第6章線性方程組的迭代法

1.雅可比（Jacobi）迭代法2.高斯-塞德爾(Gauss-Seidel)迭代法3.超松弛迭代法（SOR方法）4.迭代法的收斂性第六章解線性方程組的迭代法2023/1/171迭代法就是用某種極限過(guò)程去逐步逼近方程精確解的方法。迭代法不僅具有程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，適于自動(dòng)計(jì)算，而且較直接法更少的計(jì)算量，但迭代法都要考慮是否收斂和收斂速度問(wèn)題。迭代法是求解線性方程組，尤其是求解具有大型稀疏矩陣的線性方程組的重要方法之一。解線性方程組的迭代法2023/1/172§6.1迭代法的基本思想

迭代法的基本思想是將線性方程組轉(zhuǎn)化為便于迭代的等價(jià)方程組，對(duì)任選一組初始值，按某種計(jì)算規(guī)則，不斷地對(duì)所得到的值進(jìn)行修正，最終獲得滿足精度要求的方程組的近似解。

收斂向量序列解向量2023/1/173設(shè)非奇異,

，將線性方程組變換為一個(gè)等價(jià)同解方程組即將上式改寫成迭代式如果2023/1/174選定初始向量,反復(fù)不斷地使用迭代式逐步逼近方程組的精確解,直到滿足精度要求為止。這種方法稱為迭代法。2023/1/175考察一般的方程組，將n元線性方程組§6.2雅可比（Jacobi）迭代法2023/1/176考察一般的方程組，將n元線性方程組寫成

若

,分離出變量據(jù)此建立迭代公式上式稱為解方程組的Jacobi迭代公式?！?.2雅可比（Jacobi）迭代法2023/1/177雅可比迭代法公式的分量形式為：2023/1/178例1用雅可比迭代法求解方程組解：從方程組中分離出

和2023/1/179建立迭代公式取初始向量進(jìn)行迭代,可以逐步得出一個(gè)近似解的序列：2023/1/1710計(jì)算表計(jì)算結(jié)果表明，此迭代過(guò)程收斂于方程組的精確解x*=(1.1,1.2,1.3)T。直到求得的近似解能達(dá)到預(yù)先要求的精度，則迭代過(guò)程終止2023/1/1711例2用迭代法求解線性方程組

解構(gòu)造方程組的等價(jià)方程組據(jù)此建立迭代公式

對(duì)于給定的方程組可以構(gòu)造各種迭代公式。并非全部收斂,例如：

Jacobi迭代公式。2023/1/1712例2用迭代法求解線性方程組

建立迭代公式取計(jì)算得

迭代解離精確解越來(lái)越遠(yuǎn)

迭代不收斂2023/1/1713§6.2.2雅可比迭代法的矩陣表示

A=D-L-U雅可比迭代矩陣表示法，主要是用來(lái)討論其收斂性，實(shí)際計(jì)算中，用雅可比迭代法公式的分量形式。設(shè)方程組

的系數(shù)矩陣A非奇異，且主對(duì)角元素

，則可將A分裂成2023/1/1714§6.2.2雅可比迭代法的矩陣表示記作A=D-L-U2023/1/1715則等價(jià)于即這樣便得到一個(gè)迭代公式令則有稱為雅可比迭代公式,B稱為雅可比迭代矩陣2023/1/1716則有2023/1/17172023/1/17186.2.1雅可比迭代法的算法實(shí)現(xiàn)2023/1/1719§6.3.1高斯-塞德爾迭代法的基本思想

在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用當(dāng)前最新的迭代值，即在求時(shí)用已經(jīng)求出的新分量代替舊分量,就得到高斯-賽德爾迭代法。其迭代法格式為：

(i=1,2,…,nk=0,1,2,…)§6.3高斯-塞德爾（Gauss-Seidel）迭代法2023/1/1720高斯-塞德爾迭代法公式的分量形式。即(k=0,1,2,…)2023/1/1721例3用GaussSeidel迭代格式解方程組

精度要求為ε=0.005

解GaussSeidel迭代格式為取初始迭代向量,迭代結(jié)果為：2023/1/17222023/1/1723§

6.3.2Gauss—Seidel迭代法的矩陣表示將A分裂成A=D-L-U，則等價(jià)于

(D-L-U)x=b

于是,則高斯—塞德爾迭代過(guò)程因?yàn)?/p>

,所以

則高斯-塞德爾迭代形式為：

故

令2023/1/1724§

6.3.3高斯—塞德爾迭代算法實(shí)現(xiàn)高斯-塞德爾迭代算法的計(jì)算步驟與流程圖與雅可比迭代法大致相同，只是一旦求出變?cè)哪硞€(gè)新值后,就改用新值替代老值,進(jìn)行這一步剩下的計(jì)算。

2023/1/1725使用迭代法的困難在于難以估計(jì)其計(jì)算量。有時(shí)迭代過(guò)程雖然收斂，但由于收斂速度緩慢，使計(jì)算量變得很大而失去使用價(jià)值。因此，迭代過(guò)程的加速具有重要意義。逐次超松弛迭代（SuccessiveOverrelaxaticMethod，簡(jiǎn)稱SOR方法）法，可以看作是帶參數(shù)的高斯—塞德爾迭代法，實(shí)質(zhì)上是高斯-塞德爾迭代的一種加速方法。

§6.4超松弛迭代法（SOR方法）2023/1/1726

超松弛迭代法目的是為了提高迭代法的收斂速度，在高斯—塞德爾迭代公式的基礎(chǔ)上作一些修改。這種方法是將前一步的結(jié)果與高斯-塞德爾迭代方法的迭代值

適當(dāng)加權(quán)平均，期望獲得更好的近似值

。是解大型稀疏矩陣方程組的有效方法之一，有著廣泛的應(yīng)用?！?.4.1

超松弛迭代法的基本思想2023/1/1727⑵把

取為

與

的加權(quán)平均，即

合并表示為：SOR方法具體計(jì)算公式如下：⑴用高斯—塞德爾迭代法計(jì)算2023/1/1728式中系數(shù)ω稱為松弛因子，當(dāng)ω=1時(shí)，便為高斯-塞德爾迭代法。為了保證迭代過(guò)程收斂，要求0<ω<2。當(dāng)0<ω<1時(shí)，低松弛法；當(dāng)1<ω<2時(shí)稱為超松弛法。但通常統(tǒng)稱為超松弛法(SOR)。2023/1/1729§

6.4.2

超松弛迭代法的矩陣表示設(shè)線性方程組

Ax=b的系數(shù)矩陣A非奇異,且主對(duì)角元素

,

則將

A

分裂成

A=d-L-U,則超松弛迭代公式用矩陣表示為或故

顯然對(duì)任何一個(gè)ω值,(D+ωL)非奇異,

(因?yàn)榧僭O(shè)

)于是超松弛迭代公式為2023/1/1730令則超松弛迭代公式可寫成2023/1/1731例4用SOR法求解線性方程組

取ω=1.46，要求

解：SOR迭代公式

k=0,1,2,…，

初值2023/1/1732該方程組的精確解只需迭代20次便可達(dá)到精度要求.如果取ω=1(即高斯—塞德爾迭代法)和同一初值,要達(dá)到同樣精度,需要迭代110次.2023/1/1733我們知道,對(duì)于給定的方程組可以構(gòu)造成簡(jiǎn)單迭代、雅可比迭代、高斯-塞德爾迭代和超松弛迭代公式，但并非一定收斂?，F(xiàn)在分析它們的收斂性。在什么條件下迭代序列收斂？先引入如下定理

經(jīng)過(guò)等價(jià)變換構(gòu)造出的等價(jià)方程組

對(duì)于方程組得到迭代序列§

6.5迭代法的收斂性2023/1/1734定理

對(duì)給定方陣G,若,則為非奇異矩陣,且

若為奇異矩陣,則存在非零向量x,使

由于,兩端消去,有,與已知條件矛盾,假設(shè)不成立,命題得證。證:用反證法由相容性條件得

,即有2023/1/1735定理

對(duì)給定方陣G,若,則為非奇異矩陣,且

即

將G分別取成G和-G，再取范數(shù)

又由于有2023/1/17362023/1/1737證:必要性由于可以是任意向量,故收斂于0當(dāng)且僅當(dāng)收斂于零矩陣，即當(dāng)時(shí)，

基本定理5

迭代公式收斂的充分必要條件是迭代矩陣G的譜半徑則在迭代公式兩端同時(shí)取極限得設(shè)迭代公式收斂,當(dāng)k→∞時(shí),2023/1/1738充分性:設(shè),則必存在正數(shù)ε,使則存在某種范數(shù)

,使,,則,

,即。故收斂于0,由此定理可知，不論是雅可比迭代法、高斯—塞德爾迭代法還是超松弛迭代法，它們收斂的充要條件是其迭代矩陣的譜半徑2023/1/1739前例2用迭代法求解線性方程組

構(gòu)造的等價(jià)方程組據(jù)此建立迭代公式

并非所有迭代公式都收斂,例如：

迭代矩陣G=，其特征多項(xiàng)式為特征值為-2，-3，所以迭代發(fā)散2023/1/1740定理6(迭代法收斂的充分條件)若迭代矩陣G的一種范數(shù),則迭代公式收斂,且有誤差估計(jì)式及計(jì)算十分麻煩，因此將定理5改為2023/1/1741定理6(迭代法收斂的充分條件)

,則迭代公式收斂,且有誤差估計(jì)式及證:矩陣的譜半徑不超過(guò)矩陣的任一種范數(shù),即根據(jù)定理4.9可知迭代公式收斂。2023/1/1742因?yàn)?故x＝Gx＋d有惟一解,即兩邊取范數(shù)與迭代過(guò)程相比較,有:2023/1/1743由迭代格式，有

兩邊取范數(shù)，代入上式，得證畢由定理知，當(dāng)時(shí)迭代收斂，值越小，迭代收斂越快，在程序設(shè)計(jì)中通常用相鄰兩次迭代（ε為給定的精度要求）作為控制迭代結(jié)束的條件。2023/1/1744例5已知線性方程組考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代求解時(shí)的收斂性解:⑴雅可比迭代矩陣

2023/1/1745例5已知線性方程組，考察Jacobi迭代的收斂性故Jacobi迭代收斂

解:雅可比迭代矩陣

2023/1/1746⑵高斯-塞德爾迭代，將系數(shù)矩陣分解

則高斯-塞德爾迭代矩陣

2023/1/1747高斯-塞德爾迭代矩陣

故高斯—塞德爾迭代收斂。

2023/1/1748定理7

設(shè)n階方陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣,則非奇異證:因A為對(duì)角占優(yōu)陣,其主對(duì)角元素的絕對(duì)值大于同行其它元素絕對(duì)值之和,且主對(duì)角元素全不為0,故對(duì)角陣為非奇異。作矩陣2023/1/1749利用對(duì)角占優(yōu)知由定理知非奇異,從而A非奇異,證畢系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的線性方程組稱為對(duì)角占優(yōu)方程組。結(jié)論：嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)線性方程組的雅可比迭代公式和高斯-賽德爾迭代公式均收斂。2023/1/1750例6設(shè),證明,求解方程組

的Jacobi迭代與G-S迭代同時(shí)收斂或發(fā)散證:雅可比迭代矩陣其譜半徑2023/1/1751例6設(shè),證明,求解方程組

的Jacobi迭代與G-S迭代同時(shí)收斂或發(fā)散證:G-S迭代矩陣2023/1/1752證:G-S迭代矩陣其譜半徑顯然,和同時(shí)小于、等于或大于1,因而Jacobi迭代法與G-S迭代法具有相同的收斂性2023/1/1753例7

設(shè)求解線性方程組的雅可比迭代

x(k+1)=Bx(k)+fk=0,1,…

求證當(dāng)‖B‖<1時(shí),相應(yīng)的G-S迭代收斂證這里以‖B‖

為例,‖B‖1類似由于B是雅可比迭代的迭代矩陣，故有

∴

Ax=b的系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),

故高斯-塞德爾迭代收斂2023/1/1754例8考察用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法解線性方程組Ax=b的收斂性，其中解：先計(jì)算迭代矩陣2023/1/1755求特征值雅可比矩陣

(B)=0<1∴用雅可比迭代法求解時(shí)，迭代過(guò)程收斂2023/1/17561=0,2=2,3=2(G1)=2>1

∴用高斯-塞德爾迭代法求解時(shí)，迭代過(guò)程發(fā)散高斯-塞德爾迭代矩陣求特征值2023/1/1757∴

Ax=b的系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),故高斯-塞德爾迭代收斂例9設(shè)有迭代格式X(k+1)=BX(k)+g(k=0,1,2……）其中B=I-A,如果A和B的特征值全為正數(shù)，試證：該迭代格式收斂。分析:根據(jù)A，B和單位矩陣I之間的特征值的關(guān)系導(dǎo)出()<1,從而說(shuō)明迭代格式收斂。證:2023/1/1758例10設(shè)方程組寫出解方程組的Jacobi迭代公式和迭代矩陣并討論迭代收斂的條件。寫出解方程組的Gauss-Seidel迭代矩陣,并討論迭代收斂的條件。2023/1/1759例10設(shè)方程組寫出解方程組的Jacobi迭代公式和迭代矩陣并討論迭代收斂的條件。解①Jacobi迭代公式和Jacobi矩陣分別為

2023/1/1760例10設(shè)方程組寫出解方程組的Gauss-Seidel迭代矩陣，并討論迭代收斂的條件。Gauss-Seidel格式，對(duì)任意初值x(0)均收斂。解②Gauss-Seidel矩陣為2023/1/1761解：先計(jì)算迭代矩陣?yán)?1討論用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法解線性方程組Ax=b的收斂性。2023/1/1762求特征值雅可比矩陣

(B)=1∴用雅可比迭代法求解時(shí)，迭代過(guò)程不收斂1=-1，2,3=1/22023/1/1763求特征值高斯-塞德爾迭代矩陣(G1)=0.3536<1∴用高斯-塞德爾迭代法求解時(shí)，迭代過(guò)程收斂1=0,2023/1/1764解:所給迭代公式的迭代矩陣為2023/1/1765取0<<1/2迭代收斂2023/1/1766例13設(shè)求解線性方程組Ax=b的簡(jiǎn)單迭代法

x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,2,……)

收斂,求證:對(duì)0<<1,迭代法

x(k+1)=[(1-)I+B]x(k)+g(k=0,1,2,…)

收斂。證:設(shè)C=(1-)I+B,(C)和(B)分別為C和B

的特征值，則顯然(C)=(1-)+(B)

因?yàn)?<<1,(C)是1和(B)的加權(quán)平均,

且由迭代法

x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,2,……)收斂知|(B)|<1,故|(C)|<1,從而(C)<1,即x(k+1)=[(1-)I+B]x(k)+g(k=0,1,2,…)收斂k=0,1,……2023/1/1767