高中數(shù)學(xué) 13.1、2、3　精品同步導(dǎo)學(xué) 北師大選修11

§3全稱(chēng)量詞與存在量詞

.3.1全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)命題.3.2存在量詞與特稱(chēng)命題.3.3全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的否定..1.理解全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題．2.能判定全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題的真假．3.理解全稱(chēng)命題、特稱(chēng)命題的否定之間的關(guān)系．4.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定..1.對(duì)全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題的理解．(重點(diǎn))2.對(duì)不含量詞的全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題真假的判斷．(易混點(diǎn))3.對(duì)全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題的否定的理解．(重點(diǎn))4.寫(xiě)出全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題的否定．(易混點(diǎn))..[提示]充分2．命題有四種形式，否命題相對(duì)于原命題來(lái)說(shuō)否定的什么？[提示]既否定條件又否定結(jié)論．.全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題全稱(chēng)命題特稱(chēng)命題量詞在一些命題的條件中，“所有”“每一個(gè)”“任何一個(gè)”“任意一個(gè)”“一切”等都是在指定范圍內(nèi)，表示

的含義，這樣的詞叫作全稱(chēng)量詞在一些命題中，“有些”“至少有一個(gè)”“有一個(gè)”“存在”等都有表示

的含義，這樣的詞叫作存在量詞命題含有全稱(chēng)量詞的命題含有存在量詞的命題形式對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立，可簡(jiǎn)記為任意的x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)，即在M中存在一個(gè)元素x0，使p(x0)成立．否定存在x0∈M，p(x0)不成立．

的否定是

.任意的x∈M，非p(x)．

的否定是

.整體或全部個(gè)別或一部分全稱(chēng)命題特稱(chēng)命題特稱(chēng)命題全稱(chēng)命題.1．下列命題中是全稱(chēng)命題并且是真命題的是()A．每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開(kāi)口向上B．對(duì)任意非正數(shù)c，若a≤b＋c，則a≤bC．存在一條直線(xiàn)與兩個(gè)相交平面都垂直D．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0使不等式x02－3x0＋6<0成立答案：B.2．命題“有的函數(shù)沒(méi)有解析式”的否定是()A．有的函數(shù)有解析式B．任何函數(shù)都沒(méi)有解析式C．任何函數(shù)都有解析式D．多數(shù)函數(shù)有解析式解析：原命題是特稱(chēng)命題，它的否定應(yīng)是全稱(chēng)命題．答案：C.3．下列語(yǔ)句：①有一個(gè)實(shí)數(shù)a不能取對(duì)數(shù)；②所有不等式的解集A，都有A?R；③有的向量方向不定；④自然數(shù)的平方是正數(shù)．其中全稱(chēng)命題有________(填序號(hào))，特稱(chēng)命題有__________(填序號(hào))．解析：因?yàn)棰佗酆写嬖诹吭~，所以①③為特稱(chēng)命題；因?yàn)椤白匀粩?shù)的平方是正數(shù)”的實(shí)質(zhì)是“任意一個(gè)自然數(shù)的平方都是正數(shù)”．②含有全稱(chēng)量詞，故②④均為全稱(chēng)命題．答案：②④①③.4．指出下列命題中，哪些是全稱(chēng)命題，哪些是特稱(chēng)命題，并判斷真假：(1)當(dāng)a＞1時(shí)，則對(duì)任意x，曲線(xiàn)y＝ax與曲線(xiàn)y＝logax有交點(diǎn)．(2)被5整除的整數(shù)的末位數(shù)字都是0.(3)有的四邊形沒(méi)有外接圓．.解析：(1)、(2)是全稱(chēng)命題，(3)是特稱(chēng)命題，對(duì)(1)當(dāng)a＞1時(shí)，y＝ax與y＝logax都是增函數(shù)且兩函數(shù)是互為反函數(shù)；圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)故沒(méi)有交點(diǎn)．所以(1)是假命題．對(duì)于(2)∵末位數(shù)字是5的整數(shù)也能被5整除．∴(2)是假命題．對(duì)于(3)∵只有對(duì)角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓，∴(3)是真命題...判斷下列語(yǔ)句是全稱(chēng)命題，還是特稱(chēng)命題．(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)對(duì)任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的對(duì)角線(xiàn)不相等；(5)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直．.首先確定命題中含有的量詞，再判斷命題的形式．.[解題過(guò)程]

序號(hào)結(jié)論理由(1)全稱(chēng)命題可以改為所有的凸多邊形的外角和等于360°(2)特稱(chēng)命題含有存在量詞“有的”(3)全稱(chēng)命題含有全稱(chēng)量詞“任意”(4)全稱(chēng)命題可以改為所有矩形的對(duì)角線(xiàn)不相等(5)全稱(chēng)命題若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所有的菱形.1.判斷下列語(yǔ)句是否是全稱(chēng)命題或存在性命題：①有一個(gè)實(shí)數(shù)a，a不能取對(duì)數(shù)；②所有不等式的解集A，都有A?R；③三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？④有的向量方向不確定；⑤自然數(shù)的平方是正數(shù)．.解析：

∵①④含有存在量詞，∴命題①④為存在性命題；又∵“自然數(shù)的平方是正數(shù)”的實(shí)質(zhì)是“任意一個(gè)自然數(shù)的平方都是正數(shù)”，∴②⑤均含有全稱(chēng)量詞，故為全稱(chēng)命題．③不是命題．綜上所述：①④為存在性命題，②⑤為全稱(chēng)命題，③不是命題．.判斷下列命題的真假：(1)p：所有的單位向量都相等；(2)p：任一等比數(shù)列{an}的公比q≠0；(3)p：存在x0∈R，x02＋2x0＋3≤0；(4)p：存在等差數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n－1....2.判斷下列命題的真假．(1)所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(2)有一個(gè)實(shí)數(shù)，使x2＋2x＋3＝0；(3)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)；(4)所有奇數(shù)都能被3整除．.解析：(1)2是素?cái)?shù)，但不是奇數(shù)，所以，全稱(chēng)命題“所有素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題．(2)對(duì)于任意x，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此，使x2＋2x＋3＝0的實(shí)數(shù)x不存在，所以特稱(chēng)命題“有一個(gè)實(shí)數(shù)，使x2＋2x＋3＝0”是假命題．(3)由于存在整數(shù)3只有兩個(gè)正因數(shù)1和3，所以特稱(chēng)命題“有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)”是真命題．(4)由于存在奇數(shù)1不能被3整數(shù)，所以全稱(chēng)命題“所有奇數(shù)都能被3整除”是假命題．.(2011·遼寧卷)已知命題p：?n∈N,2n＞1000，則?p為()A．?n∈N,2n≤1000 B．?n∈N,2n＞1000C．?n∈N,2n≤1000 D．?n∈N,2n＜1000解析：由于特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，因而?p為?n∈N,2n≤1000.答案：A.寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷其真假．(1)p：任意的x∈R，都有|x|＝x；(2)p：任意的x∈R，x3>x2；(3)p：至少有一個(gè)二次函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；(4)p：存在一個(gè)角α∈R，使得sin2α＋cos2α≠1..[解題過(guò)程](1)p是全稱(chēng)命題．p的否定是：存在x0∈R，有|x0|≠x0，如x0＝－1，|－1|＝1≠－1.所以p的否定是真命題．(2)p是全稱(chēng)命題．p的否定是：存在x0∈R，x03≤x02，如x0＝－1時(shí)，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，即(－1)3≤(－1)2，所以p的否定是真命題．.(3)p是特稱(chēng)命題．p的否定是：所有二次函數(shù)都有零點(diǎn)，如二次函數(shù)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0.任意的x0∈R，y＝x02＋2x0＋3≠0.所以p是真命題，因此p的否定是假命題．(4)p是特稱(chēng)命題．p的否定是：任意的α∈R，sin2α＋cos2α＝1，設(shè)任意角α終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x，y)．則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，顯然有sin2α＋cos2α＝y(tǒng)2＋x2＝1，所以p的否定是真命題．.3.判斷下列命題的真假，并寫(xiě)出這些命題的否定．(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開(kāi)口向下；(3)存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形；(4)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得3x0<0..解析：(1)全稱(chēng)命題，且為真命題．否定：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一個(gè)三角形，且它的內(nèi)角和不等于180°.(2)全稱(chēng)命題，且為假命題．否定：存在一個(gè)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口不向下．(3)特稱(chēng)命題，且為真命題．否定：所有四邊形都是平行四邊形．(4)特稱(chēng)命題，且為假命題．否定：對(duì)于所有實(shí)數(shù)x，都滿(mǎn)足3x≥0..1．全稱(chēng)量詞概念：短語(yǔ)“對(duì)所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，用符號(hào)“?”表示，含有全稱(chēng)量詞的命題，叫做全稱(chēng)命題．.注意以下幾點(diǎn)：(1)將含有變量x的語(yǔ)句用p(x)，q(x)，r(x)…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么，全稱(chēng)命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”，可簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)；(2)全稱(chēng)命題就是陳述某集合所有元素都具有某種性質(zhì)的命題．例如p：對(duì)所有整數(shù)x，x2－1＝0，q：對(duì)所有整數(shù)x,5x－1是整數(shù)，其中命題p、q都是全稱(chēng)命題．.2．存在量詞概念：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號(hào)“?”表示，含有存在量詞的命題，叫做特稱(chēng)命題．注意以下幾點(diǎn)：(1)特稱(chēng)命題“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)．(2)存在命題就是陳述在某集合中有(存在)一些元素具有某種性質(zhì)的命題．.同一個(gè)全稱(chēng)命題、存在命題，由于自然語(yǔ)言的不同，可以有不同的表述方法．現(xiàn)列表總結(jié)于下，在實(shí)際應(yīng)用中可以靈活地選擇：命題全稱(chēng)命題“?x∈A，p(x)”存在命題“?x∈A，p(x)”表述方法所有的x∈A，p(x)成立存在x∈A，使p(x)成立對(duì)一切x∈A，p(x)成立至少有一個(gè)x∈A，使p(x)成立對(duì)每一個(gè)x∈A，p(x)成立對(duì)有些x∈A，使p(x)成立任選一個(gè)x∈A，使p(x)成立對(duì)某個(gè)x∈A，使p(x)成立凡x∈A，都有p(x)成立有一個(gè)x∈A，使p(x)成立.1．含有一個(gè)量詞的命題的否定．含有一個(gè)量詞的全稱(chēng)命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱(chēng)命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)．全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題．含有一個(gè)量詞的特稱(chēng)命題的否定，有下面的結(jié)論：特稱(chēng)命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．.特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題．全稱(chēng)命題的否定是存在命題，存在命題的否定是全稱(chēng)命題，即它們互為否定形式．在寫(xiě)兩種命題的否定時(shí)，要牢牢掌握形式上的兩個(gè)變化，全稱(chēng)量詞與特稱(chēng)量詞的變化，條件p(x)和綈p(x)的變化．.2．常見(jiàn)量詞及其否定形式常見(jiàn)量詞及其否定形式如下表.量詞否定詞量詞否定詞等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一個(gè)一個(gè)都沒(méi)有至多有一個(gè)至少有兩個(gè)都是不都是是不是沒(méi)有至少有一個(gè)屬于不屬于.◎?qū)懗鱿铝忻}的否定形式的命題．(1)矩形的四個(gè)角都是直角；(2)所有的方程都有實(shí)數(shù)解；(3)4＜3.【