè)水平的效應(yīng)。則線性統(tǒng)計(jì)模型變成于是檢驗(yàn)假設(shè)：等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)：顯然有：整個(gè)試驗(yàn)的均值第9頁(yè)/共25頁(yè)考察統(tǒng)計(jì)量經(jīng)恒等變形，可分解為：其中組間平方和（系統(tǒng)離差平方和）反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。如果H0

成立，則SSA

較小。若H0成立，則總離差平方和見書P168其中第10頁(yè)/共25頁(yè)組內(nèi)平方和誤差平方和這里反映的是重復(fù)試驗(yàn)種隨機(jī)誤差的大小。表示水平Ai的隨機(jī)誤差；表示整個(gè)試驗(yàn)的隨機(jī)誤差第11頁(yè)/共25頁(yè)若假設(shè)成立，則由P106定理5.1可推得：將的自由度分別記作則（記，稱作均方和）（各子樣同分布）第12頁(yè)/共25頁(yè)則（記，稱作均方和）對(duì)給定的檢驗(yàn)水平，由得H0的拒絕域?yàn)椋篎單側(cè)檢驗(yàn)

結(jié)論：方差分析實(shí)質(zhì)上是假設(shè)檢驗(yàn)，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計(jì)量，對(duì)同方差的多個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。單因素試驗(yàn)中兩個(gè)水平的均值檢驗(yàn)可用第七章的T檢驗(yàn)法。思考：為什么此處只做單側(cè)檢驗(yàn)？第13頁(yè)/共25頁(yè)（1）若，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計(jì)意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時(shí)作標(biāo)記；約定（2）若，則稱因素的差異顯著（差異有統(tǒng)計(jì)意義），或稱因素A的影響顯著，作標(biāo)記；（3）若，則稱因素A有一定影響，作標(biāo)記（）；（4）若，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計(jì)意義）。注意：在方差分析表中，習(xí)慣于作如下規(guī)定：第14頁(yè)/共25頁(yè)單因素試驗(yàn)方差分析表方差來源組間組內(nèi)總和平方和自由度均方和F值F值臨介值簡(jiǎn)便計(jì)算公式：其中同一水平下觀測(cè)值之和所以觀測(cè)值之和第15頁(yè)/共25頁(yè)

例2P1952以A、B、C三種飼料喂豬，得一個(gè)月后每豬所增體重（單位：500g）于下表，試作方差分析。飼料ABC增重514043482325262328解：第16頁(yè)/共25頁(yè)解：第17頁(yè)/共25頁(yè)不同的飼料對(duì)豬的體重的影響極有統(tǒng)計(jì)意義。列方差分析表方差來源組間組內(nèi)總和平方和自由度均方和F值F值臨介值第18頁(yè)/共25頁(yè)例2的上機(jī)實(shí)現(xiàn)步驟1、輸入原始數(shù)據(jù)列，并存到A，B，C列；第19頁(yè)/共25頁(yè)各水平數(shù)據(jù)放同一列各水平數(shù)據(jù)放在不同列2、選擇Stat>ANOVA>one-way(unstacked)第20頁(yè)/共2