變化率問題 及導(dǎo)數(shù)的概念

會計(jì)學(xué)1變化率問題及導(dǎo)數(shù)的概念早在十七世紀(jì)，歐洲資本主義發(fā)展初期，由于工場的手工業(yè)向機(jī)器生產(chǎn)過渡，提高了生產(chǎn)力，促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，其中突出的成就就是數(shù)學(xué)研究中取得了豐碩的成果——微積分的產(chǎn)生。牛頓萊布尼茨第1頁/共31頁背景介紹

微積分的奠基人是牛頓和萊布尼茨，他們分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何學(xué)角度來研究微積分。微積分靠著解析幾何的幫助，成為十七世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，此后，微積分得到了廣泛應(yīng)用。例如，在軍事上，戰(zhàn)爭中涉及炮彈的最遠(yuǎn)射程問題，天文學(xué)上，行星與太陽的最近與最遠(yuǎn)距離問題等等，甚至連歷法、農(nóng)業(yè)都與微積分密切相關(guān)，更不用說在我們的日常生活中所碰到的那些問題了。第2頁/共31頁第3頁/共31頁1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.2.導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.（重點(diǎn)）第4頁/共31頁探究點(diǎn)1變化率問題問題1氣球膨脹率我們都吹過氣球.回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么第5頁/共31頁當(dāng)V從0增加到1L時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當(dāng)V從1L增加到2L時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為

顯然0.62>0.16我們來分析一下:第6頁/共31頁思考:當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?解析：第7頁/共31頁hto問題2高臺跳水在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?第8頁/共31頁hto解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10第9頁/共31頁

計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問題:思考：(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎?在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時(shí)間里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).第10頁/共31頁這里Δx看作是相對于x1的一個(gè)“增量”可用x1+Δx代替x2同樣Δy=f(x2)-f(x1)平均變化率定義:上述問題中的變化率可用式子表示.稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率.若設(shè)Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)第11頁/共31頁觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直線AB的斜率第12頁/共31頁

在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能反映運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.

又如何求瞬時(shí)速度呢?探究點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的概念第13頁/共31頁

平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢呢?求：從2s到(2+△t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度解：第14頁/共31頁△t<0時(shí),在[2+△t,2]這段時(shí)間內(nèi)△t>0時(shí),在[2,2+△t]這段時(shí)間內(nèi)當(dāng)△t=–0.01時(shí),當(dāng)△t=0.01時(shí),當(dāng)△t=–0.001時(shí),當(dāng)△t=0.001時(shí),當(dāng)△t=–0.0001時(shí),當(dāng)△t=0.0001時(shí),當(dāng)△t=–0.00001時(shí),當(dāng)△t=0.00001時(shí),當(dāng)△t=–0.000001時(shí),當(dāng)△t=0.000001時(shí),…………當(dāng)Δt趨近于0時(shí),平均速度有什么變化趨勢?第15頁/共31頁

當(dāng)△t趨近于0時(shí),即無論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時(shí),平均速度都趨近于一個(gè)確定的值–13.1.

從物理的角度看,時(shí)間間隔|△t|無限變小時(shí),平均速度就無限趨近于t=2時(shí)的瞬時(shí)速度.因此,運(yùn)動(dòng)員在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度是–13.1m/s.從2s到(2+△t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度第16頁/共31頁表示“當(dāng)t=2,△t趨近于0時(shí),平均速度趨近于確定值–13.1”.為了表述方便，我們用第17頁/共31頁局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值.那么,運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為第18頁/共31頁探究:運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0

的瞬時(shí)速度怎樣表示?第19頁/共31頁導(dǎo)數(shù)的概念:函數(shù)y=f(x)在x=x0

處的瞬時(shí)變化率是稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0

處的導(dǎo)數(shù),記作或,即第20頁/共31頁總結(jié)提升第21頁/共31頁求函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的一般方法:求函數(shù)的改變量2.求平均變化率3.求值一差、二比、三極限第22頁/共31頁

例將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱.如果在第xh時(shí),原油的溫度(單位:)為y=f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).計(jì)算第2h與第6h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說明它們的意義.解:

在第2h和第6h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率就是和根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,第23頁/共31頁所以,同理可得

在第2h和第6h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為–3和5.它說明在第2h附近,原油溫度大約以3/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5/h的速率上升.第24頁/共31頁1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+Δx,-2+Δy),則=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-ΔxD2.如圖，函數(shù)y=f（x）在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率是（

）A.1 B.-1C.2 D.-2B第25頁/共31頁【解析】3.求y=x2在x=x0附近的平均速度.4.過曲線y=f(x)=x3上兩點(diǎn)P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當(dāng)Δx=0.1時(shí)割線的斜率.【解析】第26頁/共31頁析】.【第27頁/共31頁2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)的增量Δy=f(x2)-f(x1)(2)計(jì)算平均變化率1.函數(shù)的平均變化率第28頁/共31頁3.求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度：（1）求位移增量Δs=s(