2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷.理）含答案

絕密★啟用前2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷）（理工農(nóng)醫(yī)類）第Ⅰ卷（選擇題共60分）選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)設(shè)a、b、c、d∈R，則復(fù)數(shù)(a+bi)(c+di)為實(shí)數(shù)的充要條件是A.ad－bc=0B.ac－bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=0(2)在等差數(shù)列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于A.40B.42C.43D.45(3)已知∈(,)，sin=,則tan()等于A.B.7C.－D.－7(4)已知全集U=R,且A=｛x︱︱x－1︱>2｝,B=｛x︱x－6x+8<0｝，則(A)∩等于A.[－1,4]B.(2,3)C.(2,3)D.(－1,4)(5)已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長(zhǎng)等于A.2B.C.D.(6)在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個(gè)球，至少摸到2個(gè)黑球的概率等于A.B.C.D.(7)對(duì)于平面和共面的直線m、n，下列命題中真命題是A.若m⊥，m⊥n，則n∥B.若m∥，n∥，則m∥nC.若m，n∥，則m∥nD.若m、n與所成的角相等，則n∥m(8)函數(shù)y=㏒(x﹥1)的反函數(shù)是A.y=(x>0)B.y=(x<0)C.y=(x>0)D..y=(x<0)(9)已知函數(shù)f(x)=2sinx(>0)在區(qū)間[,]上的最小值是－2，則的最小值等于A.B.C.2D.3(10)已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.(1,2)B.(1,2)C.[2,+∞]D.(2,+∞)(11)已知︱︱=1，︱︱=,=0,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，設(shè)=m+n(m、n∈R)，則等于A.B.3C.D.(12)對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x,y)、B(x，y)，定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.給出下列三個(gè)命題：=1\*GB3①若點(diǎn)C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;=2\*GB3②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；=3\*GB3③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.其中真命題的個(gè)數(shù)為A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.(13)(x－)展開式中x的系數(shù)是(用數(shù)字作答)(14)已知直線x－y－1=0與拋物線y=ax相切，則a=(15)一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2，將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是（16）如圖，連結(jié)△ABC的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的△A1B1C1，又連結(jié)的△A1B1C1各邊中點(diǎn)得到，如此無(wú)限繼續(xù)下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，這一系列三角形趨向于一個(gè)點(diǎn)M，已知A(0,0),B(3,0),C(2,2)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是.解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.（=1\*ROMANI）求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？（18）（本小題滿分12分）如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大小；（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面的距離.（19）（本小題滿分12分）統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：y=(0<x≤120).已知甲、乙兩地相距100千米。（Ⅰ）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？（20）（本小題滿分12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說(shuō)明理由。（22）（本小題滿分14分）已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a=2a+1(n∈N)（Ⅰ）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列;（Ⅲ）證明:(n∈N*).

數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)參考答案

一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分.

(1)D(2)B(3)A(4)C(5)D(6)A

(7)C(8)A(9)B(10)C(11)B(12)B

二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分，滿分16分.

(13)10(14)(15)(16)()三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

(17)本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式，三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基本識(shí)，以及推理和運(yùn)算能力，滿分12分.

解:（1）f(x)===sin(2x+.

∴f(x)的最小正周期T==π.

由題意得2kπ-≤2x+,k∈Z,

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ-］,k∈Z.

(2)方法一：

先把y=sin2x圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin(2x+)的圖象，再把所得圖象上所有的點(diǎn)向上平移個(gè)單位年度，就得到y(tǒng)=sin(2x+)+的圖象.

方法二：

把y=sin2x圖象上所有的點(diǎn)按向量a=(-)平移，就得到y(tǒng)=sin(2x+)+的圖象.

(18)本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.滿分12分.

方法一:

(1)證明：連結(jié)OC.

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.

而AC=2,

∴AO2+CO2=AC2,

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

∴AB平面BCD.（Ⅱ）解：取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB,OE∥DC.∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.在△OME中，是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴∴∴異面直線AB與CD所成角的大小為（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.,∴·S△ACD=·AO·S△CDE.在△ACD中，CA=CD=2,AD=,∴S△ACD=而AO=1,S△CDE=∴h=∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為.方法二：（Ⅰ）同方法一：（Ⅱ）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0),∴∴異面直線AB與CD所成角的大小為（Ⅲ）解：設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則 ∴令y=1，得n=(-)是平面ACD的一個(gè)法向量.

又∴點(diǎn)E到平面ACD的距離

h=(19)本小題主要考查函數(shù)，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.滿分12分.

解:(1)當(dāng)x=40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí),

要耗油(.

答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升.

(2)當(dāng)速度為x千米/小時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了設(shè)耗油量為h(x)升，衣題意得

h(x)=()·,h’(x)=(0＜x≤120＝

令h’(x)=0，得x=80.

當(dāng)x∈(0,80)時(shí)，h’(x)＜0,h(x)是減函數(shù);

當(dāng)x∈(80,120)時(shí)，h’(x)＞0,h(x)是增函數(shù).

∴當(dāng)x=80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)=11.25.

因?yàn)閔(x)在(0,120)上只有一個(gè)極值，所以它是最小值.

答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.

(20)本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合能力.滿分12分.

解(1)∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.

∵圓過(guò)點(diǎn)O、F.

∴圓心M在直線x=-設(shè)M(-),則圓半徑r=|(-)-(-2)|=.

由|OM|=r,得

解得t=±,

∴所求圓的方程為(x+)2+(y±)2=.

(2)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),

代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.

∵直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,

∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根.

記A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)N(x0,y0),

則x1+x1=-x0= AB垂直平分線NG的方程為令y=0，得∵∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（）。（21）本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。滿分12分。解：（I）f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16,當(dāng)t+1<4，即t<3時(shí)，f(x)在[t，t+1]上單調(diào)遞增，h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2+6t+7;當(dāng)t≤4≤t+1時(shí),即3≤t≤4時(shí)，h(t)=f(4)=16;當(dāng)t>4時(shí)，f(x)在[t，t+1]上單調(diào)遞減，h(t)=f(x)=－t2+8t.t<3,3≤t≤4,tt<3,3≤t≤4,t>4（II）函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)xg(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?！鄕x－8x+16lnx+m,∵′xx－8+當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，′x，x是增函數(shù)；當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，′x，x是減函數(shù)；當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí)，′x，x是增函數(shù)；當(dāng)x=1，或x=3時(shí)，′x；∴x極大值1m－7,x極小值3m+6ln3－15.∵當(dāng)x充分接近時(shí)，x，當(dāng)x充分大時(shí)，x>0.∴要使x的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須既7<m<－6ln3.所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為（7，15—6ln3）.（22）本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。滿分14分。（I）解：∵an+1=2an+1（n∈N）,∴an+1+1=2(an+1),∴|an+1|是以a1+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列?！郺n+1=2n，既an=2n－1(n∈N)。（II）證法一：∵4b1－14b2－2…4bn－1=(a+1)bn，∵4k1+k2+…+kn =2nk,

∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nb,①

2[(b1+b2+…+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1②②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nb,

即(n-1)bn+1-nbn+2=0.③

nbn+2=(n+1)bn+1+2=0.④

④-③，得nbn+2-2nbn+1-nbn=0,即bn+2-2