專題09 新定義問題(教師版)

專題09新定義問題（2）【規(guī)律總結(jié)】※知識精要新定義型問題是學(xué)習(xí)型閱讀理解題，是指題目中首先給出一個(gè)新定義（新概念或新公式），通過閱讀題目提供的材料，理解新定義，再通過對新定義的理解來解決題目提出的問題。其主要目的是通過對新定義的理解與運(yùn)用來考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，便于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。※要點(diǎn)突破解決此類題的關(guān)鍵是（1）深刻理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的做題方法；歸納“舉例”提供的分類情況；（3）依據(jù)新定義，運(yùn)用類比、歸納、聯(lián)想、分類討論以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決題目中需要解決的問題。【典例分析】例1.（2020?東北師大附中明珠學(xué)校八年級期中）若規(guī)定，（x）表示最接近x的整數(shù)（x*n+0?5，n整數(shù)）例如：f（0.7）=1，f（2.3）=2,f（5）=5，則f（1）+f（豆）+f（、/W）+...」（、務(wù)）的值（ ）A（16 B（17 C.18 D（19【答案】D【分析】根據(jù)/（x）表示的意義，分別求出f（1），f（、'2），fG3），...f（、0）的值，再計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】由f(x)表示的意義可得，f(1)=1,fJ2)=1,f(\：'3)=2,f(瑚4)=2,f(,：5)=2,f(<6)=2,f(如7)=3,f(\.'8)=3,f(?'9)=3,酣(1)+f(。2)+f()+...+f(\.'9)=1+1+2+2+2+2+3+3+3=19,故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問題，準(zhǔn)確理解新定義的基本意義是解題的關(guān)鍵.例2.(2020.浙江寧波市?七年級期末)現(xiàn)定義兩種運(yùn)算“十”“"，對于任意兩個(gè)孩數(shù)，a?b=a+b-1,a*b=axb-1,則(6十8)*(3十5)的結(jié)果是.【答案】90【分析】首先理解兩種運(yùn)算"乎"*”的規(guī)定，然后按照混合運(yùn)算的順序，有括號的先算括號里面的，本題先算608,305，再把它們的結(jié)果用“*”計(jì)算.【詳解】解：由題意知，(608)*(305)=(6+8-1)*(3+5-1)=13*7=13x7-1=90.故答案為：90.【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算.考查了學(xué)生讀題做題的能力.理解兩種運(yùn)算回'"*”的規(guī)定是解題的關(guān)鍵.例3.(2021?廣東佛山市?七年級期末)對于有理數(shù)a、b，定義了一種新運(yùn)算“T為:2a-b(a>b)a^a^b=<a-—b(a<b)3如：5淤3=2x5-3=7,豚3=1-：x3=-1.計(jì)算：①2※(-1)=；②(-4)※(-3)=；若3^m=-1+3尤是關(guān)于尤的一元一次方程，且方程的解為%=2，求m的值；若A=—X3+4x2—x+1，B=—x3+6x2—x+2，且A淤B=—3，求2x3+2x的值.【答案】(1)①5；②-2；(2)1；(3)16.【分析】(1)根據(jù)題中定義代入即可得出；⑵根據(jù)x=2，討論3和m的兩種大小關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算；⑶先判定A、B的大小關(guān)系，再進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)題意：圖2>-102※(-1)=2x2-(-1)=5圖-4<-30(—4)淤(-3)=—4-2x(—3)=—4+2=—230x=203^m=—1+3x2=5①若3>m則2x3一m=5，解得m=1②若3<m.2 。則3-3xm=5，解得m=-3(不符合題意)，0m=1(3)0A—B=C—x3+4x2—x+1)—^―x3+6x2—x+2)=—2x2—1<00A<B2( )°0A^B=A——B=-x3+4x2-x+1- -x3+6x2-x+2/=—3302x3+2x=2x8=16【點(diǎn)睛】本題考查了一種新運(yùn)算，讀懂題意掌握新運(yùn)算并能正確化簡是解題的關(guān)鍵.【好題演練】一、單選題（2020?北京西城區(qū)?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）一個(gè)含有多個(gè)字母的整式，如果把其中任何兩個(gè)字母互換位置，所得的結(jié)果與原式相同，那么稱此整式是對稱整式.例如，x2+y2+z2是對稱整式，x2—2y2+3z2不是對稱整式.所含字母相同的兩個(gè)對稱整式求和，若結(jié)果中仍含有多個(gè)字母，則該和仍為對稱整式；一個(gè)多項(xiàng)式是對稱整式，那么該多項(xiàng)式中各項(xiàng)的次數(shù)必相同單項(xiàng)式不可能是對稱整式若某對稱整式只含字母X,y,z,且其中有一項(xiàng)為X2y，則該多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)至少為3.以上結(jié)論中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【分析】根據(jù)對稱整式的概念逐一辨析即可.【詳解】兩個(gè)對稱整式求和后，與原來對稱整式的字母相同，且項(xiàng)數(shù)次數(shù)等都相同，則這個(gè)整式仍然是對稱整式，故正確；例如：X2+y2+z2+X+y+z是對稱整式，但是每一項(xiàng)的次數(shù)不相同，故錯(cuò)誤；例如：與，是單項(xiàng)式，也是對稱整式，故錯(cuò)誤；已知其中一項(xiàng)為x2y若X，y互換，則有項(xiàng)為：y2x若X，z互換，則有項(xiàng)為：z2y，y2z若z，y互換，則有項(xiàng)為：x2z，z2X園該多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)至少為6，綜上，結(jié)論錯(cuò)誤的有②③④，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查整式的新定義問題，仔細(xì)審題，理解題意是解題關(guān)鍵.（2021?全國七年級）如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)".如：2=13-（-1）3,26=33-13,2和26均為和諧數(shù).那么，不超過2019的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)"之和為（）A.6858 B.6860 C.9260 D.9262【答案】B【分析】2017由（2n+1》-（2n—1》=24n2+2<2019可得n2< ，再根據(jù)和諧數(shù)為正整數(shù)，得到1<n<9,可得不超過2019的正整數(shù)中，"和諧數(shù)”共有10個(gè)，依次列式計(jì)算即可求解.【詳解】解：由(2n+1)3—(2n—1)3=24n2+2<2019，可得n2圖和諧數(shù)為正整數(shù)，園1<n<9，且為正整數(shù)，則在不超過2019的正整數(shù)中，所有的"和諧數(shù)'之和為13—(—1)3+33—13+53—33+...+193-173=193-(-1)3=6860故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方、整式的乘法與乘法公式，弄清題中"和諧數(shù)”的定義是解本題的關(guān)鍵．二、填空題ab(2。2。東北師大附中明珠學(xué)校八年級期中)對于任意實(shí)數(shù)，若規(guī)定cd=ad*則當(dāng)xi-2x-5=0時(shí)，【答案】9【分析】原式利用題中的新定義化簡，把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值.【詳解】解：0X2-2x-5=0,0X2-2x=5,則原式=(x+1)(x-1)-x(4-X)=X2-1-4x+x2=2x2-4x-1=2(x2-2x)-1=10-1=9.故答案為：9.【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵。(2020浙江紹興市八年級其他模擬)定義：等腰三角形的一個(gè)底角與其頂角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“特征值”，若等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為80°,則它的特征值k=8 1【答案】5或彳【分析】可知等腰三角形的兩底角相等，則可求得底角的度數(shù).從而可求解.【詳解】解：①當(dāng)80°為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：(180-80)92=50°,圖特征值k=80950=5②當(dāng)80°為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為：180°-80°-80°=20。圖特征值k=20980=481綜上所述，特征值k為5或彳81故答案為5或4【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，要注意到本題中，已知圖人的度數(shù)，要分圖人是頂角和底角兩種情況，以免造成答案的遺漏.三、解答題(2020?浙江嘉興市?八年級期末)我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形為勾股高三角形，這兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn).

(1)特例感知等腰直角三角形 勾股高三角形(請?zhí)顚戉ā被蛘摺安皇恰?BD=寸5，AD=1，試求線段CD的長度.BD,BD=寸5，AD=1，試求線段CD的長度.BD,AD=1(2)深入探究如圖2,已知ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)且CA〉CB,CD是AB邊上試探究線段AD與CB的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；△【答案】(1)①是；②CD=2；(2)證明見解析.【分析】①設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為。，再求解斜邊的長為V'2a，由Ja)-a2=a2,結(jié)合勾股高三角形的定義可得答案；②根據(jù)勾股定理得到CB2=CD2+5,CA2=CD2+1,根據(jù)勾股高三角形的定義得到CD2=BC2-AC2，再列方程，解方程可得答案；由園ABC為勾股高三角形，C為勾股頂點(diǎn)且CA〉CB，CD是AB邊上的高，可得：CA2-CD2=CB2,再由勾股定理可得：CA2-CD2=AD2，從而可得結(jié)論.【詳解】解：(1)①設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為a則斜邊長=\：a2+a2=、?；2a園C2a)-a2=a2,等腰直角三角形的一條直角邊可以看作另一條直角邊上的高，

圖等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案為：是；②CD±AB,BD=-j5，AD=1由勾股定理可得：CB2=CD2+BD2=CD2+5,CA2=CD2+AD2=CD2+1,霍ABC為勾股高三角形，C為勾股頂點(diǎn)，CD是AB邊上的高，圖CD2=BC2-AC2圖CD2=（CD2+5^-（cD2+1）CD2=4，解得，CD=2（負(fù)根舍去）；（2）AD=CB，證明如下：霍ABC為勾股高三角形，C為勾股頂點(diǎn)且CA>CB，CD是AB邊上的高，圖CD2=CA2—CB2:.CA2-CD2=CB2,CD±AB,臥CA2-CD2=AD2圖CB2=AD2CB,AD都為線段，國AD=CB【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，勾股高三角形的定義，利用平方根的含義解方程，等腰直角三角形的定義，正確理解勾股高三角形的定義，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.(2020全國九年級專題練習(xí))若將自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)稱為“3倍點(diǎn)”，取任意的一個(gè)“3倍點(diǎn)”P，到點(diǎn)P距離為1的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分別記為a，b.定義：若數(shù)K=a2+b2—ab，則稱數(shù)K為“尼爾數(shù)”.例如：若P所表示的數(shù)為3，則a=2，b=4,那么K=22+42—2x4=12；若P所表示的數(shù)為12，則a=11，b=13，那么K=132+112—13x11=147，所以12，147是“尼爾數(shù)”.請直接判斷6和39是不是“尼爾數(shù)”，并且證明所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3；已知兩個(gè)“尼爾數(shù)”的差是189,求這兩個(gè)"尼爾數(shù)”.【答案】(1)6不是尼爾數(shù)，39是尼爾數(shù)，證明見解析；(2)這兩個(gè)尼爾數(shù)分別是228,39或1092,309.【分析】根據(jù)"尼爾數(shù)”的定義，設(shè)P表示的數(shù)為x(x是能被3整除的自然數(shù))，則K=x2+3分別令X2+3=6，X2+3=39，解方程，判斷x的解是不是能被3整除的自然數(shù)即可；證明所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3時(shí)，可設(shè)P表示的數(shù)為3m，則K可化為9m2+3，由m為整數(shù)得9m2+3被9除余3；設(shè)這兩個(gè)尼爾數(shù)分別是K1，K2,將兩個(gè)"尼爾數(shù)”所對應(yīng)的“3倍點(diǎn)數(shù)叩"2分別記為3m1，3m2，則K1—K2=9m12—9m22=189，m12—m22=21，再根據(jù)m1，m2都是整數(shù)，可解出m1，m2，從而得到K1，K2.【詳解】⑴設(shè)P表示的數(shù)為x(x是能被3整除的自然數(shù))，則a=x-1，b=x+1K=(x-1)2+(x+1)2-(x-1)(x+1)=x2+3

令X2+3=6，得x=\；3，令x2+3=39，得X=606不是尼爾數(shù)，39是尼爾數(shù).證明：設(shè)P表示的數(shù)為3m,則a=(3m—1),b=(3m+1),K=(3m—1)2+(3m+1)2—(3m—1)(3m+1)=9m2+3,0m為整數(shù)，0m2為整數(shù)，09m2+3被9除余3；(2)設(shè)這兩個(gè)尼爾數(shù)分別是K1，K2,將兩個(gè)"尼爾數(shù)”所對應(yīng)的“3倍點(diǎn)數(shù)%P2分別記為